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1、精选优质文档-倾情为你奉上三角恒等变换【考情分析】三角函数是历年高考重点考察内容之一，三角恒等变换的考查，经常以选择与填空题的形式出现，还常在解答题中与其它知识结合起来考查，其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重点在考查三角知识的同时，又考查用函数思想、数形结合思想解决问题的能力。【知识梳理】1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin_cos_cos_sin_，cos()cos_cos_sin_sin_，tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_，cos 2cos2sin22cos2112sin2，tan 2.3有关公式的逆用、变形(1)tan tan
2、 tan()(1tan_tan_)；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2, 1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.4辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中sin ，cos .5.0时周期 周期 周期 【考题体验】1(2013江西高考)若sin，则cos ()A B C. D.来源:学.科.网Z.X.X.K解析：选C因为sin，所以cos 12sin2 122.来源:学&科&网Z&X&X&K2（2014高考课标卷）已知，则（ ）A. B. C. D.解析：选A3已知tan，tan，则tan()的值为()A. B. C. D1解析：
3、选Dtan()tan1.4(2013四川高考)设sin 2sin ，则tan 2的值是_解析：sin 22sin cos sin ，cos ，又，sin ，tan ，tan 2.Com5tan 20tan 40tan 20tan 40_.解析：tan (2040)，tan 20tan 40tan 20tan 40，即tan 20tan 40tan 20tan 40.【典型例题】考向一：求角问题例1：已知且，求的值.变式1： 已知 考向二：三角函数的化简求值例2、 (2013重庆高考)4cos 50tan 40()A.; B. ; C. ; D21 解4cos 50tan 404sin 40.【
4、方法规律】1三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征即用转化与化归思想“去异求同”的过程，具体分析如下：（1）首先观察角与角之间的关系，用已知角表示未知角，角的变换是三角恒等变换的核心；（2）其次是看三角函数名称之间的关系，通常是常值代换或者切化弦；（3）再就是观察代数式的结构特点，合理的选择三角函数公式，化繁为简.2解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正、负相消的项，消去求值；来源:学|科|网(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值变式2：(2
5、014嘉兴模拟)的值是()A. B. C. D.解析：选C原式.考点三： 三角函数的条件求值来源:Z&xx&k.Com例3(1)(2013浙江高考)已知R，sin 2cos ，则tan 2()A. B. C D(2)(2013广东高考)已知函数f(x)cos，xR.求f的值；若cos ，求f.解(1)法一：(直接法)两边平方，再同时除以cos2，得3tan28tan 30，tan 3或tan ，代入tan 2，得tan 2.法二：(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记sin ，cos ，这时sin 2cos 符合要求，此时tan 3，代入二倍角公式得到答案C.(2)fcoscoscos 1.
6、f coscoscos 2sin 2.因为cos ，所以sin .所以sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2.所以fcos 2sin 2.【互动探究】保持本例(2)条件不变，求f的值解：因为，cos ，所以sin .所以fcoscoscos sin . 【方法规律】三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的变式3：1(2013新课标全国卷)设
7、为第二象限角，若tan，则sin cos _.解法一由在第二象限，且tan，故sin，故sin cos sin.法二：如果将tan利用两角和的正切公式展开，则，求得tan .又因为在第二象限，则sin ，cos ，从而sin cos .2已知0，且cos，sin，求cos()的值解：0，来源:学+科+网cos ，sin ，coscoscoscossinsin，cos()2cos2121.考点四： 三角变换的综合应用1三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据高考常与三角函数的其他知识相结合命题，题目难度适中，为中档题2高考对三角恒等变换综合问题的考查常有以下几个命题角度：(1)与三角函数
8、的图象和性质相结合命题；(2)与向量相结合命题；(3)与解三角形相结合命题例4(1)(2013天津高考)已知函数f(x)sin6sin xcos x2cos2x1，xR.求f(x)的最小正周期； 求f(x)在区间上的最大值和最小值(2)(2013辽宁高考)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.若|a|b|，求x的值；设函数f(x)ab，求f(x)的最大值解(1)f(x)sin 2xcoscos 2xsin3sin 2xcos 2x2sin 2x2cos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.因为f(x)在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又f(0)2，f2
9、，f2，故函数f(x)在上的最大值为2，最小值为2.(2)由|a|2(sin x)2sin2x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.【方法规律】三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略(1)与三角函数的图象与性质相结合的综合问题借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)Asin(x)的形式，然后借助三角函数图象解决(2)与向量相结合的综合问题此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问
10、题，然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决 来源:Zxxk.Com变式4：1已知平面向量a(sin2x，cos2x)，b(sin2x，cos2x)，R是实数集，f(x)ab4cos2x2sin xcos x，如果存在mR，任意的xR，f(x)f(m)，那么f(m)()A22 B3 C0 D22解析：选C依题意得f(x)sin4xcos4x4cos2xsin 2xsin2x3cos2xsin 2xcos 2xsin 2x22sin2，因此函数f(x)的最小值是220，即有f(m)0.2已知x0，x0是函数f(x)cos2sin2x(0)的两个相邻的零点(1)求f的值；(2)若
11、对x，都有|f(x)m|1，求实数m的取值范围解：(1)f(x)sin.由题意可知，f(x)的最小正周期T，又0，1，f(x)sin.fsinsin.(2)|f(x)m|1，即f(x)1mf(x)1，对x，都有|f(x)m|1，mf(x)max1且mf(x)min1，x0，2x，1sin，sin，即f(x)max，f(x)min，m1.故实数m的取值范围为.【小结】1组关系两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式的关系2个技巧拼角、凑角的技巧(1)用已知角表示未知角2()()；2()()；()()；，；等(2)互余与互补关系来源:学科网ZXXK； 3个变换应用公式解决问题的三个变换角度(1)
12、变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等【巩固检测】1(2013浙江高考)函数f(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分别是()A，1 B，2 C2，1 D2，2来源:Zxxk.Com来源:学科网ZXXK解析：由f(x)sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin，得最小正周期为
13、，振幅为1.2若0，0，cos，cos，则cos()A. B C. D解析：coscos coscossinsin，0，则，sin.又0，则，sin.故cos.3已知锐角，满足sin ，cos ，则等于()A. ；B.或 ； C. ； D2k(kZ)解析：选C由sin ，cos 且，为锐角，可知cos ，sin ，来源:Zxxk.Com故cos()cos cos sin sin ，又0，故.4已知，则(1tan )(1tan )的值是()A1 B1 C2 D4解析：，tan()1， tan tan 1tan tan .(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 11tan t
14、an tan tan 2.5已知sinsin ，则cos等于()A B C. D.解析：选D由sinsin ，得sin cos sin ，所以sin cos ，故sin，于是sin，所以coscossin.6已知tan2，则的值为_解析：由tan2，得2，tan x，.7将函数ysin x的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的4倍，这样就得到函数f(x)的图象，若g(x)f(x)cos x.(1)将函数g(x)化成Asin(x)B其中A、0，的形式；(2)若函数g(x)在区间上的最大值为2，试求0的最小值解：(1)由题意可得f(x)4sin，g(x)4s
15、incos x4cos x22sin.(2)x，2x.要使函数g(x)在上的最大值为2，当且仅当20，解得0， 故0的最小值为.8已知向量a(sin x，cos x)，b(cos ，sin )，函数f(x)ab的最小正周期为2，其图象经过点M. (1)求函数f(x)的解析式；(2)已知，且f()，f()，求f(2)的值解：(1)依题意有f(x)absin xcos cos xsin sin(x)函数f(x)的最小正周期为2，2T，解得1.将点M代入函数f(x)的解析式，得sin.，.故f(x)sincos x.(2)依题意有cos ，cos ，而，sin ，sin ，sin 2，cos 2cos2sin2，f(2)cos(2)cos 2cos sin 2sin .思考设为锐角，若cos，则sin的值为_专心-专注-专业