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1、2011 年成人高考专升本高数试题及答案一、填空题：一、填空题：15 小题，每小题 4 分，共 20 分把答案填在题中横线上1若fx y,x y xy y2,则fx,y1x1x(x y)2x2sin2limx0sinx03设y 2x2 ax3在x 1处取得极小值，则a=4 4设向量a i j,b 2j3k，则ab 2d5dxx201 t dt 2x 1 x2二、选择题：二、选择题：610 小题，每小题 4 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内6函数fx9 x21x 42的定义域是 C（A）（C）,22,；（B）3,22,3；3,22,
2、3；（D）,32,23,y 2x23x 26上点M处的切线斜率为15，则点M的坐标是 B 7曲线（A）(3,15)；（B）(3,1)；（C）(3,15)；（D）(3,1)8设z cos(x2y)，则z等于 Dy（A）sin(x2y)；（B）2sin(x2y)；（C）sin(x2y)；（D）2sin(x2y)。9下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是 D（A）Ay x，x1,2；（B）y ln(1 x)，x1,1；1x，x（C）y 1,1；（D）y ln(1 x2)，x0,3.1n5/410无穷级数n1n1 A（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）敛散性不能确定三、解答题：三、
3、解答题：1117 小题，共 60 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11（本题满分 7 分）计算定积分10(x21)3x dx10解：原式=12(x 1)3d(x21)21=12(x 1)48=015812（本题满分 7 分）设fxx20061g(x),其中g(x)在x 1处连续，且g(1)1，求f(1)解：f(x)f(1)(x20061)g(x)f(1)lim limx1x1x 1x1(x1)(x2005 x2004 x1)g(x)limx1x1 lim(x2005 x2004 x1)g(x)2006x113（本题满分 8 分）求抛物线y x24x3及其在点(0,3)和(3,0)处的切
4、线所围成的平面图形的面积y(0)4,y(3)2解：y 2x4,在(0,3)处的切线方程为y 4x3在(3,0)处的切线方程为两条切线的交点为(y 2x63,3)23从而所求平面图形的面积可表示为S 320320224x3(x 4x3)dx32x6(x 4x3)dx7分2x2dx3(x26x9)dx239414（本题满分 8 分）求微分方程(y26x)dy2ydx 0的通解dx3yx dyy23解：原方程可变形为则x e3 dyyy ydy(edyC)23y3 y(ydyC)y231y2(C)Cy2 y2。315（本题满分 8 分）计算Deyd xd y，其中D是以O(0,0)，A(1,1)，B
5、(0,1)为顶点的三角形闭区域1y22解：原式dyeydx002eyydy0111y22edy02121211 dey ey22001(1e1)216（本题满分 8 分）求二元函数z x2 4xy 9y2 x 3y的极值z 2x4y1 0 x解：先解方程组z 4x18y3 0y可得驻点(31,)10 102z2z2z分别求二阶偏导数：2,4,218x2xyy31,)处，A 2 0,B 4,C 18，AC B2 20 010 10313z(x,y)在点(,)处有极小值10 1010在点(17（本题满分 7 分）求微分方程(x y3)dy ydx 0(y 0)的通解解：原方程可变形为dx1x y2
6、dyy则微分方程的通解为x eydy1(y e2ydy1dy C)11 14y3C2(y ydyC)(y C)yy 44y18（本题满分 7 分）设f(x)在a,b上连续，且f(x)0,F(x)f(t)dt axxb1dtf(t)，(a x b)，证明：（1）F(x)2；（2）方程F(x)0在a,b内有且仅有一个实根。证明：1依题意有：Fx fx1fxfx 0,fx 01Fx fx 2 fxFx 22因为Fabab1dt,Fbftdtaftb1dt ftdt 0.aft所以FaFbba由罗尔定理方程至少有一实根。又据 1 结论知Fx 0,Fx在（a,b）上单调递减。故原方程在（a,b）内有且仅有一个实根。