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1、 【标题 01】三角函 数线大小比较错误 【习题 01】下列不等式成立的是. _ A B tan1cos1sin1sin1tan1cos1 C D sin1cos1tan1cos1sin1tan1【经典错解】作出 弧度角的三角函数线，观察得选. 1C【详细正解】在单位圆中，作出 1 弧度角的正弦线、余弦线和正切线，观察可以得到cos1sin1tan1，故选. D 【习题 01 针对训练】已知，那么下列命题成立的是. sinsin_ A若是第一象限角，则； B若是第二象限角，则； , coscos, tantan C若是第三象限角，则； D若是第四象限角，则. , coscos, tantan
2、【标题 02】正弦函数的图像和性质理解不清 【习题 02】有下列命题：的递增区间是；在第一象限是增sinyx2,2()2kkkZsinyx函数； 在上是增函数，其中正确的个数是 . sinyx,2 2 A B C D 0123【经典错解】由于是正确的，故选. C【详细正解】由于的递增区间是，所以是错误的；由于sinyx2,2()22kkkZsinyx在第一象限不是单调函数，所以是错误的.是正确的，故选. B【深度剖析】 （1）经典错解错在正弦函数的图像和性质理解不清. （2）不能因为正弦函数在是增(0,)2函数，就说正弦函数在第一象限是增函数，实际上正弦函数在第一象限是不单调的. 在提到第一象
3、限的时候，不能只想到，因为高中角的定义进行了推广,第一象限的角用区间表示为(0,)2.如和 都是第一象限的角，且，但是2,2()2kkkZ03900600039060. 00013sin390sin30sin6022【习题 02 针对训练】下列命题中，正确的是. _A函数在内是单调函数； B在第二象限内，是减函数，也是减函sinyx0, sinyxcosyx数； C的增区间为； D在区间上是减函数. cosyx0, sinyx, 2 【标题 03】对函数的结构分析不清对复合函数分析不到位 【习题 03】已知函数的定义域为，值域为，求和的值 ( )2 sin(2)3f xaxb0,2 5,1ab
4、【经典错解】 200222333xxx 由题得， 解得. 3sin(2)123x2135abab+ = -+ =-126 323 12 3ab=-=-+【详细正解】 230022sin(2)1233323xxxx 当0 时，则，解得； a2135abab+ = -+ =-126 323 12 3ab=-=-+当0 时，则， 解得； a2531abab+ =- -+ =126 319 12 3ab=-=-当=0 时，显然不符合题意. a=126，=23+12或=12+6，=1912 a3b3a3b3 【习题 03 针对训练】已知的定义域是，值域是，求2( )2 sin2 2 sinf xaxax
5、ab0,2 5,1a和的值. b【标题 04】三角函数图像的左右平移没有理解透彻 【习题 04】将函数的图象向右平移个单位，再向上平移 个单位，所得函数图象对应的解析xy2sin41式为 . 【经典错解】将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，再向上平移 1xy2sin4sin 2 -)4yxp=（个单位得函数的图象，故所得的函数对应的解析式为. sin(2) 14yxp=-+sin(2) 14yxp=-+【详细正解】将函数的图象向右平移个单位得到函数xy2sin4的图象，再向上平移 1 个单位得函数的图象，xxxy2cos)22sin()4(2sincos21yx 故所得的函数对应的解析式
6、为.故填. cos21yx cos21yx 【习题 04 针对训练】函数的图像向右平移个单位后，与函数cos(2)()yx2的图像重合， 则= . )32sin(xy 【标题 05】三角函数图像的伸缩变换理解不透彻 【习题 05】把函数的图像上的点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的函数的sin()3yxp=+2解析式为 . 【经典错解】把函数的图像上的点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到的函数sin()3yxp=+的解析式为.所以填. 11sin()sin()2326yxxpp=+=+1sin()26yxp=+【详细正解】把函数的图像上的点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐
7、标不变，得到的函数sin()3yxp=+的解析式为.故填. 1sin()23yxp=+1sin()23yxp=+【深度剖析】 （1）经典错解错在三角函数图像的伸缩变换理解不透彻.（2）把函数 y=f(x) 的图像上的点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到的函数为，也就是说只是把函数的解析中有“1()2yfx= ”的地方换成“” ，其它的都不变，所以把函数的图像上的点的横坐标伸长到原来的x12xsin()3yxp=+2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为. 1sin()23yxp=+【习题 05 针对训练】要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有2cosxy 2sin(2)4yx的点的
8、( ). A.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 1 12 28 8B.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 1 12 24 4C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 4 4D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 8 8 【标题 06】图像左右平移理解错误 【习题 06】要得到的图象，只须将的图象( ) ( )tan(2)3f xx( )tan2f xxA向右平移个单位 B向左平移个单位 33C向左平移个单位 D向右平移个单位 66【经典错解】只须将函数的图象向右平移个单位就可以得
9、到函数的( )tan2f xx3p( )tan(2)3f xx图象，故选. A【详细正解】由于 tan=,只须将函数的图象向右平移个单位就可23x)6(2tanx( )tan2f xx6以得到函数的图象，故选 D. ( )tan(2)3f xx 【习题 06 针对训练】函数的图象可看成的图象按如下平移变换而得到的3sin 33yx3sin3yx（ ）. A向左平移个单位 B向右平移个单位 99 C向左平移个单位 D向右平移个单位 33 【标题 07】求三角函数解析式时代点错误 【习题 07】函数的部分图象如图所示，则函数表达式为),2, 0)(sin(RxxAy（ ）. A B )48sin(
10、4xy)48sin(4xyC D )48sin(4xy)48sin(4xy【经典错解】由图像得,则 代入，得4,2 (62)16AT81624sin()8yx(6,0)，则 3sin()04pf+=33|442kkzk4，故选. 4sin()84yxpp=+C【详细正解】由图像得,则代入，得4,2 (62)16AT81624sin()8yx(2, 4)， 1)4sin(33224244kkzk .故选. 34sin()4sin()4sin()848484yxxx D位置的点. 【习题 07 针对训练】函数（）的图象如图所示，则值( )sin()f xAx0,0,0A(0)f为（ ） A B C
11、 D 1023 【标题 08】解三角方程组时没有把解出的值代入每一个方程检验导致出现增解 【习题 08】是否存在，使等式 (,)2 2 (0, )sin(3)2cos()2同时成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 3cos()2cos() , 【经典错解】由条件得 sin2sin13cos2cos2（）（） 得 ， 即 221 +2（）（）22sin3cos221cos22cos2 将代入（2）得 又 (,)2 244 或-43cos2(0, )，代入（1）可知，符合将代入（2）得， 64 6综上可知 . 4646 或【详细正解】 （前面同上）将代入（2）得，把代入（1）可知，不符4
12、646 合，所以舍去. 综上可知 46 【习题 08 针对训练】是否存在锐角与 ，使得（1）， （2） 223tantan223同时成立若存在，求出和的值；若不存在，说明理由 【标题 09】把求三角函数在区间上的单调区间当作是求三角函数在 R 上的单调区间了 【习题 09】已知函数的部分图象如图所示 ( )sin()(0,0)3f xAxA 和的值； A 函数在的单调增区间；来源:学.科.网 yf x0, 函数在区间上恰有个零点，求的最大值 ( )( ) 1g xf x( , )a b10ba【经典错解】 （1） ，所以 2,A 243124T2 2sin 23f xx（2）令， 得， 222
13、232kxkkZ51212kxk所以函数的单调增区间是. 5,1212kkkz ，得或 2sin 213f xx 512xk3()4xkkZ函数在每个周期上有两个零点，所以共有个周期，所以最大值为 ( )f x5ba217533T【详细正解】1） ，所以 2,A 243124T2 2sin 23f xx（2）令， 得， 222232kxkkZ51212kxk当 时， 当时， . 0k 51212x1k 7131212x又因为，所以函数在的单调增区间为和 . x0, yf x0, 0,127, 12（3）同上. 【深度剖析】 （1）经典错解错在把求三角函数在区间上的单调区间当作是求三角函数在 R
14、 上的单调区间了.（2）已知要求的是函数在区间上的单调增区间，不是 R 上的单调增区间，所以求出函数在 R 上0, 的单调增区间后，还要把增区间和求交集.（3）解题时，一定要养成好的习惯，不要定势思维. 0, 【习题 09 针对训练】已知函数 2( )2cos2 3sincos ().f xxxx xR（1）当时，求函数的单调递增区间； 0, xf(x)（2）若方程在内恒有两个不相等的实数解，求实数 的取值范围 ( )1f xt 0,2xt 【标题 10】三角函数的周期公式的使用情景没有理解清楚 【习题 10】已知的最小正周期是，则. 2( )sinf xx4_【经典错解】由题得 ，故填 .来
15、源:学,科,网 284|T 8【详细正解】 21 cos2112( )sincos242224|2|xf xxx 【习题 10 针对训练】已知的最小正周期是，则.来源:Zxxk.Com 2( )12cos ()4f xx 2_ 【标题 11】不能正确利用正切函数的图像和性质解不等式 【习题 11】已知是的一个内角，则不等式的解集为 . ABC3tan1【经典错解】由正切函数的图像得不等式的解集为 2|43【详细正解】当时， ；当时，. 0204223所以不等式的解集为.故填 2|043或2|043或【深度剖析】 （1）经典错解错在不能正确利用正切函数的图像和性质解不等式. （2）实际上本题可以
16、直接画出正切函数在 的图像，再画 两条直线，观察两条直线之间的部分图像的的取(0, )31yy 和值范围.(3)数学是严谨的自然科学，要讲究逻辑，不能感性. 【习题 11 针对训练】不等式的解集为. tan(2)14x _ 【标题 12】凭想象而不是利用三角函数的图像和性质解答 【习题 12】函数在区间 上的值域为 . f （x)=t anx2,33【经典错解】由于 所以函数的值域为. 2()3()333ff 3, 3【详细正解】作出函数的图像，在截断到，观察得函数的值域为 f （x)=t anx2,33 ，故填. 3,)(,3 3,)(,3 【标题 13】三角函数的周期分析错误 【习题 13
17、】已知，且，函数的图象的相邻两条对称轴之3sin5(, )2( )sin()(0)f xx 间的距离等于，则的值为（ ） 2()4fA B C D 35453545【经典错解】相邻两条对称轴之间的距离等于,即周期,又，所以2242T3sin5()4f，故选 A. 3sin()sin5 【详细正解】相邻两条对称轴之间的距离等于,即周期,又，且2222T3sin5，可求得，所以，故选. (, )254cos()4f54cos)2(sinB【深度剖析】 （1）经典错解错在三角函数的周期分析错误. （2）错解把相邻两条对称轴的距离看作了一个周期，实际上是周期的一半，所以错误. 所以对于三角函数的图像要
18、会识图,不要看错. 【习题 13 针对训练】若函数(，)在一个周期内的图象如图所示，sin()yAx0A 0|2 分别是这段图象的最高点和最低点，且，则（ ） ,M N0OM ON A A B C D 67127673 【标题 14】三角函数的周期和最值分析错误 【习题 14】已知函数中在任意的个长度单位的距离内能同时取得最大值和最小 ( )2sin()6f xxx15值，那么正实数的取值范围是. _【经典错解】由题得 故填 211000105T (0,10 【详细正解】由题得 故填. 21100105T10 ,) 【习题 14 针对训练】已知函数 在内是减函数，则（ ） tanyx(,)2
19、2 A B C D 011 110 【标题 15】复合函数的单调性理解没有到位 【习题 15】函数的单调增区间是 . ( )sin( 2 )f xx【经典错解】由题得 2222244kxkkzkxk 故填. ,44kkkz【详细正解】由题得 332+222244kxkkzkxk 故填. 3,44kkkz方法二： 所以 ( )sin( 2 )sin2xf xx 32+2222kxkkz 故填. 344kxk3,44kkkz 【习题 15 针对训练】设函数（）的图象的一条对称轴 ( )sin( 2)f xx0是直线.求； 求函数的单调增区 间. 8x( )yf x 【标题 16】三角函数的周期扩大
20、了导致错误 【习题 16】为了使函数在区间上至少出现次最大值，则的最小值是sin(0)yx0,150_. A B C D 9819721992100【经典错解】由题得 故选. 2150100的最小值是100 .D【详细正解】由题得故选. 11 21971971491494422T的最小值是.B【深度剖析】 （1）经典错解错在三角函数的周期扩大了导致错误. （2）错解认为区间至少要包含 500,1个周期，但是从三角函数的图像来看，只需要个周期就可以了. 1494【习题 16 针对训练】已知函数( )cos(sin3cos) (0)f xxxx，如果存在实数0 x，使得对任意的实数x，都有00()
21、( )(2016 )f xf xf x成立，则的最小值为（ ） A14032 B12016 C14032 D12016来源:Z#xx#k.Com 【标题 17】绝对值函数的图像理解不准确 【习题 17】函数的最小正周期为 . | tan|yx【经典错解】函数的最小正周期是，所以函数的最小正周期为.所以填tanyx| tan|yx122 . 2【详细正解】函数的最小正周期是，所以函数的最小正周期为.所以填. tanyx| tan|yx 【习题 17 针对训练】下列函数中，最小正周期为的是（ ） 2A B. C. D. |sin2 |yxcos|yx1|sin|2yx|sin|4yx（） 【标题
22、18】求函数的取值范围时忽略了三角函数的隐含范围 【习题 18】已知，则的取值范围为. 222sincos1xy22sincosxy_【经典错解】由已知得，所以 22cos1 2sinyx 2222sincossin1 2sinxyxx 21 sin x 2220sin11sin001 sin1xxx 所以的取值范围为 22sincosxy0,1【详细正解】由已知得 2222211cos12sin0sinsin00sin22yxxxx 所以 2222sincossin1 2sinxyxx 21 sin x 2221110sinsin01 sin1222xxx 所以的取值范围为. 22sinco
23、sxy1 ,12 【习题 18 针对训练】已知，求的最大值和最小值. 1sinsin3xy2sincosxy 【标题 19】求函数的值域时忽略了分母不等于零 【习题 19】设函数 在 处取得最大值 ，其图像( )sin()f xAwx(0,w0,)A6x2与 轴的相邻两交点的距离为 ， （1）求 的解析式；（2）求函数 的值x2( )f x426cossin1( )()6xxg xf x域. 【经典错解】 （1）由题设条件知的周期，即，解得 ( )f xT22因在处取得最大值 2，所以 ，从而 ， ( )f x6x2A sin(2)16所以 ，又由 得 22,62kkZ6故的解析式为 ( )f
24、 x( )2sin(2)6f xx（2） 42426cossin16coscos2( )2cos22sin(2)2xxxxg xxx222(2cos1)(3cos2)2(2cos1)xxx因为，所以 . 故 的值域为 23cos12x2cos0,1x5( )1, 2g x ( )g x51, 2【详细正解】 （1）同上； （2） 42426cossin16coscos2( )2cos22sin(2)2xxxxg xxx222(2cos1)(3cos2)2(2cos1)xxx因，且 2231cos1(cos)22xx2cos0,1x21cos2x 故 的值域为 ( )g x77 51, )( ,
25、 44 2【深度剖析】 （1）经典错解错在求函数的值域时忽略了分母不等于零.（2）错解忽略了分母，所以导致函数的值域错误.（3）研究函数的问题，必须注意函数的定义域，即使题目没22cos10 x 有要求求函数的定义域. 【习题 19 针对训练】设函数（其中）在处取得( )sin(2)f xAwx(0,w0,)A6x最大值，其图象与轴的相邻两个交点的距离为 2x2（1）求的解析式；（2）求的解集； ( )f x( )30f x （3）求函数的值域 424cos2sin( )()6xxg xf x 【标题 20】研究函数的问题时没有考虑函数的自变量的范围 【习题 20】已知锐角中，向量与向量ABC
26、(22sin,cossin)pAAA(sincos ,1 sin)qAAA共线. （1）求； （2）函数的值域. A232sincos2CByB 【详细正解】 （1）同上；（2） 202sincos(260 )BB01 cos2cos(260 )BB 01 sin(230 )B 因为是锐角三角形 所以 ABC002226200322BBBBC所以 5122sin(2)1366626BBB所以 所以函数的值域为 . 31 sin(2)226B 3( ,22 【习题 20 针对训练】在中，且. ABC(2sinsin,cos)mBCC(sin,cos)nAA/ /mn（1）求角的值； （2）求的最
27、大值. A2( )2sincos(2 )3f xBB 高中数学经典错题深度剖析及针对训练 第 18 讲：三角函数的图像性质参考答案 【习题 01 针对训练答案】 D【习题 01 针对训练解析】在单位圆中，根据画出 ,再逐一利用三角函数线验证每一个sinsin，选项，故选.学！科网 D【习题 02 针对训练答案】 D 222( )22 22 ()2g tatataba tb当0 时，则；解之得=6，=5； a51bab=-+ =ab当=0，不满足题意； a当0 时，则；解之得=6，=1 a15bab=+ =-ab综上所述：=6，=5 或=6，=1 abab【习题 04 针对训练答案】 65【习题
28、 04 针对训练解析】函数向右平移得到 cos2()cos(2x)2yx ，故填. 5sin(2)sin(2)22236yxx65【习题 05 针对训练答案】 C【习题 05 针对训练解析】根据题意可知：22sin(2)2sin()44yxyx 横坐标伸长为原来的倍.故选. 42sin()44yx 向左平移个单位= 2sin()= 2cos2xxC【习题 06 针对训练答案】 A【习题 06 针对训练解析】因为，所以的图象向向左平移3sin(3)3sin3()39yxx3sin3yx个单位即可得到函数的图象. 93sin 33yx【习题 07 针对训练答案】 A 【习题 08 针对训练解析】由
29、得到， 223123所以 来源:Zxxk.Com tantan2tan()tan3231tantan2把 代入式子中得到：， tantan232tantan332把联立求得：或 tan1tan232tan23tan12由题知锐角 ，当时，矛盾，所以舍去； tan122当 时，因为 为锐角，所以， tan14根据得到综上所述. 223664【习题 09 针对训练答案】 （1）， ；（2）. 0,62, 312t 【习题 09 针对训练解析】(1) = 2( )2cos3sin2f xxxcos23sin21xx= 令， 2sin 216x-222,262kxkkZ解得 即 ， 222233kxk
30、36kxkkZ 【习题 10 针对训练解析】 21 cos(2)2( )12cos ()1242xf xx sin22x 故填. 22|2|2T 2【习题 11 针对训练答案】 |+2428kkxxkz【习题 11 针对训练解析】由题得 2+442kxkkz所以 故填. +2428kkxkz |+2428kkxxkz【习题 12 针对训练答案】 33,)(,3 【习题 12 针对训练解析】或 25tan()3633666xxx . 3tan()63x 33,)(,3 函数的值域为【习题 13 针对训练答案】 C【习题 13 针对训练解析】由图得，则，设（，） ，则（，-4312T2M12AN7
31、12 ） ，解得 A0OM ON 0A701212AA712A76A【习题 14 针对训练答案】 D【习题 14 针对训练解析】函数在内是减函数，且正切函数在内是增函tanyx(,)2 2 (,)2 2 数，由复合函数的单调性可知， 在内是减函数，即 且，解得：x(,)2 2 0|10 故选. D【习题 15 针对训练答案】 5,88kkkz【习题 15 针对训练解析】 31824kkzk （）由题得-2 ， 1=4k 时，( )sin( 2)sin(2)44f xxx 3222242kxkkz解之得 所以函数的增区间是. 588kxk5,88kkkz【习题 16 针对训练答案】 C 【习题
32、18 针对训练答案】 411;.912【习题 18 针对训练解析】 11sinsinsinsin33xyxy 21sin1sin13xy 2222112sincossincossin(1 sin)sinsin333xyyyyyyy2111(sin)212y当时，的最小值为.当时，的最大值为. 1sin2y 2sincosxy11122sin3y 2sincosxy49 【习题 19 针对训练答案】 （1）；（2）；（3）( )2sin(2)6f xx |124xkxkkz. 331, )( ,222 424222224cos2sin4cos2cos23( )2cos2()6(2cos1)(2cos2)cos12(2cos1)xxxxg xxf xxxxx（） 因且 ，故的值域为. 21cos2x 2cos0,1x21cos2x ( )g x331, )( ,222【习题 20 针对训练答案】 （1）；（2） . 060A 2【习题 20 针对训练解析】 （1） |(2sinsin)coscossin0m nBCACA 02sincossincoscossin02sincossin()sin()sin1sin0cos602BACACABACABBBAAABCA 是的内角