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1、abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）一、问题的提出第1页/共98页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）第2页/共98页曲边梯形如图所示，第3页/共98页曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为第4页/共98页实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值第5页/共98页（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值第6页/共98页二、定积分的定
2、义定义定义第7页/共98页被积函数被积表达式积分变量记为记为积分上限积分下限积分和第8页/共98页注意：注意：第9页/共98页定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理第10页/共98页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值四、定积分的几何意义第11页/共98页几何意义：几何意义：第12页/共98页例例1 1 利用定义计算定积分解解第13页/共98页第14页/共98页五、定积分 的性质第15页/共98页证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1第16页/共98页证证性质性质2 2第17页/共98页补充补充：
3、不论 的相对位置如何,上式总成立.例例 若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则性质性质3 3第18页/共98页证证性质性质4 4性质性质5 5第19页/共98页解解令于是可以直接作出答案第20页/共98页性质性质5 5的推论：的推论：证证（1）第21页/共98页证证说明：说明：可积性是显然的.性质性质5 5的推论：的推论：（2）第22页/共98页证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6曲边梯形的面积 夹在两个矩形之间第23页/共98页解解例例2 不计算定积分 估计 的大小第24页/共98页证证由闭区间上连续函数的介
4、值定理知性质性质7 7（Th5.1 Th5.1 定积分第一中值定理）定积分第一中值定理）积分中值公式第25页/共98页使即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：第26页/共98页Th5.2(Th5.2(推广的积分第一中值定理）推广的积分第一中值定理）第27页/共98页考察定积分记积分上限函数积分上限函数六、积分上限函数及其导数第28页/共98页证证第29页/共98页由积分中值定理得第30页/共98页计算下列导数第31页/共98页补充补充证证第32页/共98页例例1 1 求求解解分析：分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.第33页/共98页定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定
5、理）定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.第34页/共98页定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）证证七 牛顿莱布尼茨公式第35页/共98页令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式第36页/共98页微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题.第37页/共98页例例4 4 求 原式例例5 5 设 ,求 .解解解解第38页/共98页例例6 6 求 解解由图形可知第39页/共98页则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼茨公式第40页/共98页定理定理
6、八、换元公式第41页/共98页证证第42页/共98页第43页/共98页应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）第44页/共98页例例1 1 计算例例2 2 计算第45页/共98页例例1 1 计算解凑微分是第一类换元积分法，特点是不要明显地换元，也就不要更换积分的上下限。第46页/共98页例例2 2 计算解解原式第47页/共98页例例3 3 计算解解第48页/共98页三角代换和根式代换第49页/共98页例例4 4 计算解解令原式明显换元第50页/共98页证证第51页/共98页第52页/共98页奇函数例例6 6 计算解解原式偶函数单位圆的面积第53页/共98页总结：1、定积分公式2、
7、定积分计算方法（直接代入，凑微分，根式代换，三角代换）3、根式和三角代换为明显的代换，所以换元要换上下限4、介绍了积分上限函数5、积分上限函数是原函数6、计算上限函数的导数第54页/共98页证证（1）设第55页/共98页第56页/共98页（2）由此计算设第57页/共98页第58页/共98页定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导九、分部积分公式第59页/共98页例例 计算解解第60页/共98页例例2 2 计算解解令则第61页/共98页例例3 3 计算解解例例4 4 计算第62页/共98页例例5 5 计算解解第63页/共98页第四节 广义积分一、无穷限的广义积分第64页/共98页第65页
8、/共98页第66页/共98页例例1 1 计算广义积分解解简记为第67页/共98页例例1 1 计算广义积分解解第68页/共98页证证第69页/共98页第70页/共98页第71页/共98页第72页/共98页第73页/共98页第74页/共98页第75页/共98页回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题第五节、定积分应用ab xyo第76页/共98页1、几何上的应用第77页/共98页面积第78页/共98页ab xyo面积元素第79页/共98页一、平面图形的面积一、平面图形的面积1.直角坐标情形直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A,右图所示图形，面积元素为第80页/共98
9、页曲边梯形的面积曲边梯形的面积第81页/共98页c有时也会选 y 为积分变量第82页/共98页解解（1）作图（2）求出两曲线的交点（3）选 为积分变量（4）代公式第83页/共98页解解两曲线的交点选 为积分变量第84页/共98页解题步骤：(2)求出交点；(3)选择合适的积分变量，确定积分区间，计算。(1)画出草图；第85页/共98页例例3.求椭圆求椭圆解解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a=b 时得圆面积公式第86页/共98页二、立体体积二、立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,1.已知平
10、行截面面积函数的立体体积已知平行截面面积函数的立体体积第87页/共98页例例1.一平面经过半径为一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中的圆柱体的底圆中心心,并与底面交成 角,解解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.第88页/共98页思考思考:可否选择可否选择 y 作积分变作积分变量量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示提示:第89页/共98页 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆锥圆台旋转体的体积第90页/共98页当考虑连续曲线当考虑连续曲线段段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2.旋转体的体积旋转体的体积第91页/共98页xyo旋转体的体积为第92页/共98页第93页/共98页第94页/共98页例例1.计算由椭圆计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解:利用直角坐标方程则(利用对称性)第95页/共98页解解第97页/共98页感谢您的观看！第98页/共98页