高中数学必修2常用公式及结论.pdf

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1、必修必修 2 常用公式及结论常用公式及结论 立体几何立体几何 109证明直线与直线平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 110证明直线与平面平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 111证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 112证明直线与直线垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直；

2、 （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ab b=b ba a (2)加法结合律：(a ab b)c c=a a(b bc c) (3)数乘分配律： (a ab b)= a a b

3、b 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和， 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a a、b b(b b0 0 )，a ab b存在实数 使 a a= b b PAB、 、三点共线|APABAPtAB(1)OPt OAtOB. |AB CDAB、CD共线且ABCD、不共线ABtCD且ABCD、不共线. 118.共面向量定理 向量 p p 与两个不共线的向量 a a、b b 共面的存在实数对, x y,使paxby 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序

4、实数对, x y,使MPxMAyMB， 或对空间任一定点 O，有序实数对, x y，使OPOMxMAyMB. 119.对空间任一点O和不共线的三点 A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（xyzk） ，则当1k 时，对于空间任一点O，总有 P、A、B、C 四点共面；当1k 时，若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点共面；若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面 C AB、 、 、D四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC (1)ODxy OAxOByOC （O平面 ABC）. 120.空间向量基本定理 如果三个向量 a a、 b b、 c c 不共面， 那么对空间任一向量 p

5、p， 存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 p pxa ayb bzc c 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使OPxOAyOBzOC. 121.射影公式 已知向量AB=a a和轴l，e e 是l上与l同方向的单位向量. .作 A 点在l上的射影A，作 B点在l上的射影B，则 |cosABABa a，e e=a ae e 122.向量的直角坐标运算 设a a123( ,)a a a，b b123( ,)b b b则 (1)a ab b112233(,)ab ab ab； (2)a ab b112233(,)ab ab ab；

6、 (3)a a123(,)aaa ( R)； (4)a ab b1 12 23 3aba ba b； 123.设 A111( ,)x y z，B222(,)xy z，则 ABOBOA= 212121(,)xx yy zz. 124空间的线线平行或垂直 设111( ,)ax y zr，222(,)bxy zr，则 a brrP(0)ab brr rr121212xxyyzz； abrr0a br r1 2121 20 x xy yz z. 125.夹角公式 设a a123( ,)a a a，b b123( ,)b b b，则 cosa a，b b=1 12 23 3222222123123aba

7、 ba baaabbb. 推论 22222221 12 23 3123123()()()aba ba baaabbb，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体ABCD中, AC与BD所成的角为,则 2222|()()|cos2ABCDBCDAAC BD. 127异面直线所成角 cos|cos,|a br r =12121 2222222111222| |x xy yz za babxyzxyzr rrr （其中（090oo）为异面直线a b ,所成角，, a br r分别表示异面直线a b ,的方向向量） 128.直线AB与平面所成角 sin|AB marcAB m(m为平

8、面的法向量). 129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,AB、为ABC的两个内角，则 2222212sinsin(sinsin)sinAB. 特别地,当90ACB时,有 22212sinsinsin. 130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,AB、为ABO的两个内角，则 2222212tantan(sinsin)tanAB. 特别地,当90AOB时,有 22212sinsinsin. 131.二面角l 的平面角 cos|m narcm n或cos|m narcm n（m，n为平面，的法向量）

9、. 132.三余弦定理 设 AC 是 内的任一条直线，且 BCAC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为1，AB 与AC 所成的角为2，AO 与 AC 所成的角为则12coscoscos. 133. 三射线定理 若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是 ，则有22221212sinsinsinsin2sinsincos ; 1212|180()(当且仅当90时等号成立). 134.空间两点间的距离公式 若 A111( ,)x y z，B222(,)xy z，则 ,A Bd=|ABAB AB222212121()()()xxyyzz. 1

10、35.点Q到直线l距离 221(|)()|ha ba ba(点P在直线l上，直线l的方向向量 a a=PA，向量 b b=PQ). 136.异面直线间的距离 |CD ndn(12,l l是两异面直线， 其公垂向量为n，CD、分别是12,l l上任一点，d为12,l l间的距离). 137.点B到平面的距离 |AB ndn（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. 138.异面直线上两点距离公式 2222cosdhmnmn. 2222cos,dhmnmnEA AF. 2222cosdhmnmn（EAAF）. (两条异面直线 a、b 所成的角为 ，其公垂线段AA的长度为 h.在直线 a、b

11、 上分别取两点 E、F，AEm,AFn,EFd). 139.三个向量和的平方公式 2222()222abcabca bb cc a 2222| |cos,2| | |cos,2| | |cos,abcaba bbcb ccac a 140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、 、，夹角分别为123、 、,则有 2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理 cosSS. (平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为). 142

12、. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c和1S,则 1Scl斜棱柱侧. 1VS l斜棱柱. 143作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截， 那么所得的截面与底面相似， 截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 （对应角相等， 对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方） ；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 145.欧拉定理(欧拉公式) 2VF

13、E(简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). （1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数 F与棱数 E 的关系：12EnF； （2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数 V 与棱数 E 的关系：12EmV. 146.球的半径是 R，则 其体积343VR, 其表面积24SR 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a

14、的正四面体的内切球的半径为612a,外接球的半径为64a. 148柱体、锥体的体积 13VSh柱体（S是柱体的底面积、h是柱体的高）. 13VSh锥体（S是锥体的底面积、h是锥体的高）. 直线直线与与方程方程 斜率公式 2121yykxx（111( ,)P x y、222(,)P xy）. k=tan ( 为直线倾斜角） 直线的五种方程 （1）点斜式 11()yyk xx (直线l过点111( ,)P x y，且斜率为k) （2）斜截式 ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距). （3）两点式 112121yyxxyyxx(12yy)(111( ,)P x y、222(,)P xy (12x

15、x). (4)截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab 、) （5）一般式 0AxByC(其中 A、B 不同时为 0). 两条直线的平行和垂直 (1)若111:lyk xb，222:lyk xb 121212|,llkk bb; 121 21llk k . (2)若1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零, 11112222|ABCllABC； 两直线垂直的充要条件是 12120AABB；即：12ll12120AABB 夹角公式 (1)212 1tan|1kkk k. (111:lyk xb，222:lyk xb,1 21k

16、k ) (2)12211212tan|ABA BA AB B. (1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120AABB). 直线12ll时，直线 l1与 l2的夹角是2. 1l到2l的角公式 (1)212 1tan1kkk k. (111:lyk xb，222:lyk xb,1 21k k ) (2)12211212tanABA BA AB B. (1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120AABB). 直线12ll时，直线 l1到 l2的角是2. 四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yy

17、k xx(除直线0 xx), 其 中k是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点000(,)Pxy的 直 线 系 方 程 为00()()0A xxB yy,其中,A B是待定的系数 (2)共点直线系方程： 经过两直线1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC的交点的直线系方程为111222()()0AxB yCA xB yC(除2l)，其中 是待定的系数 (3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)， 是参变量 (4)垂直直线系方程：与直线0AxByC (A0，B0)垂直的直线系方程是0

18、BxAy, 是参变量 点到直线的距离 0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC). 0AxByC或0所表示的平面区域 设直线:0l AxByC，若 A0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 0AxByC，0AxByC，若 A0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 0AxByC，0AxByC，可记为“x 为正开口对，X 为负背靠背“。 （正负指 X的系数 A，开口对指”，背靠背指） 85. 111222()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域 设曲线111222:()()0CAxB yCA xB yC（12120A A B B ） ，则 1112

19、22()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域是： 111222()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分. 圆圆与方程与方程 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()xaybr. （2）圆的一般方程 220 xyDxEyF(224DEF0). （3）圆的参数方程 cossinxarybr. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0 xxxxyyyy(圆的直径的端点是11( ,)A x y、22(,)B xy). 圆系方程 (1)过点11( ,)A x y,22(,)

20、B xy的圆系方程是 1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx 1212()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc, 其 中0axbyc是 直 线AB的方程, 是待定的系数 (2)过直线l:0AxByC与圆C:220 xyDxEyF的交点的圆系方程是22()0 xyDxEyFAxByC, 是待定的系数 (3) 过圆1C:221110 xyD xE yF与圆2C:222220 xyD xE yF的交点的圆系方程是2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF, 是待定的系数 点与圆的位置关系 点00(,)P xy与圆222

21、)()(rbyax的位置关系有三种 若2200()()daxby，则 dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内. 直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 其中22BACBbAad. 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21 条公切线外离421rrd; 条公切线外切321rrd; 条公切线相交22121rrdrr; 条公切线内切121rrd; 无公切线内含 210rrd. 91.圆的切线方程 (1)已知圆220 xyDxEyF 若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022D xxE yyx xy yF. 当00(,)xy圆外时, 0000()()022D xxE yyx xy yF表示过两个切点的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为00()yyk xx，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求 b，必有两条切线 (2)已知圆222xyr 过圆上的000(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr; 斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk.