高中数学经典难题50道(附答案).pdf-淘文阁

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1、高中数学题库高中数学题库 1. 求下列函数的值域：解法 2 令tsinx，则f(t)t2t1， |sinx|1, |t|1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间1,1上的最值本例题(2)解法 2 通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相

2、距m万千米和m34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32和，求该慧星与地球的最近距离。解：解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0 ,( cF 处，椭圆的方程为12222byax（图见教材 P132 页例 1）。当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3时，由椭圆的几何意义可知，彗星 A 只能满足)3(3/xFAxFA或。作mFAFBOxAB3221B，则于故由椭圆第二定义可知得)32(34)(22mccaacmccaacm 两式相减得,23)4(21.2,3231cccmcamacm代入第一式得 .32.32mccamc 答：彗星与地球的最近距离为m32万千米

3、。说明：说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是ca ，另一个是. ca （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。 3. A，B，C 是我方三个炮兵阵地，A 在 B 正东 6Km，C 在 B 正北偏西30，相距 4Km，P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于 B，C 两地比 A 距 P 地

4、远，因此 4s后，B，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 1sKm/，A 若炮击 P地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书 P249 例 2）解：解：如图，以直线 BA 为x轴，线段 BA 的中垂线为y轴建立坐标系，则)32 , 5(),0 , 3(),0 , 3(CAB，因为PCPB ，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上。因为3BCk， BC 中点)3, 4(D，所以直线 PD 的方程为)4(313xy （1）又, 4 PAPB故 P 在以 A，B 为焦点的双曲线右支上。设),(yxP，则双曲线方程为)0( 15422x

5、yx （2）。联立（1）（2），得35, 8yx，所以).35 , 8(P因此33835PAk，故炮击的方位角北偏东30。说明：说明：本题的关键是确定 P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。 4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽度为 8 米，一小船宽 4 米，高 2米，载货后船露出水面的部分高 0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为)0(22ppyx。将 B（4,-5）代入得 P=1.6 yx2 . 32船两侧与抛物线接触时不能通过则 A(2,yA)，由 22=-3.2 yA得

6、 yA = - 1.25 因为船露出水面的部分高 0.75 米所以 h=yA+0.75=2 米答：水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时，小船开始不能通行思维点拔思维点拔注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。 5. 如图所示，直线1l和2l相交于点 M，21ll ，点1lN ，以 A、B 为端点的曲线段 C上任一点到2l的距离与到点 N 的距离相等。若AMN为锐角三角形，6NB, 3,17且ANAM，建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程。解：以直线1l为 x 轴，线段 MN 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段 C 是以点 N 为焦点，

7、以2l为准线的抛物线的一段，其中 A、B 分别为曲线段 C 的端点。设曲线段 C 的方程为)0,)(0(22yxxxppxyBA，其中BAxx ,为 A、B 的横坐标，MNp ，所以)0 ,2(),0 ,2(pNpM ，由3,17ANAM，得172)2(2AApxpx （1） 92)2(2AApxpx （2），（1）（2）联立解得pxA4，代入（1）式，并由0p 解得2214AAxpxp或，因为AMN为锐角三角形，所以Axp2，故舍去22Axp，所以14Axp 由点 B 在曲线段 C 上，得42PBNxB，综上，曲线段 C 的方程为)0, 41 (82yxxy 思维点拔思维点拔本题体现

8、了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。 6. 设抛物线)0(42aaxy的焦点为 A,以 B(a+4,0)点为圆心，AB为半径，在 x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点 M，N。点 P 是 MN 的中点。（1）求AM+AN的值（2）是否存在实数 a，恰使AMAPAN成等差数列？若存在，求出 a，不存在，说明理由。解：(1)设 M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为 M,N,P. AM + AN = MM + NN =xM+xN+2a 又圆方程16)4(22yax 将axy42代入得08)4(222aaxax

9、 axxNM42得AM+AN=8 (2)假设存在 a 因为AM+AN=MM+NN=2PP 所以AP=PP ，P 点在抛物线上，这与 P 点是 MN 的中点矛盾。故 a 不存在。 7. 抛物线022ppxy上有两动点 A， B 及一个定点 M， F 为焦点，若BFMFAF,成等差数列（1）求证线段 AB 的垂直平分线过定点 Q （2）若6, 4OQMF（O 为坐标原点），求抛物线的方程。（3）对于（2）中的抛物线，求AQB 面积的最大值。解：（ 1 ）设002211,yxMyxByxA，则21pxAF，22pxBF，20pxMF，由题意得2210 xxx，AB的中点坐标可设为tx

10、 ,0，其中 0221yyt（否则0pBFMFAF），而222121212121yypyyxxyykABtpyyp212，故AB的垂直平分线为0 xxptty，即00yppxxt，可知其过定点0 ,0pxQ （2）由6, 4OQMF，得6, 4200pxpx，联立解得2, 40 xpxy82。（ 3 ）直线 AB ：24xtty，代入xy82得0162222ttyy，2212212214644tyyyyyy，221222116yytxx ,16422tt221221yyxxAB22161621tt 425621t，又点0 , 6Q到AB的距离216td，dAB

11、SAQB21241625641tt64216256409641ttt 令642162564096tttu，则53664512tttu，令0 u即066451253ttt，得0t或162t或3162t，3162t334t时6964AQBS。思维点拔思维点拔设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。 8、已知直线)22tan(:xyl交椭圆9922 yx于 A、B 两点，若为l的倾斜角，且AB的长不小于短轴的长，求的取值范围。解：将l的方程与椭圆方程联立，消去y，得09tan72tan236)tan91 (2222xx 222

12、2122tan916tan6)tan91 (tan1tan1xxAB 由33tan33,31tan, 22得AB，的取值范围是,656, 0 思维点拔对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于l的方程由tan给出，所以可以认定2，否则涉及弦长计算时，还要讨论2时的情况。 9、已知抛物线xy2与直线) 1( xky相交于 A、B 两点（1）求证：OBOA （2）当OAB的面积等于10时，求k的值。（1）证明：图见教材 P127 页，由方程组) 1(2xkyxy消去x后，整理得02kyky。设),(),(2211yxByxA，由韦达定理得121yy BA,在抛物线xy2上

13、，212221222121,xxyyxyxy OBOAyyxxyyxyxykkOBOA, 112121212211 （2）解：设直线与x轴交于 N，又显然 , 0k令），（，即则01N1, 0 xy 2121212121yyONyONyONSSSOBNOANOAB 4)1(214)(121221221kyyyySOAB 61,412110,102kkSOAB解得思维点拔本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。 10、在抛物线 y2=4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称，求 k 的取值范围。解设 B、C 关于直线 y=kx+

14、3 对称，直线 BC 方程为 x=-ky+m 代入 y2=4x 得： y2+4ky-4m=0，设 B（x1，y1）、C（x2，y2），BC 中点 M（x0，y0），则 y0=（y1+y2）/2=-2k。x0=2k2+m，点 M（x0，y0）在直线上。-2k（2k2+m）+3，m=-kkk3223又 BC 与抛物线交于不同两点，=16k2+16m0 把 m 代入化简得0323kkk即0) 3)(1(2kkkk，解得-1k0 即 m2-k2-90，b0）的值是最大值为 12，则23ab的最小值为（） A625 B38 C 311 D 4 答案：答案：A 解析：解析：不等式表示的平面区

15、域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a0，b0）过直线x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时，目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12，即 4a+6b=12，即 2a+3b=6, 而23ab=23 23()6abab13()6baab1325266，故选A 点评：点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知 2a+3b=6，求23ab的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 13、本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的

16、广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为 03 万元和 02 万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是万元答案：答案：70 解析解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得3005002009000000.xyxyxy，，目标函数为30002000zxy 二元一次不等式组等价于3005290000.xyxyxy，，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：

17、作直线:300020000lxy，即320 xy 平移直线，从图中可知，当直线过M点时，目标函数取得最大值 0 100 200 300 100 200 300 400 500 y x l M 联立30052900.xyxy，解得100200 xy，点M的坐标为(100 200)， max30002000700000zxy（元）点评点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一 14、设

18、a为实数，函数2( )2()|f xxxaxa (1)若(0)1f，求a的取值范围； (2)求( )f x的最小值； (3)设函数( )( ),( ,)h xf x xa，直接写出(不需给出演算步骤)不等式( )1h x 的解集解析：解析：（1）若(0)1f，则20| 111aa aaa ；（2）当xa时，22( )32,f xxaxa22min( ),02,0( )2( ),0,033f a aa af xaafaa，当xa时，22( )2,f xxaxa2min2(),02,0( )( ),02,0fa aa af xf a aa a，综上22min2,0( )2,03a af

19、xaa；（3）( ,)xa时，( )1h x 得223210 xaxa ， 222412(1)128aaa 当6622aa 或时，0,( ,)xa ；当6622a时，0，得：223232()()033aaaaxxxa；讨论得：当26(,)22a时，解集为( ,)a ；当62(,)22a 时，解集为223232( ,)33aaaaa；当22,22a 时，解集为232,)3aa 点评：点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力 15、知函数321( )23f xxx （）设na是正数

20、组成的数列，前 n 项和为nS，其中13a 若点211(,2)nnna aa(nN*)在函数( )yfx的图象上，求证：点( ,)nn S也在( )yfx的图象上；（）求函数( )f x在区间(1, )aa内的极值解析：解析：()证明：因为321( )2,3f xxx所以2( )2fxxx，由点211(,2)(N )nnna aan在函数( )yfx的图象上,221122nnnnaaaa 111()()2()nnnnnnaaaaaa，又0(N )nan，所以12nnaa，na是13,2ad的等差数列，所以2(1)32=22nn nSnnn,又因为2( )2fnnn,所以( )

21、nSfn, 故点( ,)nn S也在函数( )yfx的图象上 ()解:2( )2(2)fxxxx x,令( )0,fx得02xx 或当x变化时,( )fx( )f x的变化情况如下表: x (-,-2) -2 (-2,0) f(x) + 0 - f(x) 极大值注意到(1)12aa ,从而当212,21 , ( )( 2)3aaaf xf 即时的极大值为,此时( )f x无极小值；当10,01 , ( )aaaf x 即时的极小值为(0)2f ,此时( )f x无极大值；当2101 , ( )aaaf x 或或时既无极大值又无极小值点评：点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本

22、知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力 16、设0,0.ab若3是3a与3b的等比中项，则11ab的最小值为（） A8 B4 C1 D14 答案答案：B 解析：解析：因为333 ba，所以1 ba，11ab11()()abab2baab 224b aa b，当且仅当baab 即21 ba时“=”成立，故选择 B 点评：点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力 17、设数列 na满足3*010,1,nnaacac cNc 其中为实数（）证明：0,1na 对任意*nN成立的充分必要条件是0,1c；（）设103c，证

23、明：1*1 (3 ),nnacnN ；（）设103c，证明：222*1221,1 3naaannNc 解析解析： (1) 必要性：120,1aac ，又 20,1,011ac ，即0,1c 充分性：设0,1c，对*nN用数学归纳法证明0,1na ，当1n 时，100,1a 假设0,1(1)kak，则31111kkacaccc ，且31110kkacacc ， 10,1ka，由数学归纳法知0,1na 对所有*nN成立 (2) 设 103c，当1n 时，10a ，结论成立当2n 时，3211111,1(1)(1)nnnnnnacacacaaa ， 103C,由（1）知10,1na，所以

24、21113nnaa 且 110na， 113 (1)nnaca， 21112113 (1)(3 ) (1)(3 )(1)(3 )nnnnnacacacac， 1*1 (3 )()nnacnN (3) 设 103c，当1n 时，212021 3ac，结论成立，当2n 时，由（2）知11 (3 )0nnac ， 21 212(1)1(1 (3 )1 2(3 )(3 )1 2(3 )nnnnnacccc ， 22222211221 23(3 )(3 )nnnaaaaanccc 2(1 (3 ) )2111 31 3ncnncc 点评：点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要

25、条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高 18、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）解析：解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为 0 的有 6 个；（2）公差为 1 或-1 的有 8 个；（3）公差为 2 或-2 的有 4 个，共有 18 个，成等差数列的概率为，选 B 点评点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复 19、等差数列an和bn的前n项和分别用Sn和Tn表示，若534nnTSnn，则nnab的值为( ) A 4231n

26、n B 8362nn C 6382nn D 6283nn 答案答案：A 解析解析： 12121(21)(21)2nnnaaSnna；21(21)nnTnb 2121nnnnaSbT4(21)3(21)5nn84426231nnnn 点评：考查等差数列的前 n 项和的变形。 20、已知 x0，y0，x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y 成等比数列，则(ab)2cd的最小值是_ 答案答案：4 解析解析：(ab)2cd(xy)2xy(2 xy)2xy4 点评：考查等差等比数列的基本知识，均值不等式。 21、命题:p实数x满足22430 xaxa，其中0a ，命题:q实数x满足260 xx或22

28、若方程( )60f xa有两个相等的根，求( )f x的解析式；（2）若( )f x的最大值为正数，求 a 的取值范围解析解析：（1）因为( )20f xx的解集为（1，3），所以( )2(1)(3)f xxa xx且0a 因而2( )(1)(3)2(24 )3f xa xxxaxa xa （1）由方程( )60f xa得：2(24 )90axa xa （2）因为方程（2）有两个相等的根所以2 (24 )490aaa ，即25410aa 解得：1a （舍去）或15a ，将15a 代入（1）得( )f x的解析式为：2163( )555f xxx ，（2）2( )2(1 2 )

29、3f xaxa xa221 241()aaaa xaa，有 a 0，且 a 0，求证：PAPB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 16 分. 解：（1）由题设知，),2, 0(),0 , 2(,2, 2NMba故所以线段 MN 中点的坐标为)22, 1(，由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过坐标原点，所以.22122k （2）直线 PA 的方程2221,42xyyx代入椭圆方程得解得).34,32(),34,32(,32APx因此于是),0 ,

30、32(C直线 AC 的斜率为. 032, 13232340yxAB的方程为故直线 .32211|323432|,21d因此（3）解法一：将直线 PA 的方程kxy 代入2222221,421212xyxkk 解得记则)0 ,(),(),(CkAkP于是故直线 AB 的斜率为,20kk 其方程为, 0)23(2)2(),(222222kxkxkxky代入椭圆方程得解得223222(32)(32)(,)222kkkxxBkkk 或因此. 于是直线 PB 的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231kkkkkkkkkkkk 因此., 11PBPAkk所以解法二：设)0 ,(

31、),(, 0, 0),(),(11121212211xCyxAxxxxyxByxP则. 设直线 PB， AB 的斜率分别为21,kk因为 C 在直线 AB 上，所以.22)()(0111112kxyxxyk 从而 1)()(212112121212211xxyyxxyykkkk . 044)2(12221222122222221222122xxxxyxxxyy 因此., 11PBPAkk所以 30、（安徽理 21）设，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线yx上运动，点Q满足QABQ，经过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足MPQM,求点P的轨迹方程。本题考查直线和抛物线的方程

32、，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养. 解：由MPQM知 Q，M，P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设 .)1 (),(),(),(),(2020220yxyxyyxxxMyxQyxP则则再设),1 ,1 ().(,),(010111yxyyxxQABQyxB即由解得.)1 (,)1 (011yyxx 将式代入式，消去0y，得 .)1 ()1 (,)1 (2211yxyxx 又点 B 在抛物线2xy 上，所以211xy ，再将式代入211xy ，得 . 012),1 (, 0. 0)1 ()1

33、 ()1 (2,)1 (2)1 ()1 ()1 (,)1()1 ()1 (22222222yxyxxxyxxyx得两边同除以因故所求点 P 的轨迹方程为. 12 xy 31、（北京理 19）已知椭圆22:14xGy.过点（m,0）作圆221xy的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点. （I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；（II）将AB表示为 m 的函数，并求AB的最大值. （19）（共 14 分）解：（）由已知得, 1, 2ba 所以. 322bac 所以椭圆 G 的焦点坐标为)0 , 3(),0 , 3( 离心率为.23ace （）由题意知，1|m. 当1m时，切线 l 的

35、 1,(,3|34|2mmmAB. 因为, 2|3|343|34|2mmmmAB 且当3m时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2. 32、（福建理 17）已知直线 l：y=x+m，mR。（I）若以点 M（2,0）为圆心的圆与直线 l 相切与点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程；（II）若直线 l 关于 x 轴对称的直线为l，问直线l与抛物线 C： x2=4y 是否相切？说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13 分。解法一：（I）依题意，点 P 的坐标为（0，m

36、）因为MPl，所以01120m ，解得 m=2，即点 P 的坐标为（0，2）从而圆的半径 22|(20)(02)2 2,rMP 故所求圆的方程为22(2)8.xy （II）因为直线l的方程为,yxm 所以直线 l的方程为.yxm 由22,4404yxmxxmxy 得 244 416(1)mm （1）当1,0m 即时，直线 l与抛物线 C 相切（2）当1m ，那0 时，直线 l与抛物线 C 不相切。综上，当 m=1 时，直线 l与抛物线 C 相切；当1m 时，直线 l与抛物线 C 不相切。解法二：（I）设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为22(2).xyr 依题意，所求圆与直线

37、:0l xym相切于点 P（0，m），则224,|20|,2mrmr 解得2,2 2.mr 所以所求圆的方程为22(2)8.xy （II）同解法一。 33、（广东理 19）设圆 C 与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切。（1）求 C 的圆心轨迹 L 的方程; （2）已知点 M3 5 4 5(,),( 5,0)55F，且 P 为 L 上动点，求MPFP的最大值及此时点 P 的坐标（1）解：设 C 的圆心的坐标为( , )x y，由题设条件知 2222|(5)(5)| 4,xyxy 化简得 L 的方程为221.4xy （2）解：过 M，F 的直线l方程为2(

38、5)yx ，将其代入 L 的方程得 21532 5840.xx 解得12126 514 56 52 514 5 2 5,(,),(,).515551515xxlLTT故与交点为因 T1 在线段 MF 外，T2 在线段 MF 内，故11| 2,MTFTMF 22| 2.MTFTMF，若 P 不在直线 MF 上，在MFP中有 | 2.MPFPMF 故|MPFP只在 T1 点取得最大值 2。 34、（湖北理 20）平面内与两定点1(,0)Aa，2( ,0)A a(0)a 连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上1A、2A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线（）求曲线C的方程，并讨论

39、C的形状与m值得关系；（）当1m 时，对应的曲线为1C；对给定的( 1,0) (0,)mU ，对应的曲线为2C，设1F、2F是2C的两个焦点。试问：在1C撒谎个，是否存在点N，使得1FN2F的面积2|Sm a。若存在，求tan1FN2F的值；若不存在，请说明理由。本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分 14 分）解：（I）设动点为 M，其坐标为( , )x y，当xa 时，由条件可得12222,MAMAyyykkmxa xaxa 即222()mxymaxa ，又12(,0),( ,0)AaA A的坐标满足222

40、,mxyma 故依题意，曲线 C 的方程为222.mxyma 当1 ,m 时曲线 C 的方程为22221,xyCama是焦点在 y 轴上的椭圆；当1m 时，曲线 C 的方程为222xya，C 是圆心在原点的圆；当10m 时，曲线 C 的方程为22221xyama，C 是焦点在 x 轴上的椭圆；当0m 时，曲线 C 的方程为22221,xyamaC 是焦点在 x 轴上的双曲线。（II）由（I）知，当 m=-1 时，C1 的方程为222;xya 当( 1,0)(0,)m 时， C2 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0).FamF am 对于给定的( 1,0)(0,)m ， C1 上存

42、21 21sin1sintan22cos2maSrrma ，于是由2|Sm a，可得2212|tan|,tan.2mmam am 即综上可得：当15,02m时，在 C1 上，存在点 N，使得212|,tan2;Sm aFNF且当150,2m时，在 C1 上，存在点 N，使得212|,tan2;Sm aFNF且当1515( 1,)(,)22m时，在 C1 上，不存在满足条件的点 N。 35、（湖南理 21）如图 7，椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为32，x 轴被曲线22:Cyxb截得的线段长等于 C1 的长半轴长。（）求 C1，C2 的方程；（）设 C2 与

43、y 轴的焦点为 M，过坐标原点 O 的直线l与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB分别与 C1 相交与 D,E （i）证明：MDME; （ii）记MAB,MDE 的面积分别是12,S S问：是否存在直线 l,使得121732SS?请说明理由。解：（）由题意知. 1, 2,2,2,23baabbaace解得又从而故 C1，C2 的方程分别为. 1, 14222xyyx （）（i）由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为kxy . 由12xykxy得 012kxx. 设212211,),(),(xxyxByxA则是上述方程的两个实根，于是 . 1,2121xx

44、kxx 又点 M 的坐标为（0，1），所以 2121212212122111)() 1)(1(11xxxxkxxkxxkxkxxyxykkMBMA . 11122kk 故 MAMB，即 MDME. （ii）设直线 MA 的斜率为 k1，则直线 MA 的方程为1, 1, 1211xyxkyxky由解得 1,1021kykxyx或则点 A 的坐标为) 1,(211kk. 又直线 MB 的斜率为11k，同理可得点 B 的坐标为).11,1(211kk 于是221111111111111| |1|1|222|kSMAMBkkkkk 由044, 1221yxxky得. 08)41 (1221xkx

45、k 解得12121218,1 40,1411 4kxkxykyk 或则点 D 的坐标为2112211841(,).1414kkkk 又直线 ME 的斜率为k1，同理可得点 E 的坐标为).44,48(2121211kkkk 于是)4)(1 (|)1 (32|2121211212kkkkMEMDS. 因此21122114(417).64SkSk 由题意知，2221112114171(417),4,.64324kkkk解得或又由点 A、B 的坐标可知，21211111113,.12kkkkkkkk 所以故满足条件的直线 l 存在，且有两条，其方程分别为.2323xyxy和 36、（辽宁理

46、20）如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线 lMN，l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D （I）设12e ，求BC与AD的比值；（II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BOAN，并说明理由解：（I）因为 C1，C2 的离心率相同，故依题意可设 22222122242:1,:1,(0)xyb yxCCababaa 设直线:(| |)l xtta，分别与 C1，C2 的方程联立，求得 2222( ,), ( ,).abA t

47、atB tatba 4 分当13,22ABebayy时分别用表示 A，B 的纵坐标，可知 222|3|:|.2|4BAybBCADya 6 分（II）t=0 时的 l 不符合题意.0t 时，BO/AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率kAN 相等，即 2222,baatatabtta 解得222221.abetaabe 因为2212| |,01,1,1.2etaeee又所以解得所以当202e时，不存在直线 l，使得 BO/AN；当212e时，存在直线 l 使得 BO/AN. 12 分 37、（全国大纲理 21）已知 O 为坐标原点， F 为椭圆22:12yC x 在

48、 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为- 2的直线l与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足0.OA OBOP （）证明：点 P 在 C 上；（）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上解：（I）F（0，1），l的方程为21yx，代入2212yx 并化简得 242 210.xx 2 分设112233( ,), (,), (,),A x yB xyP x y 则122626,44xx 1212122,2()21,2xxyyxx 由题意得3123122(),()1.2xxxyyy 所以点 P 的坐标为2(, 1).2 经验证，点 P 的坐标为2(,

49、 1)2满足方程 221,2yx 故点 P 在椭圆 C 上。 6 分（II）由2(, 1)2P 和题设知， 2(,1)2Q PQ 的垂直平分线1l的方程为 2.2yx 设 AB 的中点为 M，则2 1(, )42M，AB 的垂直平分线为2l的方程为 21.24yx 由、得12,l l的交点为2 1(, )88N 。 9 分 2222122222213 11|()( 1),28883 2|1 (2)|,23 2|,422113 3|()(),482883 11|,8NPABxxAMMNNAAMMN 故|NP|=|NA|。又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|N

50、B|=|MQ|，由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心，NA 为半径的圆上 38、（全国新课标理 20）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （0， -1）， B 点在直线3y 上， M 点满足/MBOA，MA ABMB BA，M 点的轨迹为曲线 C （I）求 C 的方程；（II）P 为 C 上动点，l为 C 在点 P 处的切线，求 O 点到l距离的最小值解： ()设 M(x，y)，由已知得 B(x，-3)，A(0，-1). 所以MAuuu r=（-x，-1-y）， MBuuu r=(0，-3-y)， ABuu u r=(x，-2). 再由题意可知（MAuuu r+M

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