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1、2.3.2 离散型随机变量的方差(建议用时：40分钟)考点对应题号根底训练能力提升1.方差与标准差的计算1,7,102.两点分布与二项分布的方差2,3,5,6,89,123.均值、方差的实际应用411,13一、选择题1随机变量X的分布列为X135P0.40.1x那么X的方差为()A3.56BC3.2DA解析根据随机变量分布列的性质，知0.40.1x1，所以x0.5，所以E(X)0.40.32.53.2，D(X)2.220.40.220.11.820.53.56.应选A项2设一随机试验的结果只有A和，且P(A)m，令随机变量X那么X的方差D(X)()AmB2m(1m)Cm(m1)Dm(1m)D解
2、析显然X服从两点分布，D(X)m(1m)应选D项3设导弹发射的事故率为0.01，假设发射10次，其出事故的次数为，那么以下结论正确的选项是()AE()0.001BD()0.099CP(k)0.01k0.9910kDP(k)C0.99k0.0110kB解析由于B(10,0.01)，那么P(k)C0.01k0.9910k，E()100.010.1，D()100.010.990.099，所以A，C，D项均错误应选B项4. 由以往的统计资料说明，甲、乙两名运发动在比赛中的得分情况如表所示.X1(甲得分)012P0.20.50.3X2(乙得分)012P0.30.30.4现有一场比赛，应派哪位运发动参加较
3、好()A甲B乙 C甲、乙均可D无法确定A解析E(X1)E(X2)1.1, D(X1)1.120.20.120.50.920.30.49，D(X2)1.120.30.120.30.920.40.69，所以D(X1)D(X2)，即甲比乙得分稳定，派甲运发动参加较好5假设随机变量X1B，X2B(6，p)，X3B(n，p)，且E(X1)2，D(X2)，那么的值是()AB CDC解析由题意得解得所以X3B，所以D(X3)10.所以.6某居民小区有两个相互独立的平安防范系统(简称系统)甲和乙，系统甲和系统乙在任意时刻发生故障的概率分别为和p，假设在任意时刻至多有一个系统发生故障的概率为.设系统乙在3次相互
4、独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，方差D()( )AB CDA解析记“系统甲发生故障“系统乙发生故障分别为事件A，B，“任意时刻至多有一个系统发生故障为事件C，那么P(C)1P(AB)1P(A)P(B)1p，所以p.依题意得B，那么D()3.二、填空题7随机变量的取值为0,1,2.假设P(0)，E()1，那么D()_. 解析设P(1)x，P(2)y，那么解得所以D()(01)2(11)2(21)2.答案8设XB(10,0.8)，那么D(2X1)_.解析D(2X1)4D(X)4100.80.26.4.答案6.49假设随机事件A在一次试验中发生的概率为p(0p2)；(2)记求的数学期望与方差
5、解析(1)记“12为事件A，(1，2)的取值共有10种情况，满足12的(1，2)的取值有4种情况，分别为(3,2)，(4,2)，(5,2)，(5,4)，所以P(A).(2)随机变量的取值为2,3,4,5，那么的分布列是2345P所以E()2345，D()22221.010.11根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示.降水量XX300300X700700X900X900工期延误天数Y02610假设历史气象资料说明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求工期延误天数Y的方差解析由条件和概率的加法公式知P(X300)
6、0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P(X900)1P(X900)10.90.1.所以随机变量Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1故E(Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延误天数Y的方差为9.8.12一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如下图将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量
7、都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X)解析(1)设事件A1表示“日销售量不低于100个，事件A2表示“日销售量低于50个，事件B表示“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率分别为P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288，P
8、(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216.X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6)，所以数学期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.四、选做题13A，B两个投资工程的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个工程上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资工程A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0x100)万元投资A工程，100x万元投资B工程，f(x)表示投资A工程所得利润的方差与投资B工程所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值解析(1)Y1，Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3所以E(Y1)50.8100.26，D(Y1)(56)20.8(106)20.24；E(Y2)20.280.5120.38，D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.(2)由题意及方差的性质可得f(x)2D(Y1)2D(Y2)(x2150x7 500)(x75)23，所以当x75时，f(x)取得最小值3.