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1、精选优质文档-倾情为你奉上上海海事大学2008-2009学年第 2 学期研究生 数值分析 课程考试试卷A(答案)学生姓名: 学号: 专业:一 填空题(每小格分)1 设则差商2 02 区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到 2阶导数的连续函数。3 插值型数值求积公式的求积系数的表达式为则b-4非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根附近具有 阶的收敛速度。5f(1)=1,f(2)=4,f(3)=7,则f1,2=,f1,2,3=6 Jacobi方法是求解 对称 矩阵的全部特征值和特征向量的计算方法7 用松弛迭代法求解方程组时,松弛因子必须在,范围内 二如何对方程组进行调整,使得用
2、高斯-赛德尔迭代求解时收敛。又如取初始向量为,用该方法求近似解,使得。(分)解答:调整第一与第三方程,既可得对角占优系数矩阵,所以迭代收敛。得因为,所以最后结果:3 求在0,1上的一次最佳一致逼近多项式。(分)解:在0,1上不变号,故: 即 故 、四设有一个求积公式 求使以上求积公式的代数精度尽可能高,并指出所达到的最高代数精度(分)解 (1) 当时,;时,左=右 解得 当时,当时, 左右所求的具有最高代数精度为3五是任意首项系数为1的n+1次多项式,证明:(分)1):2):解:1),利用Lagrange插值余项2)利用 两边除六 给定方程组 其中,且证明(1) 有唯一的(2) 给定迭代格式,
3、 则有, 任取,则迭代格式收敛 (分) 解 (1)只需证明的齐次方程组 x=Bx 只有零解, 若有非零解 , 则 两边取范数得 因为,得与条件矛盾, 因而有惟一解,即存在惟一的使得 = (3分)(2) 将和相减得 两边取范数得 (4分)(3) 由递推得 对任意固定的有 因而迭代格式是收敛的 (4分)七证明:左矩形求积公式 。设,试以此构造复合求积公式,并说明该复合求积公式是收敛(分)解:因为:; 故: =又:分划a,b得:,k=1,2,n得复合公式:所以:=其中:, 且有:八试利用四点插值推导数值微分四点公式,其中 (分) 解: = =九对初值问题 写出以梯形公式所得近似解的表达式。且当步长时,讨论的收敛性。讨论绝对稳定性对步长的限制 (分) 解:梯形公式为:故:,整理得: 所以:。又:设任给,于是有 所以 所以对一切都成立 所以无限制。专心-专注-专业