《AQ第十六讲 平面向量的数量积及其应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《AQ第十六讲 平面向量的数量积及其应用.doc（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 高考数学一轮第十六讲 第 1 页共 10 页 第十六讲 平面向量的数量积及其应用考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、平面向量的数量积1平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积） ，ab|cosa bab记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为 0a ba b|cosa b2平面向量数量积的几何意义向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正|cosaab数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是 0的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘a ba ba|aba|cosb积3数量积的运算律已知向量、和实数，则：abc；a
2、bb a；()()()ab =a bab() abc = a cb c【提示】若、是非零向量且，则不能得到abca c = b cab，即向量的数量积不满足结合律()()a bcab c4设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则abebae|cose aa ea0aba b当与同向时，；ab|a ba b当与反向时，ab| a ba b特别地，或2|a aa|aa a高考数学一轮第十六讲 第 2 页共 10 页 cos|a b a b(| 0)a b| |a ba b二、平面向量数量积的坐标表示已知非零向量，为向量、的夹角11( ,)x ya22(,)xybab结论几何表示坐标
3、表示模|aa a22|xya |数量积|cosa ba b1212x xy ya b夹角cos|a b a b12122222 1122cosx xy yxyxy 的充要ab条件0a b12120x xy y与|a b|a b的关系(当且仅| |a ba b当时等号成立)ab1212|x xy y2222 1122xyxy【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、平面向量数量积的概念1两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角，两向量的始点必须重合，否则要通过平移，使两向量符合以上条件2
4、在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于 0ba二、数量积的性质与运算律1数量积的运算要注意=0 时，但时不能得到=0 或=0，因a0a b0a bab为时，也有ab0a b2根据平面向量数量积的性质：，等，|aa acos|a b a b0aba b所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题3若、是实数，则()；但对于向量，就没有这样的性abcabacbc0a 质，即若向量、满足（） ，则不一定有=，即等式两边不能同abca ba c0abc高考数学一轮第十六讲 第 3 页共 10 页 时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量4数量积运算不适合结合律，即，这是由于表
5、示一个与()()a bcab c()a bc共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此c()ab caac与不一定相等()a bc()ab c三、数量积的坐标表示1与不同，前者是两向量=，=共12210x yx y12120x xy ya11( ,)x yb22(,)xy线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件2模长公式；夹角公式，它们分22 11|xya12122222 1122cos,x xy yxyxy a b别用于解决长度、直线夹角的问题，而，用于解决有121200x xy yaba b关垂直的问题考点分类精讲考点考点 1 平面向量的数量积平面向量的数量积1与平面向量数量积的
6、定义、性质和运算律有关的命题的真假判定2求平面向量的数量积【例 1】(1)如图，正六边形中，有下列四个命题：ABCDEFFEDCBAA B2ACAFBC 22ADABAF C DAC ADAD AB ()()AD AF EFAD AF EF 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） (2)已知平面上三点、满足，则ABC| 3AB | 4BC | 5CA AB BC 的值等于 BC CACA AB 高考数学一轮第十六讲 第 4 页共 10 页 【解析】(1)设正六边形的中心为，则为中点，A 是真OOAD2ACAFADBC 命题；，B 是真命题；222()2ABAFABAFAOAD ,故 C
7、是假命题；()0AC ADAD ABAD ACABAD BC ，D 是真命题，()( 2)2()()AD AF EFEF AF EFEF AF EFAD AF EF 故填 A、B、D(2)由题设可知，为直角三角形，并且()，ABCABBC222|ABBCCA ，=，0AB BC | |cosBC CACB CACBCAC 45 4165 ，3|cos 5 395CA ABAC ABACAB 则故填AB BC BC CACA AB 0 16925 25【例 2】(1)已知平面上直线 的方向向量，点和在 上的射影l4 3(, )5 5 e(0,0)O(1, 2)Al分别是和，则，其中=( )1O1
8、A11O AeA B C2 D11 511 52(2)设四边形为平行四边形，若点满足ABCD6AB 4AD ,M N，则3BMMC 2DNNCAM NM A20 B15 C9 D6【解析】(1)解法一：由向量在已知向量上的射影定义知：，故选 D| cos,OAOA e4 3(, ) (1, 2)5 55215 解法二：利用数形结合的思想，作图可得，令向量过原点，故可与方向相反，e11O Ae排除 A、C，检验 B、D 可知 D 正确故选 D(2)选择，为基向量，AB AD3BMMC 33 44AMABBMABBCABAD 又，2DNNC11 34NMNCCMABAD 高考数学一轮第十六讲 第
9、5 页共 10 页 所以11(43)(43)412AM NMABADABAD=+- ，选 C2211(16|9| )(16 36 9 16) 94848ABAD =-=- =点拨：平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛另外平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在a向量方向上的投影为b|a b b考点考点 2 平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用1利用数量积解决垂直问题2利用数量积解决与夹角有关的问题3利用数量积解决与距离有关的问题【例 3】(1)若向量与不共线，
10、且，则向量与的夹角为ab0a b()a acaba bacA0B C D 6 3 2(2)已知菱形的边长为 2，点分别在边上，ABCD120BAD=,E F,BC DC，若，则BEBC=DFDC=1AE AF= 2 3CE CF= - + =A B C D1 22 35 67 12【解析】(1)由于=，又，()a aa caaba ba aa aa ba b0a b，所以，故选 D2| 0a caaac(2)因为，所以120BAD=cos1202AB ADABAD= - 因为，所以，BEBC=AEABAD =+AFABADm=+ 因为，所以，1AE AF= ()()1AB+ADAB+ AD =
11、 即 ,3222+ -=同理可得 ，2 3-= -+得5 6+=高考数学一轮第十六讲 第 6 页共 10 页 点拨：解决平面向量夹角与垂直等问题，一方面要注意利用公式及定cos|a b a b理，转化为平面向量的数量积的问题：另一方面要注意灵活地运用平面0aba b向量的数量积的运算法则和运算律来解决问题【例 4】已知，为不共线的向量，abtR(1)求的最小值及相应的 值；|t abt(2)求存在两个正数，且，使的充要条件1t2t12tt12| |ttabab【解析】(1) =|t ab2 22222 2()2( |)|ttt a ba baa bbabaa=，2 2 2() |a bba22
12、2 2 2| | cos|sin|abbba其中为向量，的夹角，故当=时，有最小ab2|ta b a |cos |b a|t ab值|sinb(2)由(1)及知，即与的夹角为锐角0t cos0ab在此前提下，存在正数，且，使的充要条件是1t2t12tt12| |ttabab有两正解|sin| |tbabb222222| sin|2 |cos|ttbaa bbb即, 亦即，222(|cos )0 |2 |cos0t tt ab aa b|cos | 2|cos(0,)|tt b a b a故所求充要条件为与的夹角为锐角，且abt|(0,cos )|b a|2|(cos ,cos )|bb aa点
13、拨：解决向量模的问题的关键是利用，将模的问题转化为数量积的问题，22| aa通过数的精确计算来解决问题高考数学一轮第十六讲 第 7 页共 10 页 【例 5】在平面直角坐标系中，已知向量，xoy22(,)22m(sin ,cos )xxn (0,)2x（1）若，求的值；mntan x（2）若与的夹角为，求的值mn3x【解析】(1)，mn0m n故，22sincos022xxtan1x （2）与的夹角为，mn322sincos122cos,1 12xxm nm n|m |n|故，又，即1sin()42x(0,)2x(,)44 4x 46x5 12x故的值为x5 12考点考点 3 平面向量的综合问
14、题平面向量的综合问题1平面向量与函数的综合问题2平面向量与三角函数、数列的交汇问题3平面向量与解析几何的交汇问题4平面向量与平面几何的交汇问题【例 6】(1)已知， ， ，若点是所在平面内一点，ABAC 1ABt ACtPABC且 ，则 的最大值等于4ABACAP ABAC PB PC A13 B15 C19 D21(2)已知向量，若对任意单位向量，均有，, a b| 1a| 2be|6aebe则的最大值是 a b(3) 给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o如图所示，点在以为圆心的圆弧AB 上变动若,OCxOAyOB 其中, x yR,则xy的CO最大值是 高考数
15、学一轮第十六讲 第 8 页共 10 页 CBAO【解析】(1)以题意，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为AABxAC轴建立如图所示的平面直角坐标系，y所以点，(1,4)P1( ,0)Bt(0, )Ct所以11(1, 4)( 1,4)(1) ( 1)4 (4)PB PCtttt =（当且仅当，即时取等号） ，1174tt 1172413tt14tt=1 2t =所以的最大值为 13故选 APB PC (2)由题意令，(1,0)e(cos ,sin)a(2cos,2sin)b则由 可得 ，|6aebe|cos| 2|cos|6令 sin2sinm得对一切实数恒成立，22+24|cosc
16、os|sinsin1m, 所以4|coscos|sinsin1故12(coscossinsin)2|coscos|sinsin2a b故最大值为1 2(3)设AOC，OC OAxOA OAyOB OAOC OBxOA OByOB OB 高考数学一轮第十六讲 第 9 页共 10 页 即，1cos2 1cos(120)2xyxy =2coscos(120)xycos3sin2sin()26点拨：平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起，使它们之间的相互转化得以实施因此，一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题，利用实数的有关知识来解决问题；另一方面，也要善于把实数
17、问题转化为向量问题，利用向量作工具来解决相关问题【例 7】已知，(cos ,sin)a(cos,sin)b0(1) 若，求证：；|2abab(2) 设，若，求，的值(0,1)cabc【解析】 （1），ab(coscos,sinsin)2|ab22(coscos)(sinsin)22(coscossinsin)2所以，所以，ba coscossinsin0（2） 1sinsin0coscos，22得：1cos()2 所以，32，32，带入得：(32)23(3)sinsincos1 2sinsin1，所以，32所以，65，6点拨：高考强调向量的工具性作用，尤其是数量积与三角函数的综合应用已经成为近几年高考的趋势本题由向量的数量积运算得到三角函数方程，从而求角1sin()62AA一般地，在向量与三角函数的综合题中，向量的作用是通过向量的坐标运算给出三角高考数学一轮第十六讲 第 10 页共 10 页 函数的等式或解析式，尤其是化归成型的函数，考查其单调性、周期性、sin()yAx最值等性质本专题试题训练详见试题精练