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1、第一课时第一课时2.2.22.2.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质知识回顾知识回顾xyo.M(x,y)(-c,0)(c,0)F1 (0，-c)F2 (0，c)xy0M(x，y).椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：焦点在焦点在x轴轴焦点在焦点在y轴轴其中其中一、椭圆的范围一、椭圆的范围 oxy由由即即说明：椭圆位于直线说明：椭圆位于直线X=X=a a和和y=y=b b所围成的矩形之中。所围成的矩形之中。二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性 把把(X)换成换成(-X),方程不变方程不变,说明椭圆关于说明椭圆关于()轴对称；轴对称；把把(Y)换成换成(-Y),方程不变方程不变,说明椭圆关于说明椭圆关
2、于()轴对称；轴对称；把把(X)换成换成(-X),(Y)换成换成(-Y),方程还是不变方程还是不变,说明椭说明椭圆关于圆关于()对称；对称；oxy所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。所以，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。Y X 原点原点 椭圆的图形关于椭圆的图形关于y y轴成轴对称图形轴成轴对称图形椭圆的图形关于椭圆的图形关于x x轴成轴对称图形轴成轴对称图形椭圆的图形关于椭圆的图形关于原点原点成中心对称图形成中心对称图形,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 f(x,y)=f(-x,y)f(x,y)=f(x,-y)f(x,y)=f(-x,-y)关
3、于关于x轴对称轴对称关于原点对称关于原点对称关于关于y轴对称轴对称得到椭圆与得到椭圆与y轴的两个交点轴的两个交点:即椭圆与即椭圆与x x轴，轴，y y轴有四个交点轴有四个交点,这四个交点叫做这四个交点叫做椭圆的顶点椭圆的顶点。三三 椭圆的顶点椭圆的顶点 由此，得到椭圆的六个特殊点：由此，得到椭圆的六个特殊点：得椭圆与得椭圆与 x 轴的两个交点，轴的两个交点，xy0 在椭圆的标准方程在椭圆的标准方程 里里,(1)如果令如果令x=0,就可以求出椭圆与就可以求出椭圆与y轴的交点轴的交点同理同理,令令y=0 得得(2)时时即令即令三三 椭圆的顶点椭圆的顶点1、有关概念有关概念xy0线段线段 、分别叫做
4、椭圆的分别叫做椭圆的长轴长轴和和短轴短轴。a和和b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长长半轴长和和短半轴长短半轴长2a2b它们的长分别等于它们的长分别等于 和和 ，顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。叫做椭圆的顶点。2 、a,b,c的几何意义的几何意义如图可知：如图可知：=X0Y=a 在前面我们讲到了椭圆的标准方程，当时我们是在前面我们讲到了椭圆的标准方程，当时我们是令令 ，究竟其中有怎样的意义呢？，究竟其中有怎样的意义呢？2 、a,b,c的几何意义的几何意义如图可知：如图可知：在在直角三角形直角三角形 中中，即即所以所以=a 在前面我们讲到了椭
5、圆的标准方程，当时我们是在前面我们讲到了椭圆的标准方程，当时我们是这这就是我们前面令就是我们前面令 的几何意义的几何意义。令令 ，究竟其中有怎样的意义呢？，究竟其中有怎样的意义呢？X0Yabc四四、椭圆的离心率椭圆的离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。（1）离心率的取值范围：）离心率的取值范围：因为因为 a c 0，所以所以1 e 0（2）离心率对椭圆形状的影响：）离心率对椭圆形状的影响：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而从而 b就越小，椭圆就越扁就越小，椭圆就越扁2）e 越接近越接近 0，c 就越接近
6、就越接近 0，从而从而 b就越大，椭圆就越圆就越大，椭圆就越圆3）特例：）特例：e=0，则则 a=b，则则 c=0，两个焦点重合，椭圆变为圆两个焦点重合，椭圆变为圆(3)e与与a,b的关系的关系:例1.已知椭圆方程为16x2+25y2=400,它的长轴长是：它的长轴长是：。短轴长是：。短轴长是：。焦距是：焦距是：。离心率等于：离心率等于：。焦点坐标是：焦点坐标是：。顶点坐标是：。顶点坐标是：。外切矩形的面积等于：外切矩形的面积等于：。108680练习：练习：已知椭圆方程为6x2+y2=6它的长轴长是：。短轴长是：。焦距是：。离心率等于：。焦点坐标是：。顶点坐标是：。外切矩形的面积等于：。1、在
7、下列方程所表示的曲线中、在下列方程所表示的曲线中,关于关于x轴轴,y轴都对称的是轴都对称的是()(A)(B)(C)(D)2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为，长轴长为6，则椭圆的方程则椭圆的方程 为（为（）(A)(B)(C)(D)或或或或DC3、讨论下面椭圆的范围，求长轴和短轴的长、离心率、讨论下面椭圆的范围，求长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图：焦点坐标、顶点坐标，并画出草图：求椭圆求椭圆 16 x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标心率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出其图形。并用描点法画出
8、其图形。把已知方程变形为：把已知方程变形为：4 在在0 x5的范围内算出几个点的坐标（的范围内算出几个点的坐标（x,y):X012345Y3.93.73.22.40先描点画出先描点画出椭圆的一部分，椭圆的一部分，XYO 再利用椭圆的对称性，再利用椭圆的对称性，画画出出整个椭圆。整个椭圆。椭圆的简单画法：椭圆的简单画法：椭圆四个顶点椭圆四个顶点连线成图连线成图矩形矩形例例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)经过点经过点P(-3,0)、Q(0,-2),(2)长轴长为长轴长为20,离心率为离心率为 .(3)经过点经过点P(2,0)、Q(1,),(4)焦距为焦距为6
9、,四个顶点围成的四边形的面积为四个顶点围成的四边形的面积为40.练习：1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在）焦点在y轴，长轴长是短轴长的轴，长轴长是短轴长的2倍，倍，且过点（且过点（2，-6）；）；（2）在）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直且焦距为互相垂直且焦距为C=b=32.2.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P P（3 3，0 0），），求椭圆的方程。求椭圆的方程。答案：答案：分类讨论分类讨论的数学
10、思想的数学思想例例3.已知椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，已知椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在焦点在y轴轴,焦距为焦距为2,离心率为离心率为 ，求椭圆的，求椭圆的方程。方程。xy解析解析：由题可得：设椭圆方程为：由题可得：设椭圆方程为：又椭圆方程为椭圆方程为：练习练习:已知已知F1、F2为椭圆为椭圆 的两个焦点，过的两个焦点，过F2作椭圆的弦作椭圆的弦AB，若，若AF1B的周长为的周长为16，椭圆的离心率，椭圆的离心率e=，求椭圆求椭圆的标准方程。的标准方程。答案:+=132x216y24().F2F1ABXYO例例4 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕如图，一种电影放
11、映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一上，片门位于另一个焦点个焦点F2上上,由椭圆一个焦点由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反出发的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点射后集中到另一个焦点F2.解：建立如图所示的直角坐标系，解：建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为设所求椭圆方程为yF2F1xoBCA yxoF1F2MABC反射镜面反射镜面练习练习.如图，我国发射的第一颗人
12、造地球卫星的运行轨道，是以如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）地心（地球的中心）F2 为一个焦点的椭圆。已知它的近地点为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面（离地面最近的点）距地面439 km，远地点，远地点B（离地面最远的离地面最远的点）距地面点）距地面2384 km，并且并且F2、A、B在同一直线上，地球半径在同一直线上，地球半径约为约为6371 km.求卫星的轨道方程（精确到求卫星的轨道方程（精确到1 km）。）。xyAB.F1F2解：解：建系如图，以建系如图，以AB所在直线为所在直线为x轴，轴，AB中点为原点中点为原点可设椭圆方程为：
13、则O.解得故故卫星的轨道方程是卫星的轨道方程是2、2005年10月17日，神州六号载人飞船带着亿万中华儿女千万年的梦想与希望，遨游太空返回地面。其运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，设其近地点距地面m(km)，远地点距地面n(km)，地球半径R(km)，则载人飞船运行轨道的短轴长为（）A.mn(km)B.2mn(km)D例例5：(1)椭圆椭圆 的左焦点的左焦点 是两个顶点，如果到直线是两个顶点，如果到直线AB的距的距 离为离为 ，则椭圆的离心率，则椭圆的离心率e=.(2)设设M为椭圆为椭圆 上一点，上一点，为椭圆的焦为椭圆的焦点，点，如果如果 ，求椭圆的离心率。，求椭圆的离心率。1、我们把离
14、心率等于黄金比、我们把离心率等于黄金比 的椭圆称为优的椭圆称为优美椭圆，设美椭圆，设 是优美椭圆，是优美椭圆，F，A分别是它的左焦点和右顶点，分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个是它短轴的一个端点，则端点，则ABF=（）A、60B、75C、90D、1202.P为椭圆为椭圆 上任意一点，上任意一点，F1、F2是焦点，则是焦点，则F1PF2的最大值是的最大值是 .3、椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为 焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准方程。方程。4、已知椭圆在已知椭圆在x轴和轴和y轴正半轴上两顶点分别为
15、轴正半轴上两顶点分别为A，B，原点到直线，原点到直线AB的距离等于的距离等于 ，又该椭圆，又该椭圆的离心率为的离心率为 ，求该椭圆的标准方程。，求该椭圆的标准方程。小结：基本元素小结：基本元素 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A21基本量：基本量：a、b、c、e、（、（共四个量）共四个量）2基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）3基本线：对称轴（共两条线）基本线：对称轴（共两条线）标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的关的关系系|x|a,|y|b关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a,短短半轴长为半轴长为b.b.ababa2=b2+c2|x|b,|y|a(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a a,短短半轴长为半轴长为b.b.ababa2=b2+c2(a,0)a(0,b)b(-a,0)a+c(a,0)a-c