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1、一、向量、向量组与矩阵 维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：第1页/共126页 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如第2页/共126页向量组 ,，称为矩阵A的行向量组第3页/共126页 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.第4页/共126页线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应第5页/共126页定义定义线性组合线性组合第6页/共126页 向量向量
2、能能由向量组由向量组 线性表示线性表示第7页/共126页定理定理1 1第8页/共126页向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价定义定义第9页/共126页第10页/共126页第11页/共126页注意注意:定义定义二、线性相关性的概念则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关第12页/共126页第13页/共126页第14页/共126页三、线性相关性的判定三、线性相关性的判定第15页/共126页第16页/共126页解解例例或r(I)=n，得线性无关。第17页/共126页解解例例分析分析第18页/共126页第19页/共126页解
3、：因为解：因为第20页/共126页证法证法1第21页/共126页证法证法2第22页/共126页第23页/共126页性质性质1 1：性质性质2 2：性质性质3 3：证明证明四、向量组的线性相关性质四、向量组的线性相关性质第24页/共126页性质性质4 4：证明证明第25页/共126页说明：说明：第26页/共126页性质性质5 5：第27页/共126页说明：说明：证明：证明：第28页/共126页第29页/共126页第30页/共126页第31页/共126页定理定理3 3 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余
4、 个向量线性表示个向量线性表示证明证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.即有五、线性表示、线性相关、线性 无关三者的关系而不是“每一个”第32页/共126页故因 这 个数不全为0，故 线性相关.必要性设 线性相关，则有不全为0的数使 第33页/共126页因 中至少有一个不为0，不妨设则有即 能由其余向量线性表示.证毕.第34页/共126页定理定理 4 4：第35页/共126页第36页/共126页（定理）。第37页/共126页.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点重
5、点）.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理（难点难点）六、小结第38页/共126页线性表示线性表示:线性表示、线性相关、线性无关线性表示、线性相关、线性无关 三者的概念三者的概念第39页/共126页线性相关线性相关:线性无关线性无关:第40页/共126页性质性质1 1：性质性质2 2：性质性质3 3：向量组的线性相关性质向量组的线性相关性质性质性质4 4：第41页/共126页性质性质5 5：第42页/共126页定理定理 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示线性表示
6、、线性相关、线性无关 三者的关系而不是“每一个”定理定理第43页/共126页向量空间向量空间第二节 向量组的秩第44页/共126页定义定义最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组一、最大线性无关向量组秩秩第45页/共126页定理定理二、矩阵与向量组秩的关系说明说明第46页/共126页第47页/共126页第48页/共126页第49页/共126页第50页/共126页定理定理三、向量组秩的重要结论推论推论1 1推论推论2 2第51页/共126页性质第52页/共126页第53页/共126页第54页/共126页第55页/共126页第56页/共126页第57页/共126页最大线性无关向量组
7、的概念：最大性最大性、线性无关性线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：一个定理一个定理、两个推论两个推论两个性质 求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换四、小结第58页/共126页 思考题思考题解答思考题解答问题转化为问题转化为因为所以第59页/共126页向量空间向量空间第三节 向量空间第60页/共126页说明说明2 维向量的集合是一个向量空间,记作 .一、向量空间的概念定义定义1 1设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如
8、果集合 非空非空,且集合且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合称集合 为向量空间为向量空间1集合 对于加法及乘数两种运算封闭指第61页/共126页第62页/共126页例例2 2 判别下列集合是否为向量空间.解解第63页/共126页例例3 3 判别下列集合是否为向量空间.解解第64页/共126页试判断集合是否为向量空间.第65页/共126页一般地，为第66页/共126页第67页/共126页定义定义2 2 设有向量空间设有向量空间 及及 ，若向量集合，若向量集合，就说就说 是是 的子空间的子空间实例实例二、子空间设 是由 维向量所组成的向量空间，第68页
9、/共126页那末向量组那末向量组 就称为向量空间的一个就称为向量空间的一个基基，称为向量空间称为向量空间 的维数的维数，并称并称 为为 维向量维向量空间空间三、向量空间的基与维数定义定义3 3 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足dimV=r第69页/共126页向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间子空间的概念四、小结第70页/共126页向量空间向量空间第四节 线性方程组解的结构第71页/共126页解向量的概念解向量的概念为齐次线性方程组一、齐次线性方程组解的性质的解称为方程组 的解向量。解向量。第7
10、2页/共126页齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解.证明证明第73页/共126页（2 2）若）若 为为 的解，的解，为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证明证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间解空间一般记作注：齐次解的线性组合仍为齐次解第74页/共126页基础解系基础解系的定义的定义二、基础解系及其求法第75页/共126页第76页/共126页线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵
11、为 ，并不妨设 的前 个列向量线性无关 于是 可化为第77页/共126页第78页/共126页现对 取下列 组数：第79页/共126页依次得从而求得原方程组的 个解：第80页/共126页说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的基础解系基础解系若 是 的基础解系，则其通解通解为 第81页/共126页定理定理1 1第82页/共126页第83页/共126页例例1 1 求齐次线性方程组的基础解系与通解.解解对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩阵，有第84页/共126页第85页/共126页证明证明非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质第86页/共126页
12、证明证明证毕第87页/共126页其中 为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为第88页/共126页与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题线性方程组线性方程组 有解有解第89页/共126页线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，
13、易于编程实现，是有效的计算方法第90页/共126页例例4 4 求解方程组解解第91页/共126页第92页/共126页第93页/共126页 非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解第94页/共126页齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法四、小结对系数矩阵 进行初等变换，将其化为行最简形讨论 线性方程组解的情况线性方程组解的情况()()nrAr=()()nrAr=()nAr 第95页/共126页思考题第96页/共126页思考题解答第97页/共126页第98页/共126页第五节 向量的内积向量空间向量空间第99页/共126页定义定义1 1一、内积的定义及性质说明说明第1
14、00页/共126页内积的运算性质内积的运算性质第101页/共126页定义定义2 2 令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质第102页/共126页解解单位向量夹角第103页/共126页 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交（或（或垂直垂直）.若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为量组为正交向量组正交向量组三、正交向量组的概念及求法第104页/共126页证明证明 正交向量组的性质正交向量组的性质定理定理1 1第105页/共126页例例1 1 已知三维向量空间中两个向量正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基.
15、向量空间的向量空间的正交基正交基第106页/共126页即解之得由上可知 构成三维空间的一个正交基.则有解解第107页/共126页 规范正交基规范正交基第108页/共126页例如，例如，4 维向量组维向量组第109页/共126页 同理可知自然基自然基.第110页/共126页（1）施密特正交化施密特正交化，取 ，求规范正交基的方法求规范正交基的方法我们来介绍其步骤：第111页/共126页（2）规范化（即单位化）单位化），取第112页/共126页例例 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解解 先正交化正交化，取施密特正交化过程施密特正交化过程第113页/共126页再单位化单位化，得规范正交向量组
16、如下第114页/共126页例例3解解第115页/共126页把基础解系正交化，即为所求亦即取第116页/共126页证明证明定义定义4 4定理定理2 2四、正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交正交矩阵正交矩阵.第117页/共126页第118页/共126页定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为称为正正交变换交变换性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变证明证明例例5 5 判别下列矩阵是否为正交阵第119页/共126页解解所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，由于第120页/共126页所以它是正交矩阵由于第121页/共126页例例6 6解解第122页/共126页1 1将一组基向量规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化五、小结2 2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：第123页/共126页求一单位向量，使它与正交思考题第124页/共126页思考题解答第125页/共126页感谢您的观看！第126页/共126页