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1、11.4 一元线性回归模型及其应用课标要求1.了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.知识回顾1一元线性回归模型把式子称为Y关于x的一元线性回归模型其中，Y称为因变量或 ，x称为自变量或 ；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为 ；e是Y与bxa之间的随机误差如果e0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述2线性回归方程与最小二乘法设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)当a，b的
2、取值为时，Q(yibxia)2达到最小将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计提醒经验回归直线一定过点(，)3刻画回归效果的方式(1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图在残差图中，残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高(2)残差平方和法残差平方和为(yii)2，残差平方和 ，模型拟合效果越好(3)利用R2刻画拟合效果R21.
3、R2越大，模型的拟合效果越 ，R2越小，模型的拟合效果越 基础摸底1已知x与y之间的几组数据如表，则y与x的经验回归直线方程x必过点()x0134y1469A(0,1)B(2,5)C(1,4) D(5,9)2(函数与方程)若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归方程ybxae(单位：亿元)，其中b0.7，a3，|e|0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过()A9亿元 B9.5亿元C10亿元 D10.5亿元3(数形结合)已知x，y之间的数据见下表，经验回归方程为x，则()x345678y4.02.50.50.52.03.0A.0，0，0C.0，0 D.0考点剖析考点一：一元线
4、性回归模型例1.从中国教育在线官方公布的考研动机调查来看，本科生扎堆考研的原因大概集中在这6个方面：本科就业压力大，提升竞争力；通过考研选择真正感兴趣的专业；为了获得学历；继续深造；随大流；有名校情结如图是20162020年全国硕士研究生报考人数的折线图(1)求y关于t的经验回归方程；(2)根据(1)中的经验回归方程，预测2022年全国硕士研究生报考人数参考数据：(ti)(yi)311.经验回归方程t中，.规律总结 求回归直线方程的步骤考点二：非线性回归模型例2.某公司为了了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响，对公司近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的
5、数据进行了对比分析，建立了两个函数模型：yx2，yext，其中，t均为常数，e为自然对数的底数并得到一些统计量的值令uix，viln yi(i1,2，12)，经计算得如下数据：(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？(2)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(回归系数精确到0.01)；若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量约是多少亿元？附：相关系数r，经验回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：308477，9.486 8，e4.499 890.规律总结非线性回归问题的求解步骤(1)作出散点图或利用已知散点图；(2)根据散点图
6、选择恰当的拟合函数；(3)作恰当变换，将其化成线性函数，求经验回归方程；(4)在(3)的基础上通过变换，可得非线性回归方程对点训练1为了研究某班学生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归直线方程为x.已知xi225，yi1 600，4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A160 cmB163 cmC166 cm D170 cm2某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出广告费支出x(万元)和销售量y(万台)的数据如下：年份2014201
7、520162017201820192020广告费支出x1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程；(2)若用ycd模型拟合y与x的关系，可得回归方程y1.630.99，经计算线性回归模型和该模型的R2分别为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好；(3)已知利润z与x，y的关系为z200yx.根据(2)的结果回答下列问题：广告费x20时，销售量及利润的预报值是多少？广告费x为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01)参考公式：回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，.参考数据：2.
8、24.作业请见限时作业11.4 一元线性回归模型及其应用导学案答案与解析:知识回顾1一元线性回归模型把式子称为Y关于x的一元线性回归模型其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bxa之间的随机误差如果e0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述2线性回归方程与最小二乘法设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)当a，b的取值为时，Q(yibxia)2达到最小将x称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线这种求经验回归
9、方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计提醒经验回归直线一定过点(，)3刻画回归效果的方式(1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图在残差图中，残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高(2)残差平方和法残差平方和为(yii)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好(3)利用R2刻画拟合效果R21.R2越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效果越差基础摸底1答案：B2解析：选D因为财政收入x与支出y满足线性回归方程ybxae
10、，其中b0.7，a3，所以得到y0.7x3e，当x10时，得y0.7103e10e，而|e|0.5，即0.5e0.5，所以9.5y10.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元故选D.3解析：选A画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，可知0.故选A.考点剖析考点一：一元线性回归模型例1.解：(1)由题中数据得 3，214.2，(ti)2(2)2(1)202122210，由参考数据知，(ti)(yi)311，所以31.1，214.231.13120.9，故所求经验回归方程为31.1t120.9.(2)将2022年对应的t7代入经验回归方程，得31.17120.933
11、8.6，所以预测2022年全国硕士研究生报考人数为338.6万考点二：非线性回归模型例2.解：(1)设ui和yi的相关系数为r1，xi和vi的相关系数为r2，则r10.86，r20.91.因为|r1|r2|，所以从相关系数的角度，模型yext的拟合程度更好(2)先建立v关于x的经验回归方程，由yext，得ln ytx，即vtx.因为0.18，t4.20200.56，所以v关于x的经验回归方程为0.18x0.56，所以e0.18x0.56.下一年销售额y需达到90亿元，即y90，代入e0.18x0.56，得90e0.18x0.56，又e4.499 890，所以4.499 80.18x0.56，所
12、以x21.89，所以预测下一年的研发资金投入量约是21.89亿元对点训练1解析：选C由已知22.5，160，160422.570，当x24时，42470166，故选C.2解：(1)8，4.2，xiyi279.4，x708，0.17，4.20.1782.84，y关于x的经验回归方程为y0.17x2.84.(2)0.750.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，选用y1.630.99更好(3)由(2)知，当x20时，销售量的预报值y1.630.996.07(万台)，利润的预报值z200(1.630.99)201 193.04(万元)z200(1.630.99)xx198326()2198326(99)210 127，当99，即x9 801时，利润的预报值最大，故广告费为9 801万元时，利润的预报值最大10学科网（北京）股份有限公司