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1、三、隐函数存在定理定理18.1 若满足下列条件:函数在以为内点的某一区域上连续;(满足初始条件);在内存在连续的偏导数则在的某邻域内,方程惟一地确定了一个定义在某区间内的函数(隐函数)使得时且在内连续.第1页/共20页隐函数存在性定理的四个条件:函数在以为内点的某一区域上连续;(满足初始条件);在内存在连续的偏导数注：(1)定理的条件是充分的，但不必要.例方程 在(0,0)的邻域内不满足4），但仍能确定出隐函数(2)条件3)和4)可减弱为“在的邻域内关于严格单调”.(3)若将3)和4)改为3)在D内有连续的偏导数4)则方程可确定唯一的连续函数 第2页/共20页例1已知方程由于及其偏导数在平面上
2、任一点都连续，且由隐函数存在定理唯一性性定理，方程确定了一个定义在上的连续函数第3页/共20页例2讨论方程能否在原点某邻域内确定隐函数解:设由于及其偏导数都在原点的邻域连续，且由隐函数存在唯一性定理，方程确定了一个定义在原点某邻域隐函数第4页/共20页例3讨论方程能否在原点某邻域内确定隐函数解:设由于及其偏导数都在原点的邻域连续，且但故无法根据存在唯一性定理得到结论性的结果.第5页/共20页四、隐函数可微性定理定理2 若满足定理1的四个条件,又在D上存在连续的偏导数则由方程确定的隐函数在内有连续的导数,且(可直接对方程可直接对方程两边求全微两边求全微,得得进而可求其导数进而可求其导数.）证明思
3、路证明思路:设方程设方程(1)确定的隐函数为确定的隐函数为与与都属于都属于对应的函数值对应的函数值与与都属于都属于第6页/共20页(可直接对方程可直接对方程两边求全微两边求全微,得得进而可求得上述公式）进而可求得上述公式）证明思路证明思路:设方程设方程(1)确定的隐函数为确定的隐函数为与与都属于都属于对应的函数值对应的函数值与与都属于都属于则则其中其中(由二元函数中值定理由二元函数中值定理)注意到注意到的连续性的连续性,令令取极限即可得结论取极限即可得结论.第7页/共20页解解令令则则第8页/共20页例4设方程由于及其偏导数在平面上任一点都连续，且由隐函数存在定理与隐函数可微性定理，方程确定了
4、一个定义在上的连续可导函数且第9页/共20页例5讨论方程能否在原点某邻域内确定隐函数解:设由于及其偏导数都在原点的邻域连续，且由隐函数存在唯一性定理，方程确定了一个定义在原点某邻域连续且可微的隐函数且第10页/共20页解解令令则则均连续。均连续。第11页/共20页函数的一阶和二阶导数为函数的一阶和二阶导数为第12页/共20页例例6 讨论笛卡儿叶形线讨论笛卡儿叶形线所确定的隐函数所确定的隐函数的一阶与二阶导数。的一阶与二阶导数。第13页/共20页例例6 讨论笛卡儿叶形线讨论笛卡儿叶形线所确定的隐函数所确定的隐函数的一阶与二阶导数。的一阶与二阶导数。解：解：曲线在曲线在处的点，方程能确定隐函数处的
5、点，方程能确定隐函数曲线曲线上上的点为的点为两边对两边对x求导，得求导，得由此解得由此解得（1）(1)式两边对式两边对x求导，得求导，得（2）第14页/共20页由此解得由此解得将（将（2）代入，化简后得）代入，化简后得注意到注意到得得第15页/共20页定理18.3 若(i)函数在以点为内点的区域上连续;(ii)(iii)在内存在且连续;(iv)则在点的某邻域内,方程了一个定义在的某邻域内的唯一确定元连续函数(隐函数)使得当时,且在内有连续偏导数:而且第16页/共20页例7 讨论方程（13）在原点的附近所确定的函数及其偏导数.解:由于且各偏导函数处处连续,又由隐函数定理18.3,在原点附近能唯一
6、确定连续可微的隐函数且第17页/共20页五、反函数的存在性与其导数五、反函数的存在性与其导数隐函数存在唯一性定理:函数在以为内点的某一区域上连续;(满足初始条件);在内存在连续的偏导数则在的某邻域内,方程惟一地确定了一个定义在某区间内的函数(隐函数)例例4 设函数设函数在在的某邻域内有连续的导数的某邻域内有连续的导数且且问题：问题：（1）函数在在的某邻域内存在反函数的条件是什么的某邻域内存在反函数的条件是什么?（2）反函数的导数？解：解：令令则则隐函数存在定理的条件 1），2），3）.第18页/共20页例例4 设函数设函数在在的某邻域内有连续的导数的某邻域内有连续的导数且且问题：问题：（1）函数在在的某邻域内反函数的条件是什么的某邻域内反函数的条件是什么?（2）反函数的导数？解：解：令令则则隐函数存在定理的条件 1），2），3）.若若则方程则方程在在的某邻域内确定隐函数的某邻域内确定隐函数就是函数就是函数的反函数的反函数.而而即为即为且且第19页/共20页感谢您的观看！第20页/共20页