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1、 全国通用 高中数学高考知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合，、Ax yxBy yxCx y yxABC|lg|lg(, )|lg中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合，Ax xxBx ax|22301若，则实数的值构成的集合为BAa（答：， ，）10133. 注意下列性质：（ ）集合，的所有子集的个数是；1212aaann（）若，；2ABABAABB（3）德摩根定律：CCCCCCUUUUUUABAB
2、ABAB，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数xaxxaMMMa50352的取值范围。（，）335305555015392522MaaMaaa5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和( )( )“非” ().若为真，当且仅当、 均为真pqpq若为真，当且仅当、 至少有一个为真pqpq若为真，当且仅当为假pp6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7. 对映射的概念了解吗？映射f：AB，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素
3、的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。 ）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg（答：，）02233410. 如何求复合函数的定义域？如：函数的定义域是，则函数的定f xabbaF(xf xfx( )( )()0义域是 _。（答：，）aa11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如：，求fxexf xx1( ).令，则txt10 xt21f tett( )2121f xexxx( )2121012. 反函数存在的条件是什
4、么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换x、y；注明定义域）如：求函数的反函数f xxxxx( )1002（答：）fxxxxx1110( )13. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设的定义域为，值域为，则yf(x)ACaAbCf(a) = bf1( )baff afbaf fbf ab111( )( )( )( )，14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？（，则（外层）（内层）yf uuxyfx( )( )( )当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。）fxfx(
5、 )( )如：求的单调区间yxxlog1222（设，由则uxxux22002且，如图：log12211uuxu O 1 2 x 当，时，又，xuuy(log0112当，时，又，xuuy)log1212）15. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxf x( )( )0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx()0如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大af xxaxa013( )值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 fxxaxaxa()333302则或xaxa33由已知在，上为增函数，则，即f xaa( )1313a 的
6、最大值为3）16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()( )( )若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxf xf xy()( )( )注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0如：若为奇函数，则实数f xaaaxx( )2221（为奇函数，又，f xxRRf( )( )000即，）aaa22210100又如：为定义在，上的奇函数，当，时，f xxf xxx(
7、 )()()( )1101241匚V求在，上的解析式。f x( )11（令，则，xxfxxx1001241()又为奇函数，f xf xxxxx( )( )241214又，）ff xxxxxxxx( )( )()002411002410117. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTf xTf xf x0( )( )函数， T 是一个周期。 ）如：若，则f xaf x( )（答：是周期函数，为的一个周期）f xTaf x( )( )2又如：若图象有两条对称轴，f xxaxb( )即，f axf axf bxf bx()()()()则是周期函数，为一个周期f xab
8、( )2如：18. 你掌握常用的图象变换了吗？f xfxy( )()与的图象关于轴 对称f xf xx( )( )与的图象关于轴 对称y卜71-|y=siii瓦3TC22f xfx( )()与的图象关于原点 对称f xfxyx( )( )与的图象关于直线对称1f xfaxxa( )()与的图象关于 直线对称2f xfaxa( )()()与的图象关于 点，对称20将图象左移个单位右移个单位yf xa aa ayf xayf xa( )()()()()00上移个单位下移个单位b bb byf xabyf xab()()()()00注意如下“翻折”变换：f xf xf xfx( )( )( )(|
9、|)如： f xx( )log21作出及的图象yxyxloglog2211y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k0) y=b O (a,b)O x x=a （ ）一次函数：10ykxb kA（ ）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakO ab()的双曲线。（ ）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxc aa xbaacba顶点坐标为，对称轴baacbaxba24422开口方向：，向上，函数ayacba0442minayacba0442，向下，max应用：“三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程axbxcxxy
10、axbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()求闭区间m， n上的最值。求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如：二次方程的两根都大于axbxckbakf k20020( )y (a0) O k x1x2x 一根大于，一根小于kkf k( )0（ ）指数函数：，401yaaax（ ）对数函数，501yx aaalog由图象记性质！（注意底数的限定！ ）y y=ax(a1) (0a1) 1 O 1 x (0a5TId4ATy-cosxy x O 22ytgx对称点为，kkZ20yxkkkZsin
11、 的增区间为，2222减区间为，22232kkkZ图象的对称点为，对称轴为kxkkZ02yxkkkZcos 的增区间为，22减区间为，222kkkZ图象的对称点为，对称轴为kxkkZ20yxkkkZtan 的增区间为，2226. y = Asinx +正弦型函数的图象和性质要熟记。 或yAxcos（ ）振幅，周期12|AT若，则为对称轴。f xAxx00若，则，为对称点，反之也对。f xx0000（）五点作图：令依次为， ，求出与 ，依点202322xxy（ x， y）作图象。（ ）根据图象求解析式。（求、 值）3A如图列出()()xx1202解条件组求、 值正切型函数，yAxTtan|27.
12、 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。如：，求 值。cos xxx62232（，）xxxx3276653654131228. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数的值域是yxxsinsin| |（时，时，）x02220022yxxyysin29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：（ ）点（ ， ），平移至（，），则1PxyahkPxyxxhyyk()（ ）曲线，沿向量，平移后的方程为，200f xyahkf xhyk()()()如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的yxyx2241sins
13、in图象？（横坐标伸长到原来的倍yxyx22412212412sinsinT0X2V：24142121sinsinsinxyxyx左平移个单位上平移个单位纵坐标缩短到原来的倍）12yxsin30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如：142222sincossectantancotcossectansincos20称为 的代换。1“”化为的三角函数“奇变，偶不变，符号看象限”，k2“奇”、 “偶”指 k 取奇、偶数。如： costansin947621又如：函数，则 的值为yysintancoscotA. 正值或负值B. 负值C. 非负值D. 正值（，）ysinsincoscoscos
14、sinsincoscossin22110031. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式 及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：sinsincoscossinsinsincos令22coscoscossinsincoscossin令222tantantantantan1211222cossintantantan2212coscossincos22122122ababbasincossintan22，sincossin24Isincossin323应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：（ ）角的变换：如，1222（2）名的
15、变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。如：已知，求的值。sincoscostantan121232（由已知得：，sincossincossintan221122又 tan23）tantantantantantan212312123121832. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？余弦定理： abcbcAAbcabc22222222coscos（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）正弦定理：aAbBcCRaRAbRBcRCsinsinsinsinsinsin2222SabC12 sin，ABC
16、ABC，sinsinsincosABCABC22如中，ABCABC22212sincos（ ）求角；1C（）若，求的值。2222222abcABcoscos（ ）由已知式得：112112coscosABC又，ABCCC2102coscos或（舍）coscosCC121又，03CC（ ）由正弦定理及得：212222abc223342222sinsinsinsinABC121234coscosAB）coscos2234AB33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。反正弦：，arcsinxx2211反余弦：，arccosxx011反正切：，arctanxxR2234. 不等式的性质有哪些？（ ），
17、100abcacbccacbc（），2abcdacbd（ ），300abcdacbd（ ），4011011abababab（ ），50abababnnnn（ ），或60| | |xa aaxaxaxaxa如：若，则下列结论不正确的是（）110abA abB abb.222C ababDabba.| | | | |.2答案： C 35. 利用均值不等式：abab abRabababab222222，；求最值时，你是否注意到“，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定abRabab()()值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：ababababababR22222，当且仅当时等号成立。abab
18、cabbcca abR222，当且仅当时取等号。abcabmn000，则babmamanbnab1如：若，的最大值为xxx0234（设 yxx23422 1224 3当且仅当，又，时，）340233243xxxxymax又如：，则的最小值为xyxy2124（，最小值为）22222 222221xyxy36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。如：证明1121312222nV（112131111212311222nnn11121213111212）nnn370.( )( )解分式不等式的一般步骤是什么？f xg xa a（移项通分，分
19、子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。 ）38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始如： xxx11202339. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分或讨论aa10140. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式 |xx311（解集为）x x|1241.| | | | | | | | |会用不等式证明较简单的不等问题ababab如：设，实数 满足f xxxaxa( )|2131求证： f xf aa( )( )(| |)21证明：| ( )( )| |()()|f
20、xf axxaa221313|()()|( |)| | | | |xa xaxaxa xaxaxa11111又，| | | | | | | |xaxaxa111是重相2 f xf aaa( )( )| | |2221（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）如：恒成立的最小值af xaf x( )( )af xaf x( )( )恒成立的最大值af xaf x( )( )能成立的最小值例如：对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是xxxaa32（设，它表示数轴上到两定点和 距离之和uxx3223uaamin32555，即或者：，）xxxx
21、a32325543. 等差数列的定义与性质定义：为常数，aaddaandnnn111()等差中项：， 成等差数列xAyAxy2前 项和nSaannan ndnn11212性质：是等差数列an（ ）若，则；1mnpqaaaamnpq（）数列，仍为等差数列；2212aakabnnnSSSSSnnnnn，仍为等差数列；232（ ）若三个数成等差数列，可设为， ，；3adaad（）若，是等差数列，为前项和，则；42121abSTnabSTnnnnmmmm（）为等差数列（ ，为常数，是关于的常数项为52aSanbnabnnn0 的 二次函数）SSanbnannn的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、
22、负分界2项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值。adaaSnnnn110000当，由可得达到最小值时的值。adaaSnnnn110000如：等差数列，则aSaaaSnnnnnn1831123（由，aaaaannnnn12113331又，Saaaa31322233113Saanaannnnn12122131218n27）44. 等比数列的定义与性质定义：（ 为常数，），aaqqqaa qnnnn1110等比中项：、 成等比数列，或xGyGxyGxy2前 项和：（要注意）nSnaqaqqqnn111111()()!性质：是等比数列an（ ）若，则1mnpqaaaamnpq（ ），仍为等比数列2
23、232SSSSSnnnnn45.由求时应注意什么？Sann（时，时，）naSnaSSnnn1211146. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如： （ 1）求差（商）法如：满足aaaannnn121212251122解：naa1122151411时，naaannn2121212215212211时，12122得：nnaann21annnn141221()()练习数列满足，求aSSaaannnnn111534（注意到代入得：aSSSSnnnnn1114又，是等比数列，SSSnnn144naSSnnnn23411时，（2）叠乘法例如：数列中，求aaaannannnn1131解：aaaaaanna
24、annnn213211122311，又，aann133（3）等差型递推公式由，求，用迭加法aaf naaannn110( )naafaafaaf nnn22321321时，两边相加，得：( )( )( )aafff nn123( )( )( )aafff nn023( )( )( )练习数列，求aaaanannnnn111132（）ann1231（4）等比型递推公式acad cdccdnn 1010、 为常数，可转化为等比数列，设axc axnn 1acacxnn 11令，()cxdxdc11是首项为， 为公比的等比数列adcadccn111adcadccnn1111aadccdcnn1111
25、练习数列满足，求aaaaannnn11934（）ann84311（5）倒数法例如：，求aaaaannnn11122由已知得：1221211aaaannnn11121aann111121aan为等差数列，公差为11112121annnann2147. 你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗？例如： （ 1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：是公差为的等差数列，求ada ankkkn111解：由11111011aaaaddaadkkkkkk11111111a adaakkknkkkn11111111111223111daaaaaadaannn练习求和：1112112
26、31123n（，）aSnnn211（2）错位相减法：若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项aba bnnnnn和，可由求，其中为的公比。SqSSqbnnnn如：Sxxxnxnn12341231xSxxxxnxnxnnn234122341121121：x SxxxnxnnnxSxxnxxnnn11112时，xSnn nn112312时，（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。SaaaaSaaaannnnnn121121相加21211Saaaaaannnn练习已知，则f xxxfffffff( )( )( )( )( )2211212313414（由f xfxxx
27、xxxxx( )1111111112222222原式fffffff( )( )( )( )121231341412111312）48. 你知道储蓄、贷款问题吗？零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p 元，每期利率为r，n 期后，本利和为：Sprprpnrp nn nrn112112等差问题若按复利， 如贷款问题按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款分期等额归还本息的借款种类）若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n 次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足prxrxrxrxnnn()111112
28、xrrxrrnn111111xprrrnn111p贷款数，r利率， n还款期数49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。（ ）分类计数原理：112Nmmmn（为各类办法中的方法数）mi分步计数原理：Nmmmn12（为各步骤中的方法数）mi（2）排列：从n 个不同元素中，任取m（mn）个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有排列的个数记为nmAnm.An nnnmnnmmnnm121!规定： 0!1（3）组合：从n 个不同元素中任取m（mn）个元素并组成一组，叫做从n 个不同元素中取出个元素的一个组合，所有组合个数记为mCnm
29、.CAAn nnmmnm nmnmnmmm11!规定： Cn01（ ）组合数性质：4CCCCCCCCnmnnmnmnmnmnnnnn，1101250. 解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为1，2， 3，4 的四名学生的考试成绩xixxxxi899091929312341234， ， ，且满足，()则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成两类：（ ）中间两个分数不相等，1有（种）C545（2）中间两
30、个分数相等xxxx1234相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3 种，有 10 种。共有 51015（种）情况51. 二项式定理()abC aC abC abC abC bnnnnnnnnrn rrnnn011222二项展开式的通项公式：， TC abrnrnrnrr101()Cnr为二项式系数（区别于该项的系数）性质：（ ）对称性：， ，1012CCrnnrnn r（）系数和：2CCCnnnnn012CCCCCCnnnnnnn13502412（3）最值： n 为偶数时， n1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第nCnnnn2112项，二项式系数为； 为奇数
31、时，为偶数，中间两项的二项式()系数最大即第项及第项，其二项式系数为nnCCnnnn121211212如：在二项式的展开式中，系数最小的项系数为（用数字x111表示）（n11共有项，中间两项系数的绝对值最大，且为第或第项1212267由，取即第 项系数为负值为最小：C xrrrr1111156()CC116115426又如：，则122004012220042004xaa xa xaxxR13aaaaaaaa01020302004（用数字作答）（令，得：xa010令，得：xaaa11022004原式）200320031120040012004aaaa52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？（ ）必
32、然事件，不可能事件，110PP)( )（ ）包含关系：，“发生必导致发生”称包含。2ABABBAA B （ ）事件的和（并）：或“与至少有一个发生”叫做与3ABABABAB的和（并） 。（）事件的积（交）：或“与同时发生”叫做与的积。4ABABABAB（5）互斥事件（互不相容事件）： “A 与 B 不能同时发生”叫做A、B 互斥。AB（6）对立事件（互逆事件）：“不发生”叫做发生的对立（逆）事件，AAAAAAA，Himmmm麵irCM:,（7）独立事件： A 发生与否对B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。ABABABAB与独立，与，与，与也相互独立。53. 对某一事件概率的
33、求法：分清所求的是： （1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即P AAmn()包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数（）若、互斥，则2ABP ABP AP B()()（ ）若、相互独立，则3ABP ABP AP B（ ）41P AP A()()（5）如果在一次试验中A 发生的概率是p，那么在n 次独立重复试验中A 恰好发生k次的概率： P kC ppnnkknk( )1如：设 10 件产品中有4 件次品， 6 件正品，求下列事件的概率。（1）从中任取2 件都是次品；PCC142102215（2）从中任取5 件恰有 2 件次品；PC CC242631051021（3）从中有放回地任取
34、3 件至少有2 件次品；解析： 有放回地抽取3 次（每次抽1 件） ， n103而至少有 2 件次品为“恰有2 次品”和“三件都是次品”mC322134 64PC3322334641044125mII；.；,.；.pAA霧調_拿:取專职靈m（4）从中依次取5 件恰有 2 件次品。解析： 一件一件抽取（有顺序），nAmC A A105425263PC A AA44252631051021分清（ 1） 、 （2）是组合问题， （3）是可重复排列问题， （4）是无重复排列问题。54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样， 常
35、用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分， 每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。55. 对总体分布的估计用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法：（ ）算数据极差；1xxmaxmin（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图。其中，频率小长方形的面积组距频率组距样本平均值：xnxxxn112样本方差：Snxxxxxxn2122221如：从 10 名女生与5 名男生中选6 名学生
36、参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为_。（）C CC1045215656. 你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量既有大小又有方向的量。（）向量的模有向线段的长度，2| |a（ ）单位向量，3100| |aaaa（ ）零向量，4000| |（ ）相等的向量长度相等方向相同5ab在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。（6）并线向量（平行向量）方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。ba bba存在唯一实数，使()0（7）向量的加、减法如图：OAOBOCOAOBBA（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）eea12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量
37、，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量12112212aeeee的一组基底。（9）向量的坐标表示F0tijxy，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数， ，使得ax iy jxyaaxy，称，为向量的坐标，记作：，即为向量的坐标()表示。设，axybxy1122则，abxyyyxyxy11121122axyxy1111，若，A xyB xy1122则，ABxxyy2121|ABxxyyAB212212，、两点间距离公式57. 平面向量的数量积（ ）叫做向量与的数量积（或内积）。1ababab| | |cos为向量与的夹角，ab0B bO D A a数量积的几何意义：ab
38、abab等于与在的方向上的射影的乘积。| | |cos（2）数量积的运算法则abbaACiiy)()ab cacbc，abxyxyx xy y11221212注意：数量积不满足结合律()()abcabc（ ）重要性质：设，31122axybxyababxxyy001212或ababababab| | | | |abb（， 惟一确定）0 x yx y12210，aaxyabab221212| | | | |cos| | |ababx xy yxyxy121212122222练习（ ）已知正方形，边长为 ，则11ABCDABaBCbACc|abc答案：2 2（ ）若向量，当时与共线且方向相同214
39、axbxxab答案： 2 （ ）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么3603ababo|答案：1358. 线段的定比分点设，分点，设、是直线上两点，点在P xyP xyP xyPPP11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做 分有向线段PPP PPPP1212P PPP PPP P12121200所成的比（， 在线段内， 在外），且xxxyyyPP Pxxxyyy12121212121122， 为中点时，如：，ABCA xyB xyC xy112233则重心的坐标是，ABCGxxxyyy12312333. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？59. 立体几何中
40、平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线线线面面面判定线线线面面面性质线线线面面面线面平行的判定：abbaa ，面，面a b 线面平行的性质：面，面 ，bab三垂线定理（及逆定理）：PAAOPO面，为在内射影，面，则aaOAaPOaPOaAO； a P O 线面垂直：abacbcbcOa ， ， ，a O b c 面面垂直：aa面，面面面， llaaaalabab面 ， 面面 ，面aaa b 60. 三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角，0 90（2）直线与平面所成的角，0 90时，或0bobb平移相交&/B7（ ）二面角：二面角的平面角，30180loo（
41、三垂线定理法：A作或证AB于 B，作 BO棱于 O，连 AO ，则 AO 棱l， AOB 为所求。）三类角的求法：找出或作出有关的角。证明其符合定义，并指出所求作的角。计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。练习（1）如图， OA 为的斜线OB 为其在内射影，OC 为内过O 点任一直线。证明：coscoscosA O B CD （ 为线面成角，）AOC =BOC =b作垂线找射影/7(定义法（2）如图， 正四棱柱ABCD A1B1C1D1中对角线BD18，BD1与侧面 B1BCC1所成的为 30。求 BD1和底面 ABCD 所成的角；求异面直线BD1和 AD 所成的角；求二面角C1BD1B1的
42、大小。D1C1A1B1 H G D C A B （；）arcsinarcsin346063o（3）如图 ABCD 为菱形， DAB 60， PD面 ABCD ，且 PDAD ，求面 PAB 与面 PCD 所成的锐二面角的大小。P F D C A E B （ AB DC，P 为面 PAB 与面 PCD 的公共点， 作 PFAB ，则 PF 为面 PCD 与面 PAB的交线）61. 空间有几种距离？如何求距离？点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。将空间距离转化为两点的距离，构造三角形， 解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法） 。如：正方形ABCD A1B1C1D
43、1中，棱长为a，则：（1）点 C 到面 AB1C1的距离为 _；（2）点 B 到面 ACB1的距离为 _；（3）直线 A1D1到面 AB1C1的距离为 _；（4）面 AB1C 与面 A1DC1的距离为 _；（5）点 B 到直线 A1C1的距离为 _。D C A BD1C1A1B162. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？正棱柱底面为正多边形的直棱柱正棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：Rt SOBRt SOERt BOERtSBE，和它们各包含哪些元素？SChCh正棱锥侧（底面周长，为斜高）12V锥底面积高1363. 球有哪些
44、性质？（ ）球心和截面圆心的连线垂直于截面122rRd（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！EclB0aA（3）如图，为纬度角，它是线面成角；为经度角，它是面面成角。（ ），球球444323SRVR（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为 R：r3：1。如：一正四面体的棱长均为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面2积为 （ ）ABCD.343 36答案： A 64. 熟记下列公式了吗？（ ） 直线的倾斜角，102212112lkyyxxxxtanP xyPxyak1112221，是上两点，直线的方向向量，ll（2）直线
45、方程：点斜式：（ 存在）yyk xxk00斜截式： ykxb截距式：xayb1一般式：（、不同时为零）AxByCAB0（ ）点，到直线：的距离30000022P xyAxByCdAxByCABl（ ） 到的到角公式：41122112lltankkk kll1221121与的夹角公式： tankkk k65. 如何判断两直线平行、垂直？A BA BA CA C1221122112llkkl1212l （反之不一定成立）A AB B1212120llkk12121ll66. 怎样判断直线l与圆 C 的位置关系？圆心到直线的距离与圆的半径比较。直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。67. 怎样判
46、断直线与圆锥曲线的位置？联立方程组关于 （或 ）的一元二次方程“ ”相交；相切；相离xy00068. 分清圆锥曲线的定义第一定义椭圆，双曲线，抛物线PFPFaacF FPFPFaacFFPFPK12121212222222第二定义： ePFPKca0111eee椭圆；双曲线；抛物线y b O F1F2a x xac2xaybab222210abc222Axaybab2222100，cab222F k e1 e=1 0e1 P 691022222222. 与双曲线有相同焦点的双曲线系为xaybxayb70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？ 0 的限制。
47、（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在0 下进行。）弦长公式 P Pkxxx x1221221214114212212kyyy y71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？如：y*b7Fivy P(x0,y0)K F1O F2 x lxayb22221PFPKePFe xacexa22020，PFexa10y A P2O F x P1 B ypx p220通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。如：椭圆与直线交于、两点，原点与中点连mxnyyxMNMN2211线的斜率为，则的值为22mn答案：mn2273. 如何求解“对称”
48、问题？（1）证明曲线C：F（x，y） 0关于点 M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C 上任意一点，设A（x，y）为 A 关于点 M 的对称点。（由，）axxbyyxaxyby2222_只要证明，也在曲线 上，即AaxbyCf xy( )22（ ）点、关于直线对称中点在上2AAAAAAlllkkAAAA中点坐标满足方程ll174222.cossin圆的参数方程为（ 为参数）xyrxryr椭圆的参数方程为（ 为参数）xaybxayb22221cossin75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。（直接法、定义法、转移法、参数法）76. 对线性规划问题： 作出可行域， 作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。