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1、市场风险风险价值市场风险风险价值2 2/64/64引言金融机构的投资组合价值往往取决于成百上千个市场变量。某些用于考察某些特殊市场变量对于投资组合价值影响的度量指标，如Delta、Gamma、Vega等，尽管这些风险度量很重要，但并不能为金融机构高管和监管人员提供一个关于整体风险的完整图像。第1页/共61页3 3/64/64引言风险价值VaR（Value at Risk）是试图对金融机构的资产组合提供一个单一风险度量，这一度量能够体现金融机构所面临的整体风险。VaR最早由J.P.Morgan投资银行提出，随即被各大银行、基金等金融机构采用。第2页/共61页4 4/64/64引言目前，目前，Va
2、RVaR已经被巴塞尔委员会用来计算世界上不同地区银行的风已经被巴塞尔委员会用来计算世界上不同地区银行的风险资本金，包括针对市场风险、信用风险和操作风险的资本金。险资本金，包括针对市场风险、信用风险和操作风险的资本金。本章内容：本章内容：VaRVaR的概念的概念 VaRVaR的计算例子的计算例子 VaRVaR与与ESES VaRVaR与资本金与资本金 VaRVaR中的参数选择中的参数选择 后验分析（后验分析（Backtesting analysisBacktesting analysis）第3页/共61页5 5/64/645.1 VaR的定义VaR：我们有X的把握，在未来T 时期内，资产组合价值
3、的损失不会大于V。V：资产组合的VaRVaR是两个变量的函数：持有期T 和置信度X%VaR可以由投资组合收益（Profit）的概率分布得出，也可以由投资组合损失（Loss）的概率分布得出。第4页/共61页6 6/64/645.1 VaR的定义当采用收益分布时，VaR等于收益分布第(100-X)%分位数的负值第5页/共61页7 7/64/645.1 VaR的定义当采用损失分布时，VaR等于损失分布第X%分位数。例：当T=5，X=97%时，VaR对应于投资组合在5天后收益分布的3分位数的负值，也对应于投资组合在5天后损失分布的97分位数。第6页/共61页8 8/64/645.2 VaR的计算例子E
4、xample 1Example 1假定一个交易组合在6个月时的收益服从正态分布，分布的均值为2（单位：百万美元），标准差为10。由正态分布的性质可知，收益分布的1分位数为 2-2.3310，即-21.3。因此，对于6个月的时间期限，在99置信度下的VaR为21.3（百万美元）。第7页/共61页9 9/64/645.2 VaR的计算例子Example 2Example 2假定一个1年期项目的最终结果介于5000万美元损失和5000万美元收益之间，中间的任意结果具有均等的可能性。项目的最终结果服从由-5000万美元到+5000万美元的均匀分布，损失大于4900万美元的可能性为1。因此，在1年后，基
5、于99置信度的VaR为4900万美元。第8页/共61页1010/64/645.2 VaR的计算例子Example 3Example 3一个1年期项目，有98的概率收益200万美元，1.5的概率损失400万美元，0.5的概率损失1000万美元。第9页/共61页1111/64/645.2 VaR的计算例子在这样的累积分布下，对应于99累积概率的损失为400万美元。VaR400万美元可以这样描述：我们有99的把握认为在未来1年后该项目损失不会超过400万美元。第10页/共61页1212/64/645.2 VaR的计算例子Example 4Example 4续上例，试求99.5置信度下的VaR上图显示
6、，介于400万美元和1000万美元中的任何损失值出现的可能性都不超过99.5。VaR在这一情形下不具备唯一性一个合理选择：将VaR设定为这一区间的中间值，即99.5%置信度下的VaR为700万美元。第11页/共61页1313/64/645.3 VaR与ES在应用VaR时，实际上是在问“最坏的情况将会是怎样”，这一问题是所有金融机构高级管理任意都应关心的问题。VaR将资产组合价值对各种不同类型市场变量的敏感度压缩成一个数字，这使管理人员的工作大为简化。另外，VaR也比较容易进行后验分析（Backtesting analysis）。第12页/共61页1414/64/645.3 VaR与ES然而，V
7、aR却有会使交易员有冒更大风险的缺陷。例如，一家银行限定某个交易员的投资组合在未来一天内99的VaR额度为1000万美元，该交易员可以构造某一资产组合，该组合有99.1的可能每天的损失小于1000万美元，但有0.9的可能损失5000万美元。这一组合满足了银行的监管规定，但很明显，交易员使银行承担了不可接受的风险。第13页/共61页1515/64/645.3 VaR与ES交易员所追求的概率分布：第14页/共61页1616/64/645.3 VaR与ES许多交易员喜欢承担更大的风险，以期得到更大的收益。某交易员：“我还从来没有碰到过一种风险控制系统会使我的交易无法进行”。第15页/共61页1717
8、/64/645.3 VaR与预期损失预期损失预期损失ESES一种比VaR更能使交易员产生合理交易动机的风险测度为预期损失ES（Excepted shortfall），有时又被称为“条件VaR”（conditional VaR）、“条件尾部期望（conditional tail expectation）”、“尾部损失”（tail loss）。ES：超过VaR的损失期望值第16页/共61页1818/64/645.3 VaR与预期损失ES也是两个变量的函数：持有期T 和置信度X。例如，当X 99，T 10天时，VaR6400万美元的ES是指在10天后损失超过6400万美元时的期望值。ES比VaR更符
9、合风险分散原理。第17页/共61页1919/64/645.3 VaR与预期损失ES的缺陷：形式较为复杂且不如VaR更为直观；较难进行后验分析。ES也已在监管机构和风险管理人员中得到了广泛应用。第18页/共61页2020/64/645.4 VaR和资本金VaR被监管机构用来确定资本金的持有量。对于市场风险，监管机构往往要求资本金等于在未来10天99VaR的若干倍数；对于信用风险和操作风险，监管机构往往要求在资本金计算中，要采用1年的持有期和99.9的置信度。第19页/共61页2121/64/645.4 VaR和资本金对于99.9的置信度和1年时间，某个组合的VaR为5000万美元，这意味着在极端
10、条件下（理论上，每1000年出现一次），该组合在1年时间内的损失会超过5000万美元。也就是说，我们有99.9的把握认为，持有该组合的金融机构不会在1年内完全损失所持有的资本金。如果要确定资本金数量，VaR是最好的风险测度选择吗？第20页/共61页2222/64/645.4 VaR和资本金Artzner等（1999）认为，一个好的风险测度应该满足：（1）单调性（Monotonicity）：如果在任何条件下，A组合的收益均低于B组合，那么A组合的风险测度值一定要大于B组合的风险测度值；含义：如果一个组合的回报总是比另一个组合差，那么第一个组合的风险一定要高，其所需要的资本金数量更大。第21页/共
11、61页2323/64/645.4 VaR和资本金（2）转换不变性（Translation invariance）：如果在交易组合中加入K 数量的现金，则风险测度值必须减少K；含义：如果在组合中加入K 数量的现金，则该现金可以为损失提供对冲，相应的准备金要求也应该可以减少K。第22页/共61页2424/64/645.4 VaR和资本金（3）同质性（Homogeneity）：如果一个资产组合所包含的资产品种和相对比例不变，但资产数量增至原来数量的n（n 0）倍，则新组合的风险测度值应该原组合风险测度值的n倍；含义：如果将某交易组合放大两倍，相应的资本金要求也应该放大两倍。第23页/共61页2525
12、/64/645.4 VaR和资本金（4）次可加性（Sub-additivity）：由两种资产构成的投资组合的风险测度值应小于等于两种资产各自风险测度值之和。含义：该条件与“不要把鸡蛋放在同一个篮子里”的经典风险管理思想一致，即分散化投资的风险一定要小于等于集中化投资的风险。VaR满足条件（1）、（2）、（3），但并不永远满足条件（4）。第24页/共61页2626/64/645.4 VaR和资本金Example 5Example 5假定两个独立的贷款项目在1年内均有2的概率损失1000万美元，同时均有98的概率损失100万美元，因此，任意一个单笔贷款在期限为1年、置信度为97.5下的VaR均为1
13、00万美元。将两个贷款叠加产生一个资产组合，组合有0.020.020.0004的概率损失2000万美元，有20.020.980.0392的概率损失1100万美元，有0.980.980.9604的概率损失200万美元。第25页/共61页2727/64/645.4 VaR和资本金在时间期限为1年，97.5的置信度下，贷款组合的VaR为1100万美元，单笔贷款对应的VaR之和为200万美元。贷款组合的VaR比贷款VaR的总和高900万美元违反次可加性第26页/共61页2828/64/645.4 VaR和资本金Example 6Example 6考虑两笔期限均一年，面值均为1000万美元的贷款，每笔贷
14、款的违约率均为1.25。当其中任何一笔贷款违约时，收回本金的数量不定，但回收率介于0100的可能性均等。当贷款没有违约时，每笔贷款盈利均为20万美元。第27页/共61页2929/64/645.4 VaR和资本金假定如果任意一笔贷款违约，那么另一笔贷款一定不会违约。首先考虑单笔贷款，违约可能为1.25。如果发生违约，损失均匀地介于01000万美元，这意味着损失大于零的概率为1.25；损失大于500万的概率为0.625；损失大于1000万的概率为零。01000概率：1.25第28页/共61页3030/64/645.4 VaR和资本金1年期99的VaR是多少？要求99的VaR，需要找出概率为1的损失
15、值。设该损失值为X，有：解得：X200。对单笔贷款，VaR200（万美元）第29页/共61页3131/64/645.4 VaR和资本金综合考虑两笔贷款。由于每笔贷款的违约概率均为1.25，且两笔贷款不可能同时违约，所以两笔贷款中有一笔贷款违约出现的概率为2.5。违约触发的损失介于01000万美元的概率为均等。第30页/共61页3232/64/645.4 VaR和资本金贷款组合99的VaR是多少？要求99的VaR，需要找出概率为1的损失值。设该损失值为X，有：解得：X600（万美元）第31页/共61页3333/64/645.4 VaR和资本金由于一笔贷款违约时，另外一笔贷款会盈利20万美元，因此
16、将这一盈利考虑在内，可得贷款组合1年期99的VaR580万美元。单笔贷款的VaR之和200200400（万美元）这一结果再次与“贷款组合会带来风险分散效应”的论断相悖。第32页/共61页3434/64/645.5 满足一致性条件的风险度量满足单调性、转换不变性、同质性、次可加性等四个条件的风险测度被称为“一致性风险测度”VaR不是一致性风险测度，而ES是一致性风险测度Example 7Example 7继续考虑例5。每笔贷款的VaR均为100万美元，现在要计算置信度为97.5的尾部期望损失。第33页/共61页3535/64/645.5 满足一致性条件的风险度量在2.5的尾部概率中，有2的概率损
17、失1000万美元，有0.5的概率损失100万美元。因此，在2.5的尾部分布范围内，有80的可能损失1000万美元，有20的可能损失100万美元。预期损失ES为0.8100.218.2（百万美元）第34页/共61页3636/64/645.5 满足一致性条件的风险度量将两个贷款项目结合到一起时，在2.5的尾部概率中，有0.04的概率损失2000万美元，有2.46的概率损失1100万美元。因此，在2.5的尾部分布内，预期损失ES为(0.04/2.5)20(2.46/2.5)11=11.144（百万美元）28.2 11.144，故该例中，ES满足次可加性。第35页/共61页3737/64/645.5
18、满足一致性条件的风险度量一个风险测度可被理解为分位数的某种加权平均就损失分布而言，VaR对第X 个分位数设定了100的权重，而对其它分位数设定了0权重；ES对高于X 分位数的所有分位数设定了相同的权重，但对低于X 分位数的所有分位数设定了0权重。基于这一思想，我们可以对损失（收益）分布中的所有分位数赋予不同权重，并由此定义“光谱型风险测度”（Spectral risk measure）。第36页/共61页3838/64/645.5 满足一致性条件的风险度量当光谱型风险测度对第q 个分位数的权重为q 的非递减函数时，这一光谱型风险测度一定满足次可加性，进而满足一致性条件。ES满足以上要求，但Va
19、R不满足，因为VaR对高于X%分位数的所有分位数设定的权重小于对X 分位数所设定的权重。第37页/共61页3939/64/645.5 满足一致性条件的风险度量研究人员提出其它风险测度，这些风险测度中，第q 个分位数的权重随着q 的改变而有较大的变化。例如，使第q 个分位数所对应的权重wq与e-(1-q)/成比例，这里的为常数，这种风险测度被称为指数光谱型风险测度（exponential spectral risk measure）。例如：第38页/共61页4040/64/645.5 满足一致性条件的风险度量0.9 1.0图5-1 权重作为分位数函数的3种情形ES 0.05 0.15权重累积概率
20、612第39页/共61页4141/64/645.6 VaR中的参数选择计算VaR时，需要预先设定两个参数：持有期和置信度通常假设：（1）资产价格变化（收益率）服从正态分布；（2）收益率的期望值为零基于以上两个假定：其中，X 为置信度，为对应于持有期内资产组合的波动率（连续复利收益率的标准差），N-1()为累积标准正态分布函数的反函数（ExcelExcel命令：命令：NORMSINVNORMSINV）。(5-1)第40页/共61页4242/64/645.6 VaR中的参数选择对任何持有期和置信度，VaR都与成正比。假设某资产组合在10天持有期上的价值变化服从均值为0、标准差为2000万美元的正态
21、分布10天持有期、99置信度下的VaR为：2000N-1(0.99)4653（万美元）第41页/共61页4343/64/645.6 VaR中的参数选择持有期的选择持有期的选择持有期的选择要视具体情况而定银行交易账户当中的头寸往往流通性较好，管理人员的交易行为也往往比较活跃，因此银行计算每天的VaR就非常有意义。当VaR超出一定界限时，管理人员就需对组合进行调整。银行计算较长时间的VaR没有太大意义，因为在一个较长的时期内，组合内的资产往往会有较大变化。第42页/共61页4444/64/645.6 VaR中的参数选择对于养老基金投资组合，管理人员往往会选择一个较长的持有期计算VaR。因为这类资产
22、组合的交易往往不是太活跃，而且资产的流动性不太好。这类资产组合的VaR往往每个月计算一次。对于任何投资组合，往往首先需要计算未来1天的VaR，然后采用以下公式计算未来T 天的VaR：(5-2)第43页/共61页4545/64/645.6 VaR中的参数选择上式的正确性建立在 （1）资产价格的每天变化均独立 （2）价格变化服从正态分布 （3）期望值为零 的基础上。如果以上条件不符合，(5-2)式就只是一个近似式。第44页/共61页4646/64/645.6 VaR中的参数选择自相关性的影响自相关性的影响实际上，资产价格每天的变化之间并非完全相互独立将资产组合第i天的价格变化定义为Pi，假设Pi与
23、Pi-1的相关系数为，对于任意i，Pi的方差均为2，则Pi+Pi-1的标准差为：第45页/共61页4747/64/645.6 VaR中的参数选择同理，可以计算T 天内的价格变化的标准差：由上式可以看出，当价格变化存在自相关性时，式(5-2)将会低估VaR。第46页/共61页4848/64/645.6 VaR中的参数选择T=1T=2T=5T=10T=50T=25001.01.412.243.167.0715.810.051.01.452.333.317.4316.620.11.01.482.423.467.8017.470.21.01.552.623.798.6219.35表5-1 当存在一阶自
24、相关性时T天VaR与1天VaR的比率第47页/共61页4949/64/645.7 后验分析将VaR与实际损失进行对照的过程，称为后验分析（backtesting analysis）。如果我们计算了持有期为1天、置信度为99的VaR，则首先要找出组合每天的损失中有多少次超过了这一VaR值，并将超过的情形称为exception。如果exception出现的天数占整体天数的1左右，则说明VaR计算模型表现良好。第48页/共61页5050/64/645.7 后验分析如果exception的比例较大，说明VaR值偏低，而这将导致资本金数量偏低。如果exception的比例较小，说明VaR值偏高，而这将导
25、致资本金数量偏高。一般的，如果VaR的持有期为1天，置信度为X%，如果VaR模型准确无误，则损失超出VaR的概率应为p=1-X%假定共有n个观察日，其中有m天的损失超出VaR第49页/共61页5151/64/645.7 后验分析假定m/n p，说明VaR估计偏低，但我们是否应该拒绝这一VaR计算模型？正式的统计检验：H0：对于任意一天，exception发生的概率为pH1：对于任意一天，exception发生的概率大于p损失超过VaR的天数大于等于m的概率为：(5-3)第50页/共61页5252/64/645.7 后验分析假设该检验所选定的检验水平为5如果由式(5-3)所计算的概率小于5，则可
26、以拒绝H0，即可以认为exception发生的概率大于p，从而拒绝该VaR计算模型。反之不能拒绝。第51页/共61页5353/64/645.7 后验分析ExampleExample采用600天的数据来计算VaR，置信度为99%，在600天中共发现了9个exception。Exception期望发生次数为6，是否该拒绝这一VaR计算模型？计算大于等于9个exception发生概率的Excel命令：1BINOMDIST(8,600,0.01,TRUE)=0.152第52页/共61页5454/64/645.7 后验分析如果采用5的检验水平，则不应该拒绝该模型。假如我们发现exception的次数为1
27、2，则可计算出exception大于等于12的概率为0.020，若再采用5的检验水平，就应该拒绝该模型。实际上，若采用5的检验水平，当exception次数超出11次时，就应该拒绝该VaR计算模型。第53页/共61页5555/64/645.7 后验分析当exception的个数m小于理论值时，可以将式(5-3)改为：其它步骤与m大于理论值的情况相同(5-4)第54页/共61页5656/64/645.7 后验分析上述检验均为单尾检验，Kupiec提出双尾检验：变量：服从自由度为1的卡方分布，即2(1)当基于实际数据的式(5-4)值大于给定置信度的2(1)分布的理论值时，可以拒绝该VaR模型。(5
28、-4)第55页/共61页5757/64/645.7 后验分析独立性检验独立性检验当投资组合每天的价格变化独立，那么exception的发生应该比较均匀地分布在样本区间内。现实中，exception的发生往往聚集在一起Christofferson（1998）提出了检验VaR独立性的方法第56页/共61页5858/64/645.7 后验分析ChristoffersonChristofferson独立性检验独立性检验状态0：某一天没有exception发生状态1：某一天 有 exception 发生uij：在某天我们处于状态i且在第二天处于状态j的次数第57页/共61页5959/64/645.7 后验分析定义统计量C：其中：(5-5)第58页/共61页6060/64/645.7 后验分析当组合价格的每天变化都独立时，统计量C服从自由度为1的卡方分布。当基于实际数据的式(5-5)值大于给定检验水平的2(1)分布的理论值时，可以拒绝价格变化独立的原假设。第59页/共61页第60页/共61页