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1、平面体与回转体表面的交线平面体与回转体表面的交线第四章 平面体与回转体表面的交线4-1 4-1 平面体及回转体的截切平面体及回转体的截切 4-1-1 4-1-1 概述概述 4-1-2 4-1-2 平面体的截切平面体的截切 4-1-3 4-1-3 回转体的截切回转体的截切4-2 4-2 平面体与回转体的相贯平面体与回转体的相贯 4-2-1 4-2-1 概述概述 4-2-2 4-2-2 平面体与回转体相贯平面体与回转体相贯 4-2-3 4-2-3 回转体与回转体相贯回转体与回转体相贯第1页/共62页截切：截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。部分。截平面截
2、平面 用以截切物体的平面。用以截切物体的平面。截交线截交线 截平面与物体表面的交线。截平面与物体表面的交线。截断面截断面 因截平面的截切，在物体上形因截平面的截切，在物体上形 成的平面。成的平面。讨论的问题：截交线的分析和作图讨论的问题：截交线的分析和作图。4-1-1 概概 述述第2页/共62页4-1-2 平面体的截切平面体的截切一、平面截切的基本形式一、平面截切的基本形式 截交线是一个由直线组成的截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形封闭的平面多边形，其，其 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置。位置。截交线的每条边是截交线的每条边
3、是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线。求求截交线的实质是求两平面的交截交线的实质是求两平面的交线线截交线的性质：截交线的性质：第3页/共62页二、平面截切体的画图二、平面截切体的画图 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法：求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。关键是正确地画出截交线的投影关键是正确地画出截交线的投影。求截交线的步骤：求截交线的步骤：截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间
4、及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。交线，并连接成多边形。第4页/共62页例例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。321(4)1243124 空间分析空间分析交线的形状？交线的形状？3 投影分析投影分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性截平面与体的截平面与体的几个棱面相交几个棱面相交？截交线在俯、截交线在俯、左视图上的形左视图上的形状？状？第5页/共62页例例1：求四棱锥被截切后的
5、俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。我们采用的是我们采用的是哪种解题方法哪种解题方法？棱线法！棱线法！第6页/共62页例例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。121(2)、两点分别同两点分别同时位于三个面上。时位于三个面上。三面共点：三面共点：21 注意：注意：要逐个截平面分析和绘制要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后体被截切，求出截交线后再取局部。再取局部。第7页/共62页例例2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左
6、视图。第8页/共62页例例 3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P截交线的形状？15432876截交线的投影特性？23671845求截交线15476328分析棱线的投影检查截交检查截交线的投影线的投影第9页/共62页例例 3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。第10页/共62页4-1-3 4-1-3 回转体的截切回转体的截切一、回转体截切的基本形式一、回转体截切的基本形式截交线的性质：截交线的性质：截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状
7、及 截平面与回转体轴线的相对位置截平面与回转体轴线的相对位置。截交线都是截交线都是封闭的平面图形封闭的平面图形。第11页/共62页二、求平面与回转体的截交线的一般步骤二、求平面与回转体的截交线的一般步骤 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便的相对位置，以便确定截交线的形状确定截交线的形状。分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，明确明确截交截交 线的投影特性线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如积聚性、类似性等。找出找出 截交线的截交线的已知已知投影，投影，予见未知予见未知投影。投影。画
8、出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。见性。先找特殊点，补充中间点先找特殊点，补充中间点。第12页/共62页 圆柱体的截切圆柱体的截切 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置平面与圆柱轴线的相对位置垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行两平行直线两平行直线倾斜倾斜PVPPVPPVP第13页/共62页圆柱体上的三种截交线圆柱体上的三种截交线截面为截面为圆圆截面为椭圆截面为椭圆截面为矩形截面为
9、矩形第14页/共62页例例1：求左视图：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤：同一立体被多个同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面进行截交线截平面进行截交线的分析和作图。的分析和作图。第15页/共62页例例1：求左视图：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤
10、：解题步骤：第16页/共62页例例2：求左视图：求左视图转向素线转向素线第17页/共62页例例2：求左视图：求左视图第18页/共62页例例3：求俯视图：求俯视图第19页/共62页例例3：求俯视图：求俯视图第20页/共62页第21页/共62页截交线的已知投影？截交线的已知投影？例例4：求左视图：求左视图找特殊点找特殊点补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影截交线的侧面投截交线的侧面投影是什么形状？影是什么形状？截交线的截交线的空间形状空间形状？第22页/共62页例例4：求左视图：求左视图找特殊点找特殊点找中间点找中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线
11、的投影分析轮廓素线的投影第23页/共62页 椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。45什么情况下投影为圆呢？什么情况下投影为圆呢？截平面与圆柱截平面与圆柱轴线成轴线成45时。时。第24页/共62页例5：求左视图例例5：求左视图：求左视图 虚实分界点虚实分界点第25页/共62页例例6：补全俯视图和左视图中所缺的图线：补全俯视图和左视图中所缺的图线第26页/共62页 圆锥体的截切圆锥体的截切 根据截平面与圆锥轴线的相对根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。位置不同，截交线有五种形状。过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线PV圆
12、圆PV=90PV椭圆椭圆抛物线抛物线PV=双曲线双曲线PV=0第27页/共62页过锥顶过锥顶等腰三角形等腰三角形与轴线垂直与轴线垂直圆圆与轴线倾斜与轴线倾斜椭圆椭圆与一条素线平与一条素线平行行抛物线抛物线与轴线平行与轴线平行双曲线双曲线截交线的五种形状。截交线的五种形状。第28页/共62页例例:圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。截交线截交线的空间的空间形状？形状？截交线截交线的投影的投影特性？特性？找特殊点找特殊点如何找椭圆另一如何找椭圆另一根轴的端点？根轴的端点？补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影
13、第29页/共62页 球体的截切球体的截切 平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形状截交线的形状都是圆都是圆，但根据截平面与投影面的，但根据截平面与投影面的相对位置不同，相对位置不同，其其截交线的投影可截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线能为圆、椭圆或积聚成一条直线。第30页/共62页例：求半球体截切后的俯视图和左视图。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。两个侧平面截圆球的截两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。图上积聚为直线。第31页/
14、共62页例：求半球体截切后的俯视图和左视图。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。第32页/共62页 复合回转体的截切复合回转体的截切 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，及它们的连接关系，然后然后分别求出这些基本回转分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。体的截交线，并依次将其连接。例：求作顶尖的俯视图例：求作顶尖的俯视图第33页/共62页第四章 平面体与回转体表面的交线4-1 4-1 平面体及回转体的截切平面体及回转体的截切 4-1-1 4-1-1 概述概述 4-1-2 4-1-2 平面体的截切平面体的截切 4-1-3 4
15、-1-3 回转体的截切回转体的截切4-2 4-2 平面体与回转体的相贯平面体与回转体的相贯 4-2-1 4-2-1 概述概述 4-2-2 4-2-2 平面体与回转体相贯平面体与回转体相贯 4-2-3 4-2-3 回转体与回转体相贯回转体与回转体相贯第34页/共62页平面体与回平面体与回转体相贯转体相贯回转体与回回转体与回转体相贯转体相贯多体相贯多体相贯4-2-1 4-2-1 概概 述述1.1.相贯的形式相贯的形式 两立体相交叫作相贯，其表面产生的交两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做线叫做相贯线相贯线。主要讨论常用不同立体相交时其主要讨论常用不同立体相交时其表面相表面相贯线的投影特性及画法
16、。贯线的投影特性及画法。第35页/共62页2.2.相贯线的主要性质相贯线的主要性质 其作图实质是找出相贯的两立其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干体表面的若干共有点共有点的投影。的投影。共有性共有性 表面性表面性相贯线位于两立体的表面上。相贯线位于两立体的表面上。相贯线是相贯线是两立体表面的共有线两立体表面的共有线。封闭性封闭性 相贯线一般是相贯线一般是封闭的空间折线封闭的空间折线（通（通常由直线和曲线组成）常由直线和曲线组成）或空间曲线或空间曲线。第36页/共62页1.1.相贯线的性质相贯线的性质 相贯线是相贯线是由若干段平面曲由若干段平面曲线（或直线）所组成的线（或直线）所组成的空间折空
17、间折线线，每一段是平面体的棱面与每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线回转体表面的交线。4-2-2 平面体与回转体相贯平面体与回转体相贯2.2.作图方法作图方法 分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确 定交线的形状。定交线的形状。求出各棱面与回转体表面的截交线。求出各棱面与回转体表面的截交线。连接各段交线，并判断可见性。连接各段交线，并判断可见性。求交线的实质是求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线求各棱面与回转面的截交线。第37页/共62页例例1：补全主视图补全主视图 空间分析：空间分析：四棱柱的四个棱面分别与四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两
18、棱面与圆圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。直，截交线为两段圆弧。投影分析：投影分析：由于相贯线是两立体表由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。水平投影积聚在矩形上。第38页/共62页例例1：补全主视图补全主视图第39页/共62页例例2：求作主视图：求作主视图第40页/共62页例例2：求作主视图：求作主视图第41页/共62页例例3：求圆柱被截切后的左视图：求圆柱被截切后的左视图
19、第42页/共62页1.1.相贯线的性质相贯线的性质 相贯线一般为相贯线一般为光滑封闭的光滑封闭的空间曲线空间曲线，它是两回转体表面它是两回转体表面的共有线的共有线。4-2-3 4-2-3 回转体与回转体相贯回转体与回转体相贯2.2.作图方作图方法法 利用投影的积聚性直接找点利用投影的积聚性直接找点。用辅助平面法。用辅助平面法。先找特殊点。先找特殊点。作图过程作图过程 补充中间点。补充中间点。确定交线的确定交线的弯曲趋势弯曲趋势确定交线确定交线的范围的范围第43页/共62页当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。交线向大圆交线向大圆柱一侧弯柱一侧弯交线为两条平面交
20、线为两条平面曲线（椭圆）曲线（椭圆）第44页/共62页当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。第45页/共62页第46页/共62页例例 1：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。空间及投影分析：空间及投影分析：小圆柱轴线垂直于小圆柱轴线垂直于H面，水面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于该圆。大圆柱轴线垂直于W面，面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。面投影在该圆上。求相贯线的投影：求相贯线的投影：利用积
21、聚性，采用利用积聚性，采用表面取点法。表面取点法。找特殊点找特殊点 补充中间点补充中间点 光滑连接光滑连接第47页/共62页例例 1：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。第48页/共62页例例2：补全主视图：补全主视图 外形交线外形交线 两外表面相贯两外表面相贯 一内表面和一外表面相贯一内表面和一外表面相贯 内形交线内形交线 两内表面相贯两内表面相贯第49页/共62页例例2：补全主视图：补全主视图 无轮是两外表面相贯，无轮是两外表面相贯，还是一内表面和一外表面还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，相贯，或者两内表面相贯，求相贯线的方法和思路是求相贯线的方法和思路是
22、一样的。一样的。小小 结：结：第50页/共62页例例3：求主视图：求主视图相切处无线相切处无线 外表面与外表外表面与外表面相贯，内表面与面相贯，内表面与内表面相贯。分别内表面相贯。分别求其相贯线。求其相贯线。第51页/共62页例例3：求主视图：求主视图第52页/共62页例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。空间及投影分析：空间及投影分析：相贯线为一相贯线为一光滑的封闭的空间曲线光滑的封闭的空间曲线。它的侧面投影有积聚性，正面投影、水平它的侧面投影有积聚性，正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。投影没有积聚性，应分别求出。解题方法：解题方法：辅助平面
23、法辅助平面法第53页/共62页辅助平面法：辅助平面法：根据根据三面共点三面共点的原理，利用辅的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。共有点，从而画出相贯线的投影。作图方法：作图方法：假想用辅助平面截切两回转体假想用辅助平面截切两回转体，分别得，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。因而是相贯线上的点。辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则：使使辅助平面与两回转体辅助平面与两回转体表面的截交线表
24、面的截交线的的投影投影简单易画简单易画，例如直线或圆。，例如直线或圆。一般选择一般选择投影面平行面投影面平行面P第54页/共62页例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。假想用水平面假想用水平面P截切立体，截切立体，P面与圆柱面与圆柱体的截交线为两条直线，与圆锥面的交线体的截交线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。P第55页/共62页例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。解题步骤：解题步骤：求特殊点求特殊点 用辅助平面法求用辅助平面法求 中间点中间
25、点 光滑连接各点光滑连接各点第56页/共62页例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。解题步骤：解题步骤：求特殊点求特殊点 用辅助平面法求用辅助平面法求 中间点中间点 光滑连接各点光滑连接各点第57页/共62页相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况1.当二二等直径等直径圆柱相交圆柱相交时，相贯线为时，相贯线为椭圆椭圆。2.当球与其它回转当球与其它回转体相交时，如果体相交时，如果球心位于其它回球心位于其它回转体的轴线上，转体的轴线上，相贯线为圆。相贯线为圆。第58页/共62页123例例6：补全主视图：补全主视图 这是一个多体这是一个多体相贯的例子，首先相贯的例子，首先分析它是由哪些基分析它是由哪些基本体组成的，这些本体组成的，这些基本体是如何相贯基本体是如何相贯的，的，然后然后分别进行分别进行相贯线的分析与作相贯线的分析与作图。图。第59页/共62页例例6：补全主视图：补全主视图三面共点三面共点 作图时要抓住作图时要抓住一个关键点，相贯一个关键点，相贯线汇交于这一点。线汇交于这一点。第60页/共62页第四章结束第四章结束谢谢大家谢谢大家第61页/共62页