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1、2021年高考数学模拟试题一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知复数z满足则（ ）A. B. 2C. D. 8【答案】C【解析】【分析】利用复数的代数形式的除法运算先求出，再根据复数的模长公式求出【详解】解：，.故选：D【点睛】本题主要考查复数的代数形式的除法运算，考查复数的模，属于基础题2. 已知集合，或，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式对集合进行化简，即可求出两集合的关系.【详解】解：解不等式得，则.因为或，所以，故选:D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了两集合间的关
2、系.3. 已知则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的单调性,将与0、1比较,即可得出答案.【详解】因为在上单调递增,所以,因为在上单调递减,所以,因为在上单调递增,所以,所以.故选：A【点睛】本题考查指数与指数函数和对数与对数函数.属于基础题.本类题型一般都是将所需比较的数与0、1比较大小,熟练掌握指数函数与对数函数的单调性是解本题的关键.4. 的展开式中，的系数为（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】由题意转化条件得，再由二项式定理写出的通项公式，分别令、，求和即可得解.详解】由题意，的通项公式为，令，则；令，则；所以的展开式
3、中，的系数为.故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 函数与的图象关于y轴对称，则函数的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由诱导公式对化简，结合两函数图象的关系可求出，通过求，即可排除错误答案.【详解】解：，因为与图象关于y轴对称，则，排除C，排除B，排除A，故选:D.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了函数图象的变换，考查了函数图象的选择.本题的关键是求出 的解析式.6. 在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在九章算术注中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国
4、古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin3的近似值为（ ）(取近似值3.14)A. 0.012B. 0.052C. 0.125D. 0.235【答案】B【解析】【分析】根据题意圆内接正120边形其等分成120个等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为,根据等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.即可列出等式解出sin3的近似值.【详解】当时,每个等腰三角形的顶角为,则其面积为,又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,所以,故选：B【点睛】本题考查三角形与圆的面积公式,属于基
5、础题.解本类题型需认真审题，读懂题意找到等式是关键.7. 已知函数，若等差数列的前项和为，且则（ ）A. B. 0C. 2020D. 4040【答案】C【解析】【分析】结合对数的运算性质，对进行整理可得为奇函数，从而可知，代入等差数列的求和公式即可求出的值.【详解】解：因为定义域为，关于原点对称，且，所以为奇函数，由得，所以，因为为等差数列，所以，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算，考查了函数的奇偶性的判断，考查了等差数列的求和公式.本题的关键是求出.8. 在四面体中，二面角的平面角为150，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直
6、角坐标系，写出坐标，利用球心到距离等于半径求出球心坐标，从而求出球体半径，即可求出球体的表面积.【详解】解：取中点为坐标系原点，过点作垂直于平面的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，如下图所示.由已知条件可得：，.设四面体ABCD外接球的球心为，由得： 解得：，则球心.四面体ABCD外接球的半径，所以四面体ABCD外接球的表面积.故选：.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，关键是建立空间直角坐标系求出各顶点坐标，属于中档题.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9. 在疫情防控阻击战之
7、外，另一条战线也日渐清晰恢复经济正常运行.国人万众一心，众志成城，防控疫情、复工复产，某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. B. 从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为0.178C. 不到80名职工倾向于继续申请休假D. 倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名【答案】BD【解析】【分析】根据扇形图中的比例关系依次验证各个选项即可得到结果.【详解】对于，错误；对于，倾向于在家办公的人员占比为，故对应概率为，正确；对于，倾向于继续申请休假人数为人，错误；对于，倾向于在家办公或在公司办公的职工人数为人，正确.故
8、选：.【点睛】本题考查根据扇形图进行相关命题的辨析的问题，涉及到比例和频数的计算等知识，属于基础题.10. 已知向量(2，1)，(1，1)，(m2，n)，其中m，n均为正数，且()，下列说法正确的是（ ）A. a与b的夹角为钝角B. 向量a在b方向上的投影为C. 2m+n=4D. mn的最大值为2【答案】CD【解析】【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A，向量(2，1)，(1，1)，则，则的夹角为锐角，错误；对于B，向量(2，1)，(1，1)，则向量在方向上
9、的投影为，错误；对于C，向量(2，1)，(1，1)，则 (1，2)，若()，则(n)=2(m2)，变形可得2m+n=4，正确；对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn (2mn) ()2=2，即mn的最大值为2，正确；故选：CD.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.11. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）A. 椭圆的焦距为B. 椭圆的短轴长为C. 的最小值为D. 过点的圆的切线斜率为【答案】AD【解析】【分析】由题意可求得的值，再
10、由圆的几何性质结合椭圆的定义以及已知条件可求得的值，进而可判断出A、B选项的正误；利用圆的几何性质可判断C选项的正误；设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求得切线的斜率，可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】圆的圆心为，半径长为，由于椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则，可得，设椭圆的左焦点为点，由椭圆的定义可得，所以，当且仅当、四点共线，且当、分别为线段与椭圆、圆的交点时，等号成立，则，解得，所以，椭圆的焦距为，A选项正确；椭圆的短轴长为，B选项错误；，当且仅当、四点共线，且当、分别为线段与椭圆、圆交点时，等号成立，C选项错误；若所求切线的斜率不存在，则直线方程为，圆心到该直线的
11、距离为，则直线与圆相离，不合乎题意；若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为，即，由题意可得，整理得，解得.D选项正确.故选：AD.【点睛】本题考查利用椭圆的定义解决焦半径与椭圆上的点到圆上的点的距离和与差的最值问题，同时也考查了过圆外一点引圆的切线问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12. 已知函数，则下列结论中，正确的有（ ）A. 是的最小正周期B. 在上单调递增C. 的图象的对称轴为直线D. 的值域为【答案】BD【解析】【分析】由，知函数为偶函数，又，知是的周期，当时，化简并画出其图象，在根据偶函数和周期性，画出函数的图象，根据图象判断每一个选项是否正确.【详解】由，知函数为偶函数，
12、又，知是的周期，当时，画出的图象如图所示：由图知，的最小正周期是，A错误；在上单调递增，B正确；的图象的对称轴为，C错误；的值域为，D正确.故选：BD.【点睛】本题是绝对值与三角函数的综合问题，判断函数奇偶性，周期性画出函数图象是解决问题的关键，属于中档题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若曲线在点处的切线与直线平行，则_.【答案】【解析】【分析】求出函数在处的导数值,即可根据两直线平行(斜率都存在)斜率相等截距不相等列出等式,得出答案.【详解】因为.所以,所以 .因为曲线在点处的切线与直线平行,即.故答案为:.【点睛】本题考查函数的导函数的几何意义,属于基础题.解本提
13、出的关键在于理解函数在某点的导函数值等于函数在这点的切线的斜率.14. 已知圆锥的顶点为S，顶点S在底面的射影为O，轴截面SAB是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为_，点D为母线SB的中点，点C为弧AB的中点，则异面直线CD与OS所成角的正切值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由轴截面的图形可知圆的半径和母线长，从而可求出侧面积；作于，通过求出，从而可求异面直线所成角.【详解】解：因为轴截面SAB是边长为2的等边三角形，所以底面圆的半径为，母线为，所以圆锥的侧面积为；作于，则底面圆，因为D为母线SB的中点，所以，又 ，所以，因为，所以异面直线CD与OS所成角的正切值为.
14、故答案为：； 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的求解，考查了异面直线二面角的求解.本题的关键是将异面直线通过平移，求其夹角.15. CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7日10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有_种.【答案】360【解析】【分析】理解题意，分两步安排，先安排接
15、待工作，再安排讲解工作. 安排接待工作时，甲和乙至多安排1人，故分没安排甲乙和甲乙安排1人两类求解，从而计算出不同的安排方案总数.【详解】先安排接待工作，分两类，一类是没安排甲乙有种，一类是甲乙安排1人有种，再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能，共种，故不同的安排方案共有种.故答案为：360.【点睛】本题考查了排列、组合的综合应用，考查了分析理解能力，分类讨论思想，属于中档题.16. 已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为_.【答案】【解析】【分析】取的中点为C，连接BC、，由垂直向量的数量积关系推出，再利用双曲线的定义求出即可推出为等边三角形，求出BC，在中利用勾股定理列出关于a、c的齐次式即可求解离心率.【详解】取的中点为C，连接BC、，如图所示：因为，所以，又C为的中点，所以为等腰三角形且，因为点恰好为的外心，所以点在直线BC上，且，由双曲线的定义知，则，所以为等边三角形，则，在中，即，化简得，同时除以可得，解得或(舍去).故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义及简单几何性质、等边三角形的性质、双曲线离心率的求法，涉及垂直向量的数量积关系、平行四边形法则，属于中档题