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1、精选优质文档-倾情为你奉上三 角 形学习目标：（1）三角形相关概念、特点和三角形的分类； （2）三角形边长关系、三角形角内角和和三角形内角与外角的关系； （3）三角形的面积与周长（直角三角形）； （4）三角形中的线_高线、角平分线、中线。题型一、三角形及其特三角形由三条边、三个顶点、三个角组成。顶点为A,B,C的三角形可以表示为ABC,顶点无顺序之分，顶点不同，三角形就不同。三角形具有稳定性的几何原理，四边形具有不稳定性的几何原理。三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理。将n边形进行稳定，需要（n-3）条对
2、角线。1、图1中有三角形的个数为 （ ） A、 4个 B、 6个 C、 8个 D、 10个BC 图1 图22、自行车的三角形车架,这是利用了三角形的 .3、下列说法不正确的是（ ）A周长相等的两个等边三角形面积相等B面积相等的两个等边三角形周长相等C三角形具有稳定性 D多边形具有稳定性4、下面的生活事例中，利用了三角形的稳定性的是（ ） A制作推拉门窗时，把金属条做成四边形 B工人师傅常在一个四边形的对角线上钉一根木条 C桌子常作成四条腿 D小明把一个正方形拉伸后使正方形变形5、如图2，一扇窗户打开后，人们常常用窗户上的窗钩BC将其固定，这里所运用的几何原理是 6、我们学校校门口的铁门，呈平行
3、四边形，拉进拉出，伸缩自如，它应用的原理是（ ）A三角形的稳定性 B三角形的不稳定性 C四边形的稳定性 D四边形的不稳定性变式：不是利用三角形稳定性的是( )A自行车的三角形车架 B三角形房架 C照相机的三角架 D矩形门框的斜拉条7、要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉 根木条。变式：利用三角形的稳定性将下面多边形进行固定。题型二、三角形的种类三角形的种类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形；锐角三角形性质及其判断方法：三个角都是锐角，任意两个角相加之和大于90；直角三角形性质和判断方法：有一个角为90，另外两个角相加是90；钝角三角形性质和判断方法：有一
4、个角是钝角，另外两个角相加小于90；等腰三角形性质及判断方法：腰相等、底角相等；等边三角形性质及判断方法：三条边相等；三个角相等；两个角是60；一个角是60的等腰三角形。1、下列说法:(1)三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；(2)三角形两边之和不一定大于第三边；(3)等边三角形一定是等腰三角形；(4)有两边相等的三角形一定是等腰三角形.其中说法正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个题型三、三角形的边长关系三角形，两边之和大于第三边，a+bc,因为两点之间线段最短；又有不等式的基本性质,两边同时减去b，我们可以得到ac-b，即：三角形，两边之差小于第三
5、边。在判断三个长度能否组成三角形，我们只用做一个判断，那就是，最小的两边相加大于最大边即可。在求范围是，两边之差要是非负数，也就必须选出两条由大小之分的边做差和作和。（重点）1、下列说法正确的有（填番号）_(1)三条线段a、b、c，且abc，若ab+c，则这三条线段能组成一个三角形。(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形。 (3)三边长分别为5，10，5的三角形是等腰三角形。2、若三角形边长分别为3，5，a，则a的取值范围为_变式1：ABC中，若AB=BC=5，则_ACb,那么这个三角形的周长L的取值范围是（ ）A3bL3a B2a L2(a+b) C2b+a L2a+b Da+2b L0)
6、B a : b : c = 2 : 3 : 5C, Da = 2k，b = 3k，c = 5k 1 (k1)8、以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个变式：小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是:_ ，_ ，_，9、等腰三角形的两边分别长7cm和13cm，则它的周长是（ ）A27cm B33cm C27cm或33cm D以上结论都不对变式1：等腰三角形一边长为6cm，另一边长为2cm，则它的周长是_。变式2：等
7、腰三角形的底边BC=8 cm，且|ACBC|=2 cm，则腰长AC为( ) A.10 cm或6 cm B.10 cm C.6 cm D.8 cm或6 cm 变式3：已知ABC是等腰三角形。如果它的两条边的长分别为8厘米和3厘米，那么它的周长是多少？如果它的周长为18厘米，一条边的长为8厘米，那么它的腰长是多少？10、已知三角形两边长为3和8，第三边为奇数，则这个三角形周长为（ ）A18 B20 C18或20 D16或19变式:已知三角形三边的长为、,若为奇数,则此三角形的周长是 .题型四、与三角形相关的线（1）高高是求三角形面积的要点，三角形有三个顶点和三条边，所以有三条高，三条高交于一点的三
8、角形是直角三角形；三角形有三条边和对应的三条高，所以求面积的方法有三种，三种求出的结果是一样的，我们应该取最简单的那一种。如果题目告诉了两种，那么其中一种未知的边或高就能列方程求出。注钝角三角形的高线1、在图中，正确画出AC边上高的是（ ）变式：如图1，在ABC中，EFAC，BDAC，BD交EF于G，则下面说法中错误的是（ ） A、BD是ABC的高 B、CD是BCD的高 C、EG是BEG的高 D、BE是BEF的高G 图1 图22、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定3、如图2所示,分别是的高,求的
9、长.变式：如图，ABBD于B，ACCD于C，AC与BD交于E，那么ADE的边DE上的高是_；AE上的高是_若AE=5，DE=2，CD=，求AB的长。 4、在平面直角坐标系中，点A（-3，0），B（5，0），C（0，4）所组成的三角形ABC的面积是（ ）A、32； B、4； C、16； D、8（2）角平分线三角形有三个角，三个角的角平分线都叫做三角形的角平分线，所以三角形有三条角平分线。例：如图,是的角平分线,交于点.请问:是的角平分线吗?如果是,请给予证明；如果不是,请说明理由.（3）中线及分点线三角形中线将三角形的面积平分，因为高为同一条高，底相等，所以面积相等。含比例的分点线将三角形的面积
10、分为与比例与线段比例相等的两部分。1、如图所示,是的中线,那么若用表示的面积,用表示的面积,则与的大小关系是( )A. B. C. D.以上三种情况都可能 变式1： 能将三角形面积平分的是三角形的（ ）A、 角平分线 B、高 C、中线 D、外角平分线变式2：如图，在ABC中，已知点D，E，F分别是BC、AD、CE的中点，且4cm2，则的值为（ ） A、2cm2 B、1cm2 C、cm2 D、cm22、在ABC中，D是BC上的点，且BD:DC=2:1，SACD=12，那么SABC等于（ ） A30 B36 C72 D243、在中,是中线,的周长为,的周长为, 求的长.4、已知BD是ABC的一条中
11、线， 如果ABD和BCD的周长分别是21、12，则的长是_5、周长为21厘米的等腰三角形被一条腰上的中线分成两个三角形。若这两个三角形的周长之差为3厘米，求这个等腰三角形各边的长。变式1：在等腰三角形中，一腰上的中线将这个三角形的周长分为15和6两分，求该等腰三角形各边的长度是多少？变式2：在ABC中AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm、30cm的两个部分，求三角形的三边长。 综合 1、如图,在中,则 (1)_是的中线,是_的中线； (2)的角平分线是_,是_的角平分线.2、下列说法中错误的是（ ）A三角形三条角平分线都在三角形的内部 B三角形的三条中线都在三角形的内部C三角
12、形的三条高都在三角形的内部 D三角形三条高至少有一条在三角形的内部3、在ABC，A=90，角平分线AE、中线AD、高AH的大小关系为（ ）AAHAEAD BAHADB，AD为BAC平分线，且AFBC于F。若C=70，B=40，求DAF的度数；若C=，B=，试探寻DAF与、的关系。（2）如图2，在ABC中，CB，AD为BAC平分线，点E在AD上，且EFBC于F。若C=，B=，试探寻DEF与、的关系。（3）如图3，在ABC中，CB，AD为BAC平分线，点E在AD延长线上，且EFBC于F。若C=，B=，试探寻DEF与、的关系。变式：（1）如图1，CD是直角ABC斜边AB上的高，图中有与A相等的角吗?
13、为什么? （2）如图2，把（1）图中的CD平移得ED，图中还有与A相等的角吗?为什么? （3）如图3，把（1）图中的CD平移，交BC的延长线于E， 图中还有与A相等的角吗?为什么?图3图2图1 6、如图2，ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，A越来越小，B、C越来越大。若A减少度，B增加度，C增加度。则、三者之间的数量关系为_ 7、如图3,则的度数为_.变式：如图4,在锐角中,分别是边上的高,且交于点.若,则的度数是_. 图4 图58、如图5，在ABC中，A=70，若B、C的内角的平分线交于点P，求BPC的度数。若A=，试探求BPC与的关系。9、直角三角形两锐角的平分线所交的角的度数是（
14、）A、 45 B、 135 C、 45或135 D、 以上答案都不对BACEDA1210、如图，将纸片ABC沿DE折叠，点A落在点A处，已知1+2=100,则A的大小等于_度 变式:如图，把ABC的纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则A与1、2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这个规律为_.11、若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形变式：三角形的三个外角之比为223，则此三角形为( ) A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等边三角形12、在中,则_变式：在ABC中，若A=B =
15、C，则C =_13、ABC中，A=2B3C，则这个三角形是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D含30角的直角三角形变式：在ABC中，A=B=C，则此三角形是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形14、已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等边三角形15、如果在ABC中，A70B，则C等于（ ）A 、35 B、70 C 、110 D、140变式1：在ABC中，A75，BC15，则C的度数为（ ） A、30 B、45 C、50 D、10变式2：已知ABC中，A=2（B+C），则A的度数为（ ） A10
16、0 B120 C140 D160变式3：在ABC中，A=（BC）、BC=20，求A、B、C的度数。11、如图，在ABC中，D是BC边上一点，1=2，3=4，BAC=63，求DAC的度数。12、如图，在直角ABC中，ACAB，AD是斜边上的高，DEAC，DFAB，垂足分别为E、F，则图中与C（C除外）相等的角有_个。（2）三角形内角的可能性（锐角、直角、钝角）1、下列说法正确的是( ) A.三角形的内角中最多有一个锐角 B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角 D.三角形的内角都大于60变式1：下列说法正确的有（填番号）_ 三角形中最大的角是，那么这个三角形是锐角三角形。
17、一个三角形中最多有三个锐角，最少有两个锐角。 一个等腰三角形一定是锐角三角形。一个三角形最少有一个角不大于。变式2：三角形的三个外角中最多有_个锐角，最少有_个钝角。0、设，是三角形的三个内角，则+，+，+ 中（ ） A有两个锐角、一个钝角 B有两个钝角、一个锐角 C至少有两个钝角 D三个都可能是锐角题型六、三角形内角与外角的关系三角形一外角等于与其不相邻的两内角之和，从而大于其中任意一个角。1、四边形ABCD中，DCAB，P为BC上一个动点（不与B、C重合），CDP=，CPD=。当点P在BC上运动时，、与B的大小有何关系？为什么？2、已知：如图，AD是ABC的角平分线，AE是ABC的外角平分
18、线，若DAC20，问EAC （ ）A、60 B、70 C、80 D、90 3、如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的2倍,且等于与它不相邻的一个内角的4倍,那么这个三角形一定是( )A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形变式1：如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225，则与这个外角相邻的内角是_变式2：如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180，则该三角形是（ ）A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D无法确定变式3：若三角形的一个外角小于与它相邻的内角互补，则这个三角形是（ ） A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D无法确定4、如图1，D、
19、B、C在同一直线上，A=60，C=50，D=25，则1=_ADCEB1 图1 图2 变式：如图2，已知DE分别交ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，B67，ACB74，AED48，求BDF的度数5、如图ABC中，BC，FDBC，DEAB，AFD158，则EDF_。ab6、如图，ab，则下列式子中值为180的是（ ）A B C D 7、如图2，AOB中，B=30，将AOB绕点O顺时针旋转52得到A/OB/，AOBCA/B/1边A/B/与OB交于C，则1=_ 8、已知等腰三角形的一个外角是120，则它是（ ） A等腰直角三角形 B一般的等腰三角形 C等边三角形 D等腰钝角三角形 9、
20、如图，在ABC中，A=70，若B的内角的平分线与C的外角平分线交于点P，求BPC的度数。若A=，试探求BPC与的关系。变式1：在ABC中，A=36，DBA=ABC，DCA=ACE，求D的度数。变式2：如图，在ABC中，BE是ABC的内角平分线，CE是ACB的外角平分线，BE、CE交于E点，试探究E与A的大小关系10、如图,中,点分别在上,则的大小为( ) A. B. C. D.11、如图，正方形ABCD中，截去B、D后，1、2、3、4的和为 12、如图，是ABC的不同三个外角，则_变式：如图,已知BOF=120, 则A+B+C+D+E+F=_题型七、多边形（1）多边形的对角线条对角线；（2）n
21、边形的内角和为（n2）180；（3）多边形的外角和为3601、下列说法正确的有（填番号）_由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形。由不在同一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形。在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形。从n边形一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线，得到（n-2）个三角形。没有对角线的多边形只有三角形。正多边形都是凸多边形。2、各个角_，各条边 的多边形叫正多边形。3、下列多边形是凸多边形的是（ ）多边形内角和 注：多边形内角和为（n-2）180，因为在三角形的基础上，没增加一条边，就相当于增加了一个三角形，内角之和就增加了180。正多边形内角之和相
22、等，因为知道了边数就知道了角的度数=（n-2）180n，知道了角的度数就知道了边数=360(180)。1、边形的内角和比边形的内角和小 度.变式：一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（ ） A内角和增加360 B外角和增加360 C对角线增加一条 D内角和增加180变式：四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角可能( ) A都是钝角 B都是锐角 C是一个锐角、一个钝角 D是一个锐角、一个直角变式：已知四边形中,则的度数为_.变式：若一个多边形的内角和等于,则这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8变式：一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（ ） A、
23、6 B、 7 C、 8 D、 92、一个多边形的每一个内角都等于,则它的内角和等于( ) A. B. C. D.变式：一个多边形的各内角都等于1200，它是 边形。变式：不能作为正多边形的内角的度数的是( ) A120 B (128) C144 D145变式：两个正多边形的边数之比为12，内角和之比为38，求这两个多边形的边数、内角和。变式：一个多边形除去一个内角后的度数和为2300求它的边数和除去的那个内角的度数3、如图,在正五边形中,连接,则的度数是 . 变式：如图,四边形中,.求证. 变式：如图，分别以四边形的各个顶点为圆心半径为2作圆（四边形的每一边长都大于4），问这些圆与四边形的公共
24、部分的面积之和是多少？ABCDEF变式：如图，六边形ABCDEF的内角都相等，DAB=600，AB与DE有什么关系？BC与EF有这种关系吗？为什么？4、如图，若A=32，B=45，C=38，则DFE等于_FEACB1324456O变式：如图所示，在ABC中E、F分别在AB、AC上，则下列各式不能成立的是（ ） ABOC=2+6+A B2=5-A C5=1+4 D1=ABC+4变式：（1）如图：求A+B+C+D+E+F的度数。 （2）当图变为图时，求上面六个角的和。 （3）当图变为图时，求上面六个角的和。多边形外角和注：多边形外角和为360，是永远不变的，因为内角和为（n-2）180，而内角与外
25、角都是一对对互补的，也就是内外角总和为n180，从而内外角总和内角总和=外角总和=360。因为外角度数一定，所以角越少，外角就越大，从而三角形的外角为钝角的概率最大，为三个，当然，其它多边行都可以有三个外钝角，不过是不能超过的。正多边形只有等边三角形有外钝角和内锐角，正四边形有外直角和内直角，其它正多边形都是外锐角和内钝角。正多边行的内角相等、边相等，但边相等的不一定是正多边行，内角相等的也不一定是正多边形，只有两者都符合是才是正多边形。一般求内角相等的多边形的边数，能用到外角总和除以内角就更简便。四边形两外角之和等于与它们不相邻的两内角之和。1、若多边形的边数增加一条，则这个多边形的外角和增
26、加 变式：多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ） A互为余角 B互为邻补角 C两个角相等 D外角大于内角变式：一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是( )毛 A1个 B2个 C3个 D4个变式：一个多边形的内角和等于它的外角和,这个多边形的边数为( ) A.4 B.5 C.6 D.8变式：一个正多边形的每一个外角都等于,则这个正多边形的边数为 .变式：已知一个多边形的每个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为7:2，则这个多边形的边数为_变式：一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是 边形；2、一个多边形每个顶点取一个外角,这些外角中钝角最多有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4
27、个变式：若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是（ ） A2:1 B1:1 C5:2 D5:4变式：n边形的内角和与外角和之比为13：2，求n变式：如图,小敏在操场上从点出发,沿直线前进10米后向左转,再沿直线前进10米后,又向左转,照这样走下去,她第一次回到出发点时,一共走了 米.变式：如图，小亮从A点出发前进，向右转15，再前进，又向右转15，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 m1515 变式：已知六边形ABCDEF，它的每个角都相等，且AB=1，BC=CD=DE=9，求这个六边形的周长。变式：已知，如图，六边形ABCDEF的各个角都相等，请判断A
28、BBC与DEEF的大小，并说明你的理由 变式：如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位3、(1)如图,试研究其中之间的数量关系； (2)如果我们把称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式. (3)用你发现的结论解决下列问题: 如图,分别是四边形的外角的平分线,求的度数. 八、找规律注：找规律，一般分为图形规律和数量规律图形规律一般要观察各部分的变化情况，总结出变化规律。数字变化规律，要看数量每次增加的多少，一般可以借图形增长的部分来总结增长规律。1、 .依次观察左边三个图形，并判断照此规律从左向右第四个图形是（ ） （A） （B）
29、（C） （D）变式：如图,用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律,拼成若干个图案,则第个图案中白色地砖的块数为( ) A. B. C. D.变式：填表：用长度相等的火柴棒拼成如图所示的图形三角形的个数12345n所有火柴的根数35792、如图所示的是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n (n1)盆花,每个图案花盆的总数为S，按此规律推断S与n有什么关系,并求出当n=13时，S的值。 变式：如图所示，用火柴杆摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当摆到20层(n=20)时，需要多少根火柴?变式：观察并计算下列每个图形的所有三角形的个数,根据其变化规律,可得到第1
30、0个图形的三角形的个数是 个.九、多边形对角线注：凸（正）n变形的对角线，从一点开始引出所有存在的对角线，自己不算，旁边两点不能连接，这样就有（n-3）条；然后顺时针或逆时针方向，从第二点引出所有未被连的对角线，也是（n-3）条；从第三点引出所有未被连接的对角线，本来也是有（n-3）条，但是由于第一点已经向第三点连出了一条，所以只能连（n-4）条；第四点，由于第一点和第二点都向它连过了，所以只能连（n-5）条；第（n-2）个点能连出到第n个点的一条对角线；第（n-1）和第n个点没有可以连的点了。所以凸（正）n变形的对角线的总和为：S=(n-3)+(n-3)+(n-4)+(n-5)+2+1 =(n-3)+(n-2)(n-3)2 =（n2-3n）21、细心地填一填，你发现有什么规律?多边形的边数3456n多边形内角的个数多边形外角的个数从一个顶点引出的对角线的条数多边形总共对角线的条数从一个顶点引出的对角线分成的三角形的个数规律：_ _ _变式：一个多边形从每一个顶点出发都有4条对角线,那么这个多边形的内角和为_.变式：若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引8条对角线，则它是（ ） A十三边形 B十二边形 C十一边形 D十边形2、六边形共有 条对角线，它的内角和是 度变式：五边形的对角线有 条，十五边形的对角线有 条。变式：一个多边形的内角和为720，那么这个多边形的对角线