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1、1.3 单自由度系统受迫振动受迫振动系统在外界激励下产生的振动激励形式可以为力（直接作用力或惯性力），也可以为运动（位移、速度、加速度）。外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。有阻尼系统在简谐激振力作用下，系统的运动微分方程为令得到有阻尼质量弹簧系统受迫振动微分方程的标准形式第一页，编辑于星期六：十九点 二十五分。微分方程的全解等于齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。齐次方程通解:x1(t)非齐次方程特解:x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解x1(t)有阻尼自由振动运动微分
2、方程的解：特解为:第二页，编辑于星期六：十九点 二十五分。有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解由二部分组成：第一部分振动的频率是自由振动频率 ；由于阻尼的作用，这部分的振幅都时间而衰减。-瞬态振动第二部分以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减稳态受迫振动。第三页，编辑于星期六：十九点 二十五分。特解为:代入方程解得第四页，编辑于星期六：十九点 二十五分。幅频特性与相频特性引入量纲为1的参数，s，-称为静力偏移 为振幅与静力偏移之比，称为振幅比（又称放大因子）。s 是激励频率与固有频率之比，称为频率比。s 称为幅频特性曲线 s 称为相频特性曲线第五页，编辑于星期六：十九点 二十五分。结论
3、：（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m,k,c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关第六页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性以s为横坐标画出(s)曲线幅频特性曲线简谐激励作用下稳态响应特性：（1）当激振频率相对于系统固有频率很低响应的振幅A 与静位移B 相当第七页，编辑于星期六：十九点 二十五分。（2）当激振频率相对于系统固有频率很高响应的振幅很小（3）在以上两个领域对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著系
4、统即使按无阻尼情况考虑也是可以的单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性第八页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性（4）当对应于较小 值，(s)迅速增大当=0(s)共振 振幅无穷大但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在s=1 附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降第九页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性（5）对于有阻尼系统，并不出现在s=1处，而且稍偏左振幅无极值（6）当第十页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性记:品质因子在共振峰的两侧取与对应的两点带宽与的关系阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡
5、峭第十一页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性以s为横坐标画出(s)曲线相频特性曲线（1）当s1（1（0）位移与激振力反相（3）当s 1 0共振时的相位差为 ，与阻尼无关第十二页，编辑于星期六：十九点 二十五分。【例】图示带有偏心块的电动机，固定在一根不计自重的弹性梁上。设电机的质量为m1，偏心块的质量为m2，偏心距为e，弹性梁的刚度系数为k，阻力系数为c，求当电机以匀角速度旋转时系统的稳态振动的位移幅值。第十三页，编辑于星期六：十九点 二十五分。【解】系统可简化为图示的力学模型，将电机与偏心块看成一个质点系设电机轴心在t 瞬时相对平衡位置的坐标为x偏心块的坐
6、标为x+esint，质点系动量定理在x方向的投影表达式为整理后得系统的微分方程为第十四页，编辑于星期六：十九点 二十五分。引入微分方程化为标准形式解得令第十五页，编辑于星期六：十九点 二十五分。解得其幅频特性和相频特性曲线第十六页，编辑于星期六：十九点 二十五分。【例】图示为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度系数为k，阻力系数c。测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为 。求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。第十七页，编辑于星期六：十九点 二十五分。【解】以物块的静平衡位置为坐标原点，考察其相对地球的运动（绝对运动），运动微分方程可写为令则微分方程可写成
7、其中微分方程特解：回代得：第十八页，编辑于星期六：十九点 二十五分。由前计算化简可得系统的幅频特性和相频特性为代入引入量纲为1的量:第十九页，编辑于星期六：十九点 二十五分。系统的幅频特性为系统的相频特性为系统的幅频特性和相频特性曲线第二十页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加回顾：显含t，非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解阻尼自由振动逐渐衰减持续等幅振动暂态响应稳态响应第二十一页，编辑于星期六：十九点 二
8、十五分。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段先考虑无阻尼的情况，假设激励为正弦激励通解：齐次方程通解非齐次方程特解由初始条件确定第二十二页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应以系统固有频率振动第二十三页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应初始条件为零自由伴随振动强迫响应第二十四页，编辑于星期六：十九点 二十五分。由于系统是线性的,也可以利用叠加定理求解通解:初始条件响应自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段第二十五页，编辑于星期六
9、：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段即使在零初始条件下,也有自由振动与受迫振动相伴发生.实际中总是存在着阻尼的影响,因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减,进而消失,最终系统为稳态响应.第二十六页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段例:计算初始条件,以使 的响应只以频率 振动.解:如果要使系统响应只以 为频率振动必须成立:初始条件:第二十七页，编辑于星期六：十九点 二十五分。例:计算初始条件,以使 的响应只以频率 振动.单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段解:全解由求一阶导数由第二十八页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受
10、迫振动/受迫振动的过渡阶段如果要使系统响应只以 为频率振动初始条件:第二十九页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段若激励频率与固有频率十分接近令为小量考虑稳态响应第三十页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段可看作频率为 ，振幅按 规律缓慢变化的振动 这种在接近共振时的特殊振动现象称为拍拍的周期为：图形的包络线：第三十一页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段当随着t增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的响应曲线即使是无阻尼系统，要达到理论上的无穷大振幅，也需要无限长的时间。所以，如果机
11、器的工作运转速度设计在共振转速以上，穿越共振去并没有很大困难，只要穿越的快些就好。第三十二页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应利用前述相同的方法，可得初始条件响应自由伴随振动强迫响应第三十三页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应经过充分长的时间，作为瞬态响应的前两种振动将消失，只剩下稳态强迫响应第三十四页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应对于零初始条件第三十五页，编辑于星期六
12、：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激振惯性力的振幅与频率的平方成正比坐标：相对基座的位移动力学方程基座运动规律第三十六页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动解得：回顾：第三十七页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动第三十八页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动若以绝对位移 为坐标第三十九页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振
13、动第四十页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动可以看出：当 时，振幅恒为支撑运动的振幅D当 时，振幅恒小于D增加阻尼反而会使振幅增大第四十一页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动第四十二页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动解：汽车行驶的路程可表示为：则路面的激励频率为由为常数得与 成反比空载时的阻尼比为：满载和空载时的频率比：第四十三页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动满载时的阻尼比为：空载时的阻尼比为：满载时的频率
14、比：空载时的频率比：记满载时的振幅为空载时的振幅为满载与空载的振幅比为第四十四页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动已知梁截面惯性矩I，弹性模量E，梁质量不计例支座A产生微小竖直振动支座B不动求：质量m的稳态振动振幅解：在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度固有频率：因 的运动而产生的质量m处的运动动力学方程：振幅第四十五页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动支承运动小结基座位移规律：相对位移绝对位移第四十六页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动高速旋转机械中，偏
15、心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转机械总质量为M，转子偏心质量为m，偏心距为e，转子转动角速度为。x：机器离开平衡位置的垂直位移则偏心质量的垂直位移：由达朗伯原理，系统在垂直方向的动力学方程：第四十七页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动不平衡量引起的离心惯性力设第四十八页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动第四十九页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动例：偏心质量系统共振时测得最大振幅为0.1m由自由衰减振动测得阻尼系数为设求：（1）偏心距e，（2）若
16、要使系统共振时振幅为0.01 m，系统的总质量需要增加多少？第五十页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动解：（1）共振时的最大振幅（2）若要使共振时的最大振幅0.01m第五十一页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动偏心质量小结第五十二页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳机械阻抗与导纳工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性。机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比动力学方程：输入：输出：代入得：根据定义，位移阻抗：第五十三页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度
17、系统受迫振动/机械阻抗和导纳位移阻抗与复频响应函数互为倒数，H()也称为导纳输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻抗和加速度阻抗。速度阻抗加速度阻抗机械阻抗的倒数称为机械导纳，相应 、分别有位移导纳、速度导纳和加速度导纳第五十四页，编辑于星期六：十九点 二十五分。机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（m，k，c），它们都是复数。单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器，根据系统的机械阻抗可以确定和分析系统的固有频率，相对阻尼系数等参数及其它动力特征。第五十五页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题
18、/惯性式测振仪惯性式测振仪基础位移x 为m 相对于外壳的相对位移动力方程：振幅：当仪器的固有频率远小于外壳振动频率时，仪器读数的幅值A1 接近外壳振动的振幅D低固有频率测量仪用于测量振动的位移幅值，称为位移计第五十六页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值A1与外壳加速度的幅值成正比与外壳加速度的幅值成正比高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为加速度计被测物体的加速度幅值第五十七页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪另一种分析方法
19、基础位移假定为正弦:x 取绝对位移，受力图动力学方程：叠加原理，解为右端两项解之和第五十八页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪和前述支承运动中的绝对位移法结果相同第五十九页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离振动的隔离将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为主动隔振主动隔振系数 隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力：隔振后系统响应第六十页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离隔振后通过k、c传到
20、地基上的力：第六十一页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离第六十二页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离解：频率比：弹性支承的刚度：机器振动的振幅：主动隔振系数：传到地基上的力幅：第六十三页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速转子的临界转速汽轮机、发电机等高速旋转机械在开机或停机过程中经过某一转速附近时，支撑系统经常会发生剧烈振动临界转速在数值上很接近转子横向振动的固有频率以单盘转子为例第六十四页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由
21、度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速第六十五页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速第六十六页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速第六十七页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速可见，当阻尼比较小时，即使转子平衡得很好（e很小），动挠度f也会相当大，容易使轴破坏，这样的转速成为临届转速，为：用每分钟转速表示：第六十八页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速第六十九
22、页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速第七十页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应第七十一页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应当 作用于系统上所产生的静变形第七十二页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应第七十三页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应第七十四页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应分别为第n次谐波激励所对应的振幅放大因子和相位差第七十五页
23、，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应第七十六页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应第七十七页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应第七十八页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应第七十九页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应第八十页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应第八十一页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应第八十二页，编辑于星期六：十九
24、点 二十五分。单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应第八十三页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应第八十四页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应系统的单位脉冲响应即初始位移为零，而初始速度为1/m的自由振动解为无阻尼系统：若单位脉冲力不是作用在时刻t=0，而是作用在 时刻：如果系统在 时刻受到冲量为I0 的任意脉冲力作用，则系统暂态响应可用脉冲响应函数表示为：第八十五页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应任意非周期激励的响应当处于零初始条件的系统受到任意激振力时，可以将激振力F(t)
25、看作一系列脉冲力的叠加对于时刻t=的脉冲力其冲量为系统受脉冲作用后产生速度增量：并引起t 各个时刻的响应系统的脉冲响应：由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应应等于系统在时间区间0 t 内各个脉冲响应的总和杜哈梅(Duhamel)积分第八十六页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应利用卷积性质任意激励力的响应公式第八十七页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应第八十八页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应第八十九页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意
26、非周期激励的响应第九十页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应第九十一页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应当t t0 时激振力已经去除，此时系统将以时刻t=t0 时的位移和速度为初始条件做自由振动，称为残余振动.t t0 时的响应可以求解如下先求得t=t0 时刻的位移和速度第九十二页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应第九十三页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应另解一个自由度系统对矩形冲量的无阻尼响应：第九十四页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应第九十五页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应第九十六页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应第九十七页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应第九十八页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应第九十九页，编辑于星期六：十九点 二十五分。单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应第一百页，编辑于星期六：十九点 二十五分。