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1、学习目标1根据已知条件运用尺规作出规范图形2经历探索、猜测、证明的过程，能够证明直角三角形全等“HL”判定定理3、会熟练应用“”解决相关的实际问题。第1页/共43页三角形全等的判定三角形全等的判定w公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.w公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.w公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.w推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.回顾&思考1w想一想想一想:w两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等?w两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等等.
2、w如果其中一边的所对的角是直角呢?第2页/共43页命题的证明命题的证明 我能行我能行1 1w命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.老师提示:举反例证明假命题千万不可忘记噢!w证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:ABC ABCABC(1)(2)(3)由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等;由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等;w因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.第3页/共43页做一做已知一条直角边和斜边，求做一个直角三角。已知：求作：作法：第4页/共43页做一做做一做利用尺规作一个利用尺规作一个RtABCRtABC，C=90C=
3、90,AB=5cm,CB=3cm.,AB=5cm,CB=3cm.按照步骤做一做：（1）作MCN=90;（2)在射线CM上截取线段 CB=3cm;（3)以B为圆心,5cm为半径 画弧,交射线CN于点A;（4）连接AB.B A第5页/共43页动动手动动手 做一做做一做 比比看比比看把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？第6页/共43页斜边、直角边公理斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”第7页/共43页斜边、直角边公理斜边、直角边公理 (HL)ABCA BC 在RtABC和Rt 中AB=BC=RtAB
4、CC=C=90有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.第8页/共43页命题的证明命题的证明 我能行我能行2 2w两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.但如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.老师期望:你能写出它的证明过程吗?你能用根据上面的证明用文字写出一个结论吗?w已知:如图,在ABC和ABC中,AC=AC,AB=AB,C=C=900.w求证:ABCABC.ABCABCw分析:w要证明ABCABC,只要能满足公理(SSS),(SAS),(ASA)和推论(AAS)中的一个即可.由已知和根据勾股定理易知,第三条边也对应相等.第9页/共43页直角三角形全等的判直
5、角三角形全等的判定定理及其定定理及其三种语言三种语言 我能行我能行3 3l定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).w如图,在ABC和ABC中,C=C=900,wAC=AC,AB=AB(已知),wRtABCRtABC(HL).ABCABC第10页/共43页小结小结直角三角直角三角形全等的形全等的判定判定一般三角一般三角形全等的形全等的判定判定“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”灵活运用各种方法证明直角三角形全等灵活运用各种方法证明直角三角形全等应用“SSS”第11页/共43页判断：判断：满足下列条件的两个三角形是否全等满
6、足下列条件的两个三角形是否全等?为什么为什么?1.1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形.全等(AAS)第12页/共43页2.2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形.全等判断：判断：满足下列条件的两个三角形是否全等满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么为什么?(ASA)第13页/共43页3.3.两直角边对应相等的两个直角三角形两直角边对应相等的两个直角三角形.全等判断：判断：满足下列条件的两个三角形是否全等满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么为什么?(S
7、AS)第14页/共43页4.4.有两边对应相等的两个直角三角形有两边对应相等的两个直角三角形.全等判断：判断：满足下列条件的两个三角形是否全等满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么为什么?情况1：全等情况2：全等(SAS)(HL)第15页/共43页议一议议一议 如图，已知ACB=BDA=90，要使ACB BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来 DCAOB 从添加角来说，可以添加CBA=DAB或CAB=DBA；从添加边来说，可以是AC=BD，也可以是BC=AD 第16页/共43页已知：如图,在ABC和ABD中，ACBC,ADBD,垂足分别为C,D,AD=BC,求证：ABC BAD.ABDC证
8、明：ACBC,ADBD C=D=90 在RtABC和RtBAD中 RtABC RtBAD(HL)A第17页/共43页已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF,求证：ABC DEFABCPDEFQ BAC=EDF,AB=DE,B=E分析：ABC DEFRtABP RtDEQAB=DE,AP=DQ第18页/共43页已知已知:如图如图,D,D是是ABCABC的的BCBC边上的中边上的中点点,DEAC,DF,DEAC,DFAB,AB,垂足分别为垂足分别为E,F,E,F,且且DE=DF.DE=DF.w求证求证:ABCABC是等腰三角形是等腰三角形.D
9、BCAFE学以致用第19页/共43页用三角尺作角平分线用三角尺作角平分线 做一做做一做1 1l再过点M作OA的垂线,l如图:在已知AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;l过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,那么射线OP就是AOB的平分线.l请你证明OP平分AOB.ABOP老师期望:你能写出它的证明过程吗?MNl已知:如图,OM=ON,PMOM,PNON.l求证:AOP=BOP.l先把它转化为一个纯数学问题:第20页/共43页 有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角ABC和DFE的大小有什么关系?第21页/共43页 如图，两根长
10、度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。解：BD=CD RtABDRtACD(HL)BD=CD(全等三角形的对应边相等）在RtABD和RtACD中AB=AC AD=AD理由：ADB=ADC=90（公共边）ABD和ACD都是直角三角形第22页/共43页1、如图 在ABC中，已知BDAC，CEAB，BD=CE。说明EBC DCB的理由。ABCED解 CE AB，BDAC（已知）EBC和DCB都是直角三角形在Rt EBC和RtDCB中，BD=CE（已知）BC=CB（公共边）Rt EBC RtDCB(HL)练习:第23页/共43
11、页练一练练一练如图，D为BC边上的中点，DEAB，DF AC，且DE=DF，那么DBE DCF吗？第24页/共43页ABCP如图：PB AB，PC AC且PB=PC,BPC=1200求 BPA的度数第25页/共43页练习:1,已知B=C=90，AB=CD，则ABO DCO，其依据是_AAS2,在RtABC中，C=90，AD平分A，DEAB，则AED ACD，其依据是 _AAS书P.123 19,20第26页/共43页回味无穷回味无穷直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理:l定理:HL).w公理:（SSS）.（SAS）.（ASA）.w推论:（AAS）.综上所述综上所述,直角三角形全等的
12、判定条件可归纳为直角三角形全等的判定条件可归纳为:w一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;w两边对应相等的两个直角三角形全等;w切记!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.w即(SSA)是一个假冒产品!第28页/共43页祝你成功！祝你成功！一、习题1.6 第1、2、3题二、练习册1.2.2第29页/共43页习题习题1.5 独立作业独立作业1 1驶向胜利的彼岸w1.已知:如图,D是ABC的BC边上的中点,DEAC,DFAB,垂足分别为E,F,且DE=DF.w求证:ABC是等腰三角形.分析:要证明ABC是等腰三角形,就需要证明AB=AC;进而需要证明BC所在的BDFCDE
13、;而BDFCDE的条件:从而需要证明B=C;BD=CD,DF=DE均为已知.因此,ABC是等腰三角形可证.DBCAFEw老师期望:w请将证明过程规范化书写出来.第30页/共43页习题习题1.5 独立作业独立作业2 2驶向胜利的彼岸w2.已知:如图,AB=CD,DEAC,BFAC,垂足分别为E,F,DE=BF.w求证:(1)AE=AF;(2)ABCD.老师期望:请将证明过程规范化书写出来.BCAEDF分析:(1)要证明AE=CF,由此AE=CF可证.需要证明内错角A=C;而由ABFCDE可得证.(2)要证明ABCD,由已知条件,AB=CD,DEAC,BFAC,DE=BF.可证得ABFCDE,从而
14、可得AF=CE.第31页/共43页在RtABC中，C=90，且DEAB，CD=ED，求证：AD是BAC的角平分线。分析：这是利用“HL”证明两个直角三角形全等，隐含了一条公共边。第32页/共43页如图，ACB=ADB=90，AC=AD，E是AB上的一点。求证：CE=DE。分析：这里要证明两次三角形全等。图，AD是BAC的角平分线，DEAB，DFAC，BD=CD，AB=AC，求证：EB=FC。第33页/共43页已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF,求证：ABC DEFABCPDEFQ变式1：若把 BAC EDF,改为BCEF，ABC与DE
15、F全等吗？请说明思路。变式2：若把 BAC EDF,改为AC=DF，ABC与DEF全等吗？请说明思路。变式3：请你把例题中的 BAC EDF改为另一个适当条件，使ABC与DEF仍能全等。试证明。思维拓展小结第35页/共43页思维拓展已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF,求证：ABC DEFABCPDEFQ变式1：若把 BAC EDF,改为BCEF，ABC与DEF全等吗？请说明思路。小结第36页/共43页思维拓展已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF,求证：ABC DEFABCPDE
16、FQ变式1：若把 BAC EDF,改为BCEF，ABC与DEF全等吗？请说明思路。小结第37页/共43页已知：如图，在ABC和DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,BAC=EDF,求证：ABC DEFABCPDEFQ变式1：若把 BAC EDF,改为BCEF，ABC与DEF全等吗？请说明思路。变式2：若把 BAC EDF,改为AC=DF，ABC与DEF全等吗？请说明思路。思维拓展小结第38页/共43页探索交流探索交流(1)ABC就是所求作的三角形吗？（2）剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？(3)交流之后，你发现了什么？想一想，在画图时是根据什么条
17、件？它们重合的条件是什么？第39页/共43页到现在为止，你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？学法指导HL是直角三角形所独有的判定方法，对于一般三角形不成立；证明直角三角形全等时，如果不能利用HL证明，也可利用其他四种方法；对于直角三角形的判定要善于利用从一般到特殊的学习方法来研究，先研究用一般方法证明两直角三角形全等，然后才考虑用特殊的方法HL。第40页/共43页 具有下列条件的RtABC与RtABC（其中CC90）是否全等?（1）ACAC,AA （）（2）ACAC，BCBC（）（3）ABAB，A A（）（4）AA，BB （）（5）ACAC，ABAB（）ASASAS AASHL 第41页/共43页蓄势待发蓄势待发驶向胜利的彼岸w如图如图,已知已知ACB=BDA=900,要使ABCBDA,还需要什么条件?把它们分别写出来.l增加AC=BD;议一议议一议ABCDl增加BC=AD;l增加ABC=BAD;l增加CAB=DBA;l你能分别写出它们的证明过程吗?l若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?Ol你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?l你能分别写出它们的证明过程吗?第42页/共43页谢谢您的观看！第43页/共43页