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1、【同步教育信息】一. 本周教学内容：选修22的三个专题讲座知识分析专题一 导数中几个常见易错点导数是高考考查的重点内容之一，同学们在解题时往往由于概念不清，方法不当而出错，下面我们对常见错误及原因进行分析。一. 错误理解导数定义例1 设在处可导，则等于（ ）A. B. C. D. 错解：选（C）分析：导数定义中，增量形式有多种，但不论选择哪种形式，相应的也应选择正确的形式。该例中函数值增量为，自变量增量应为，而不是h。故正解：故选（A）。二. 忽视导数几何意义的条件例2 已知曲线上的一点，求过点P的该曲线的切线方程。错解：，即过点P的切线的斜率为4。所以过点P的切线方程为。即。分析：此解法混淆
2、了“在点P处的切线”与“过点P的切线”，本例中的点P可能是切点，也可能不是切点。正解：设切点为（），则切线的斜率。故切线方程为。又切线过点P且（）在曲线上，所以整理得：。解得：或。当时，切线斜率为4，切线方程为；当时，切线斜率为1，切线方程为。三. 对可导函数某一点处的导数认识不清例3 已知，求。错解：由得：所以。分析：上述错解中未弄清可导函数某一点处的导数的概念。正解：由得：所以。四. 复合函数求导时对复合过程的认识不到位例4 求函数的导数。错解：分析：最后一步求导时漏掉了对x求导，错因是对复合函数的复合过程认识不到位。正解：五. 忽视函数单调性的充要条件例5 已知函数在R上为减函数，求a的
3、取值范围。错解：易求得。因为当时，为减函数，所以。故解得：。所以a的取值范围为（，0）。分析：可导函数在（a，b）内为单调递增（或减）函数的充要条件为：对于任意，有（或）且在（a，b）任意子区间内都不恒为零。正解：由上述分析易知a的取值范围是，0。专题二 反证法的应用反证法是从否定要证明的结论出发，并以此为重要的“附加条件”，根据有关的定义、公理和给出命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而判定命题结论的否定不成立，即可肯定命题成立反证法有着广泛的应用，是高中数学中重要的解题方法，它在解题时，常表现出独特的优势因此，同学们应深刻认识并熟练掌握这一重要的解题方法反证法是正难附反的数学思想的重要体现
4、，一些数学问题若不容易入手解答或者解答比较麻烦，如果从问题的反面入手，换一个角度去思考，则有可能会很顺利地得到解决一. 反证法的理论依据由四种命题的相互关系可知，原命题“如果p，则q”与命题“如果非q，则非p”是一对逆否命题，具有同真同假性，即等价性根据这一逻辑，要证原命题“如果p，则q”为真，可以改证逆否命题“如果非q，则非p”为真，这种证题方式反证法，也就是说，如果非q（即否定结论，假设结论的反面成立，经过推理论证），则非p（得出与题设条件相矛盾的结论），从而根据等价性原则，可以肯定原命题正确二. 反证法的证明步骤第一步：假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；第二步：从这个假设出发
5、，经过推理证明，得出矛盾；第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题正确。三. 常见的否定形式P有是能P的否定没有不是不能我们归纳出几种常见的否定情形： “p或q”与“非p且非q”互为否定，“一定是”与“不一定是”互为否定，“n个中至少有k个”与“n个中至多有个（）”互为否定四. 反证法中探求矛盾的常见情形（1）与已知条件矛盾；（2）与假设矛盾；（3）与已知的定义、定理、公理矛盾；（4）与现实生活中公认的事实矛盾；（5）自相矛盾 下面通过几个实例谈谈如何运用反证法证题，并希望同学们注意体会反证法证题的书写格式 例1 求证：三角形的三个内角中至少有一个内角不大于60证明：因为在ABC中，三个内
6、角分别为A，B，C，所以。若假设三个角都大于60，即，则，与矛盾。故假设错误。因此，三角形的三个内角中，至少有一个内角不大于60。例2 已知p，q是奇数，求证：方程没有整数根。证明：假设方程有整数根，则。当为奇数时，均为奇数。故为奇数，不可能为0。当为偶数时，均为偶数。故为奇数，也不可能为0。因此假设错误，原命题成立。例3 已知下列三个方程：，中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。解：假设三个方程均无实数根，则有：（1） （2）（3）由（1）得：；由（2）得：或；由（3）得：。取（1），（2），（3）的交集得集合。则使三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围是（）。评注：本题要求
7、“三个方程中至少有一个方程有实数根时a的取值范围”，只要先求出其反面，即“三个方程均无实根时a的取值范围”，再求其补集即可。例4 已知二次函数的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数的图象与直线的两个交点间的距离为8，（1）求函数f (x)的表达式；（2）求证：当a3时，关于x的方程f (x) = f (a)有三个不相等的实数解（1）解：由已知，设，由，得，所以。设，它的图象与直线的交点分别为A（，），B（，）。由，得，所以。所以。（2）证明：由，得。即。得方程的一个解。方程，化为。由，得：，。因为，所以，且。若，即，则。解得或。这与矛盾，所以。由，知当时，有三个不相等的实数解。专题三
8、复数解题中的几个常见错误一. 对复数的有关概念理解不清致误例1 当m为何实数时，复数是纯虚数？错解：令，解得：或。所以当或时，复数为纯虚数。剖析：错解只考虑复数的实部，而没有顾及虚部，纯虚数的定义要求复数的实部为零而虚部不为零本例中，当时，不满足纯虚数的条件。正解：由上述分析知，m3时，满足上述要求例2 试研究方程在复数集上解的个数。错解：因为，所以，所以或，即或。剖析：复数的“模”与实数的“绝对值”是两个不同的概念。正解：设，原方程可化为：根据复数相等的定义，得：解得或或或或或所以方程在复数集上有6个解。二. 盲目套用实数集上的性质致误例3 若，求的值。错解：。剖析：错解中没有根据地将实数中
9、底数是正数时的幂指数运算法则搬到复数中去。正解：因为，所以。所以。例4 设三个复数满足条件，试判断它们在复平面上三个对应点构成怎样的三角形？错解：因为，所以。所以。故，。即。所以三点重合，不能构成三角形。剖析：错解也是无根据地将只有实数才具有的性质搬到复数中去。正解：因为且三个复数不相等，所以。所以。同理。所以。设上式比值为k，则，。以上三式相乘，得，所以。所以。所以三点组成一个等边三角形。三. 转化不等价致误例5 已知复数，求复数z对应点的轨迹。错解：设，则，两边取模得：即。因为，所以。故复数z对应点的轨迹是圆和之间的圆环（包括圆周）。剖析：错解中误认为与等价，实际上，条件与条件不等价，前者只表示点（1，1），而后者表示以点（0，0）为圆心，为半径的圆。正解：设，则有：。根据复数相等的定义，有消去参数，有。所以复数z对应点的轨迹是以点（，）为圆心，1为半径的圆。