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1、(一)、向量组的线性组合1。向量组：2。向量组的线性组合与线性表示定义1 对于向量组a1，a2，am，如果有一组数k1，k2，km，使 bk1a1k2a2 kmam，则称向量b是向量组a1，a2，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，am线性表示。定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组第1页/共29页例1设 a1(1,0,0)，a2(0,1,0)，a3(0,0,1)，则 b(2,-1,1)是向量组a1，a2，a3的一个线性组合，也就是b可由a1，a2，a3线性表示。b2a1-a2a32(1,0,0)-(0,1,0)(0,0,1)(2,-1,1)，定义1对于向量组a
2、1，a2，am，如果有一组数k1，k2，km，使 bk1a1k2a2 kmam，则称向量b是向量组a1，a2，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，am线性表示。下页注意：（1）向量组a1，a2，a3 的线性组合有无穷多个（2）一个向量b有可能可由向量组a1，a2，a3 的线性表示；也有可能不能由向量组a1，a2，a3 的线性表示。第2页/共29页 例2任何一个n维向量a(a1,a2,an)T都是n维向量组e1(1,0,0)T，e2(0,1,0)T，en(0,0,1)T的线性组合。这是因为aa1e1 a2e2 an en。向量组e1，e2，en称为n维单位向量组或n维基本向量组下页定
3、义1对于向量组a1，a2，am，如果有一组数k1，k2，km，使 bk1a1k2a2 kmam，则称向量b是向量组a1，a2，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，am线性表示。结论：任何一个n维向量a(a1,a2,an)都可由n维单位向量组或n维基本向量组线性表示第3页/共29页4例：设那么线性组合的系数e1,e2,e3的线性组合一般地，对于任意的 n 维向量b，必有第4页/共29页5n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量第5页/共29页例3零向量是任何一组向量的线性组合。下页定义1对于向量组a1，a2，am，如果有一组数k1，k2，km，使 bk1a1k2a2 k
4、mam，则称向量b是向量组a1，a2，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，am线性表示。例4向量组a1，a2，am中的任一向量i(1im)都是此向量组的线性组合。注意：对k1，k2，km未加任何限制；特别是未限制k1，k2，km不全为零。这是因为o=0a1 0a2 0 am这是因为ai0a1 1ai 0 am。第6页/共29页 定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2，xm为未知量的线性方程组 x1a1 x2a2 xm am b有解。讨论：上述线性方程组在什么情况下有解？提示：线性方程组 x1a1 x2a2 xm am b有解的充分必
5、要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，即矩阵(a1 a2 am)与矩阵(a1 a2 am b)的秩相等。下页3。b可由a1，a2，am线性表示的判定方法：a11x1 a12x2 a1mxm b1a21x1 a22x2 a2mxm b2an1x1 an2x2 anmxm bn x1a1 x2a2 xm am b 第7页/共29页定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2，xm为未知量的线性方程组 x1a1 x2a2 xm am b有解。推论：下页3。b可由a1，a2，am线性表示的判定方法：（1）n维列向量b可由n维列向量组a1，a2，am线性表示秩
6、(a1 a2 am)=秩(a1 a2 am b)定理 n维行向量b可由n维行向量组a1，a2，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2，xm为未知量的线性方程组 x1a1T x2a2T xm amT bT有解。（2）n维行向量b可由n维行向量组a1，a2，am线性表示秩(a1T a2 T amT)=秩(a1T a2T amT bT)第8页/共29页例5设判断向量b是否为向量组a1，a2，a 的线性组合。若是，写出表示式。解：设x1a1x2a2 xab由此可得线性方程组解此线性方程组第9页/共29页增广矩阵（a1a2ab）因为线性方程组有解，所以b可由a1，a2，a线性表示又因解为x1，x2，
7、x所以b a1a2 a第10页/共29页 例6判断向量b1(4,3,-1,11)T与b2(4,3,0,11)T是否各为向量组a1(1,2,-1,5)T，a2(2,-1,1,1)T的线性组合。若是，写出表示式。解：(1)考虑线性方程组x1a1x2a2 b1。因为 2-1 3-1 1-1 5 1 11 1 2 4 (a1 a2 b1)0-5-5 0 3 3 0-9-9 1 2 4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 4秩(a1 a2 b1)秩(a1 a2)，所以b1可由a1，a2线性表示。因为线性方程组的解为x12，x21，所以使2a1a2 b。0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
8、2，下页第11页/共29页 例6判断向量b1(4,3,-1,11)T与b2(4,3,0,11)T是否各为向量组a1(1,2,-1,5)T，a2(2,-1,1,1)T的线性组合。若是，写出表示式。解：(2)考虑线性方程组x1a1x2a2 b2。因为 2-1 3-1 1 0 5 1 11 1 2 4 (a1 a2 b2)0-5-5 0 3 4 0-9-9 1 2 4 0 1 1 0 3 4 0 0 0 1 2 4秩(a1 a2 b2)秩(a1 a2)，所以b2不能由a1，a2线性表示。0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 2 4，下页第12页/共29页 例7设向量a1(1,2,3)，a2(0,1
9、,4)，a3(2,3,6)b(-1,1,5)，证明b由向量组a1，a2，a3线性表示并写出具体的表示式。解：考虑线性方程组x1a1Tx2a2T x3a3T bT。因为(a1T a2Ta3T bT)秩(a1T a2Ta3T bT)秩(a1T a2Ta3T)，所以b可由a1，a2，a3线性表示。因为线性方程组的解为x11，x22，x3-1，所以b a12a2-a3 第13页/共29页14例：设证明向量 b 能由向量组 a1,a2,a3 线性表示，并求出表示式解：向量 b 能由 a1,a2,a3 线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量 b 能由 a1,a2,a
10、3 线性表示第14页/共29页15行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以 b=(3c+2)a1+(2c1)a2+c a3 第15页/共29页16结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应向量b 能由向量组 A线性表示线性方程组 Ax=b 有解P.83 定理1 的结论：第16页/共29页17定义：设有向量组 A：a1,a2,am 及 B：b1,b2,bl，若向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价 4。向量组的等价 第17页/共29页例1向量组a1=(1,2)T，a2=(1,1)T
11、，a3=(2,3)T可以由基本向量组e1(1,0)T，e2(0,1)T 线性表示；同时因为向量组e1(1,0)T=-a1 T+2a2 T，e2(0,1)T=a1 T-a2T，即向量组e1，e2可由向量组a1，a2，线性表示；所以向量组a1，a2与向量组e1，e2等价第18页/共29页19设有向量组 A：a1,a2,am 及 B：b1,b2,bl，若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即线性表示的系数矩阵第19页/共29页21若 Cmn=Aml Bln，即则结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B 为这一线性表示的系数矩阵第21页/共29页22若 Cmn=Aml Bln，
12、即则结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A 为这一线性表示的系数矩阵第22页/共29页23口诀：左行右列定理：设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.结论：若 C=AB，那么p矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵（A 在左边）p矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵（B 在右边）第23页/共29页24A 经过有限次初等列变换变成 B存在有限个初等矩阵P
13、1,P2,Pl，使 AP1 P2,Pl=B存在 m 阶可逆矩阵 P，使得 AP=B矩阵 B 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价矩阵 B 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 同理可得 口诀：左行右列.把 P 看成是线性表示的系数矩阵第24页/共29页25向量组 B：b1,b2,bl 能由向量组 A：a1,a2,am 线性表示存在矩阵 K，使得 AK=B 矩阵方程 AX=B 有解 R(A)=R(A,B)（P.84 定理2）R(B)R(A)（P.85 定理3）推论：向量组 A：a1,a2,am 及 B：b1,b2,bl 等价的充分必要条件是 R(A)=R(B)=R(A,B)证明：向量组 A 和
14、B 等价 向量组 B 能由向量组 A 线性表示 向量组 A 能由向量组 B 线性表示从而有R(A)=R(B)=R(A,B)因为 R(B)R(A,B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)第25页/共29页26n 阶单位矩阵的列向量叫做 n 维单位坐标向量设有nm 矩阵 A=(a1,a2,am)，试证：n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的充分必要条件是R(A)=n 分析：n 维单位坐标向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示R(A)=R(A,E)R(A)=n （注意到：R(A,E)=n 一定成立）第26页/共29页27小结向量 b 能由向量组 A线性表示线性方程组 Ax=b 有解向量组 B 能由向量组 A线性表示矩阵方程组AX=B 有解向量组 A 与向量组 B等价第27页/共29页28知识结构图n维向量向量组向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的等价判定定理及必要条件判定定理第28页/共29页感谢您的观看！第29页/共29页