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1、广西大学数学建模考试试题广西大学数学建模考试试题 A A 及参考答案及参考答案一概念题（共一概念题（共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，本大题共分，本大题共 1515 分）分）1、什么是数学模型？(5 分)答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。2、数学建模有哪几个过程？(5 分)答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。3、试写出神经元的数学模型。答：神经元的数学模型是其中 x（x1，xm）输入向量，y 为输出
2、，wi是权系数；输入与输出具有如下关系：T为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数（5 分）二、模型求证题（共二、模型求证题（共 2 2 小题，每小题小题，每小题 1010 分，本大题共分，本大题共 2020 分）分）1 1、（、（l l）以雇员一天的工作时间）以雇员一天的工作时间 t t 和工资和工资 w w 分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。(5(5 分分)（2 2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率）如果雇主付计时工资，对不同的工资
3、率(单位时间的工资单位时间的工资)画出计时工资线族。根据雇画出计时工资线族。根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。(5(5分分)答：（l）雇员的无差别曲线族f（w，t）=C 是下凸的，如图 1，因为工资低时，他愿以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间（2）雇主的计时工资族是w=at，a 是工资率这族直线与f（w，t）=c 的切点 P1，P2，P3，的连线 PQ 为雇员与雇主的协议线 通常 PQ 是上升的（至少有一段应该是上升的），见
4、图 1 2 2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。(7(7 分分)又问又问命题对长凳是否成立，为什么？命题对长凳是否成立，为什么？(3(3 分分)答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。如图建立坐标系：其中 A,B,C,D 代表方凳的四个脚,以正方形 ABCD 的中心为坐标系原点。图二记H为脚 A,C与地面距离之和，G为脚 B,D与地面距离之和，为 AC 连线与 X轴的夹角，不妨设 H(0)0,G(0)=0,(为什么?)令f()=H()-G()则 f 是的连续函数,且f(0)
5、=H(0)0，将方凳旋转90,则由对称性知 H(/2)=0,G(/2)=H(0)从而f(/2)=-H(0)0,所以这是正则链（2 分）记为稳态概率，则有（2 分）四、建模题（共四、建模题（共 2 2 小题，每小题小题，每小题 1010 分，本大题共分，本大题共 2020 分）分）1、假设人对某种传染病一旦患病而痊愈，则以后就不会再患病。将人群分为未感染者S、患者I、已治愈者（包括死亡者R）三种人，试作出必要的假设并写出该传染病的扩散微分方程模型（不必求解）。(10(10 分分)答：假设：(1)设一个病人在单位时间内能传染的病人数i(t)与当时的未感染人数 s(t)成正比，比例系数为（称为感染率
6、）；(2)设在 t 时刻，已治愈人数（包括死亡人数）为r(t)；(3)设在单位时间内病人的治愈率为,即；（4 分）(4)病人痊愈后不会再被传染。则有：（6 分）2 2、某食品加工厂拟安排生产计划，已知一桶牛奶加工、某食品加工厂拟安排生产计划，已知一桶牛奶加工1212 小时后可生产小时后可生产 A A 产品产品 3 3 公斤，公斤，A A 产品可获利产品可获利 2424 元元/公斤公斤，或一桶牛奶加工或一桶牛奶加工 8 8 小时可生产小时可生产 B B 产品产品 4 4 公斤，公斤，B B 产品可获利产品可获利 1616元元/公斤。现每天可供加工的牛奶为公斤。现每天可供加工的牛奶为 5050 桶，加工工时至多为桶，加工工时至多为 480480 小时，且小时，且 A A 产品至多只能产品至多只能生产生产 100100 公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型公斤。为获取最大利润，问每应如何安排生产计划？请建立相应的线性规划模型（不必求解（不必求解,10,10 分）。分）。答：设每天安排答：设每天安排 x x1 1桶牛奶生产桶牛奶生产 A A 产品，产品，x x2 2桶牛奶生产桶牛奶生产 B B 产品，则有：产品，则有：参考评分标准：目标函数参考评分标准：目标函数 3 3 分，约束条件分，约束条件 7 7 分分