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1、.word.共共 138138 页页电磁场与电磁波第四版课后答案电磁场与电磁波第四版课后答案第一章习题解答第一章习题解答1.11.1 给定三个矢量A、B和C如下：23xyzAeee4yz Bee52xzCee求：1Aa；2AB；3A B；4AB；5A在B上的分量；6A C；7()A B C和()AB C；8()ABC和()AB C。解解12222312314141412(3)xyzAxyz eeeAaeeeA2AB(23)(4)xyzyz eeeee6453xyzeee3A B(23)xyzeee(4)yzee114由cosAB11111417238 A BA B，得1cosAB11()135
2、.52385A在B上的分量BA AcosAB1117 A BB6A C123502xyzeee41310 xyzeee7由于B C041502xyzeee8520 xyzeeeA B123041xyzeee1014xyzeee所以()A B C(23)xyzeee(8520)42xyz eee()A B C(1014)xyzeee(52)42xz ee8()ABC1014502xyzeee2405xyzeee.word.()AB C1238520 xyzeee554411xyzeee1.21.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P、2(4,1,3)P和3(6,2,5)P。1判断123PP P
3、是否为一直角三角形；2求三角形的面积。解解1三个顶点1(0,1,2)P、2(4,1,3)P和3(6,2,5)P的位置矢量分别为12yzree，243xyzreee，3625xyzreee那么12214xzRrree，233228xyzRrreee，311367xyz Rrreee由此可见1223(4)(28)0 xzxyzRReeeee故123PP P为一直角三角形。2三角形的面积12231223111176917.13222S RRRR1.1.3 3 求(3,1,4)P 点到(2,2,3)P点的距离矢量R及R的方向。解解34Pxyz reee，223Pxyzreee，那么53P PPPxyz
4、Rrreee且P PR与x、y、z轴的夹角分别为115cos()cos()32.3135xP PxP Pe RR113cos()cos()120.4735yP PyP PeRR111cos()cos()99.7335zP PzP Pe RR1.1.4 4 给定两矢量234xyzAeee和456xyzBeee，求它们之间的夹角和A在B上的分量。解解A与B之间的夹角为1131cos()cos()1312977ABA BA BA在B上的分量为313.53277BA BAB1.1.5 5 给 定 两 矢 量234xyzAeee和64xyz Beee，求A B在xyzCeee上的分量。解解A B2346
5、41xyzeee132210 xyzeee所以A B在C上的分量为()CAB()2514.433 AB CC.word.1.1.6 6 证明：如果A B A C和A BA C，那么BC；解解由A BA C，那么有()()AABAA C，即()()()()A B AA A BA C AA A C由于A B A C，于是得到()()A A BA A C故BC1.1.7 7 如果给定一未知矢量与一矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一矢量，p A X而PAX，p和P，试求X。解解由PAX，有()()()()pAPAAXA X AA A XAA A X故得pAAPXA A1.1.8
6、8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,3)3定出，求该点在：1直角坐标中的坐标；2球坐标中的坐标。解解1在直角坐标系中4cos(23)2x、4sin(23)2 3y、3z 故该点的直角坐标为(2,2 3,3)。2在球坐标系中22435r、1tan(4 3)53.1、23120故该点的球坐标为(5,53.1,120)1.1.9 9 用球坐标表示的场225rrEe，1求在直角坐标中点(3,4,5)处的E和xE；2 求在直角坐标中点(3,4,5)处E与矢量22xyzBeee构成的夹角。解解1在直角坐标中点(3,4,5)处，2222(3)4(5)50r ，故22512rrEe133 2cos2205
7、2xxrxE e EE2在直角坐标中点(3,4,5)处，345xyz reee，所以23345252510 2xyzrreeerE故E与B构成的夹角为1119(10 2)cos()cos()153.63 2EBE BE B1.1.1010 球坐标中两个点111(,)r 和222(,)r 定出两个位置矢量1R和2R。证明1R和2R间夹角的余弦为121212coscoscossinsincos()解解由111111111sincossinsincosxyzrrrReee222222222sincossinsincosxyzrrrReee得到1212cosR RR R.word.1122112212
8、sincossincossinsinsinsincoscos121211212sinsin(coscossinsin)coscos121212sinsincos()coscos1.1.1111 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：(3sin)drSeS的值。解解(3sin)d(3sin)drrrSSSeSee22200d3sin5 sind751.1.1212 在由5r、0z 和4z 围成的圆柱形区域，对矢量22rzrzAee验证散度定理。解解在圆柱坐标系中21()(2)32rrzrr rzA所以425000ddd(32)d1200zrrrA又2d(2)(ddd)rzrrzzSSrzSSS
9、ASeeeee4 25 220 00 055dd24 d d1200zrr 故有d1200AdSAS1.1.1313 求1矢量22222324xyzxx yx y zAeee的散度；2求 A对中心在原点的一个单位立方体的积分；3求A对此立方体外表的积分，验证散度定理。解解12222232222()()(24)2272xx yx y zxx yx y zxyzA2 A对中心在原点的一个单位立方体的积分为1 21 21 222221 21 21 21d(2272)d dd24xx yx y zxy z A3A对此立方体外表的积分1 21 21 21 2221 21 21 21 211d()dd()
10、dd22Sy zy z AS1 21 21 21 222221 21 21 21 2112()d d2()d d22xx zxx z 1 21 21 21 22232231 21 21 21 211124()d d24()d d2224x yx yx yx y 故有1d24AdSAS1.1.1414 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球外表的积分，并求 r对球体积的积分。.word.解解22300dddsind4rSSSaaarSr e又在球坐标系中，221()3r rrrr，所以2230 0 0d3sind dd4arra r1.1.1515求矢量22xyzxxy zAeee沿xy平面上
11、的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解解222220000ddd2 d0d8CxxxxyyAl又2222xyzxzyzxxyzxxy zeeeAee所以2 20 0d(22)d d8xzzSyzxxyASeee故有d8CAldS AS1.1.1616 求矢量2xyxxyAee沿圆周222xya的线积分，再计算A对此圆面积的积分。解解2dddCCxxxyyAl2424220(cos sincossin)d4aaad()dyxzzSSAASxyASee242220 0dsindd4aSaySrrr 1.1.17
12、17 证明：13R；2R0；3()A RA。其中xyzxyzReee，A为一常矢量。解解13xyzxyzR2xyzxyzxyyeeeR03设xxyyzzAAAAeee，那么xyzA xA yA zA R，故()()()xxyzyxyzA xA yA zA xA yA zxyA Ree()zxyzA xA yA zzexxyyzzAAAeeeA1.1.1818 一径向矢量场()rf rFe表示，如果0F，那么函数()f r会有什么特点呢？.word.解解在圆柱坐标系中，由1 d()0drf rrrF可得到()Cf rrC为任意常数。在球坐标系中，由221 d()0dr f rrrF可得到2()C
13、f rr1.1.1919 给定矢量函数xyyxEee，试求从点1(2,1,1)P到点2(8,2,1)P的线积分dEl：1沿抛物线2xy；2沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？解解1dddxyCCExEyElddCyxxy2221d(2)2dyyyy2216d14yy 2连接点1(2,1,1)P到点2(8,2,1)P直线方程为2812xxyy即640 xy故21dddd(64)(64)dxyCCExEyyyyyEl21(124)d14yy由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.1.2020 求标量函数2x yz的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量345505050 xyzeee定
14、出；求(2,3,1)点的方向导数值。解解222()()()xyzx yzx yzx yzxyzeee222xyzxyzx zx yeee故沿方向345505050lxyzeeee的方向导数为22645505050lxyzx zx yl e点(2,3,1)处沿le的方向导数值为36166011250505050l1.1.2121试 采 用 与 推 导 直 角 坐 标 中yxzAAAxyzA相似的方法推导圆柱坐标下的公式rrzoxyrzz题 1.21 图.word.1()zrAArAr rrzA。解解在圆柱坐标中，取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场A沿re方向穿出该六面体的外表的通量为()d
15、 dd dzzzzrrrrrrzzArrrArr ()(,)(,)rrrr A rrzrA rzz ()()1rrrArArzrrr 同理d dd drr zzrr zzrzrzArzArz (,)(,)A rzA rzr z AArzr d dd drrrrzzzzzzrrArrArr (,)(,)zzA rzzA rz r rz zzAAr rzzz 因此，矢量场A穿出该六面体的外表的通量为()1rzrzArAArrrz故得到圆柱坐标下的散度表达式0()1limrzArAArrrz A1.1.2222 方程222222xyzuabc给出一椭球族。求椭球外表上任意点的单位法向矢量。解解由于2
16、22222xyzxyzuabc eee2222222()()()xyzuabc故椭球外表上任意点的单位法向矢量为222222222()()()()xyzuxyzxyzabcabcuneee1.1.2323 现有三个矢量A、B、C为sincoscoscossinrAeee22sincos2sinrzzzrzBeee22(32)2xyzyxxzCeee1 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？.word.2求出这些矢量的源分布。解解1在球坐标系中22111()(sin)sinsinrAr AArrrrA22111(sincos)(sincoscos)(sin)
17、sinsinrrrrr2cos2sincoscossincos0sinsinrrrr2sin1sinsinrrrrrrArArAeeeA2sin10sinsincoscoscossinsinrrrrrrreee故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中11()zrBBrBrrrzB=2211(sin)(cos)(2sin)rzzrzrrrz22sinsin2 sin2 sinzzrrrr22110sincos2sinrzrzrzrrrrzrrzBrBBzrzrzeeeeeeB故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中yxzCCCxyzC=2
18、2(32)()(2)0yxxzxyz22(26)322xyzzxyxyzyxxzeeeCe故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。.word.2这些矢量的源分布为0A，0A；2 sinr B=，0B；0C，(26)zxyCe1.1.2424 利用直角坐标，证明()fffAAA解解在直角坐标中()()yxzxyzAAAffffffAAAxyzxyz AA()()()yxzxyzAAAffffAfAfAxxyyzz()()()()xyzfAfAfAfxyz A1.1.2525 证明()AHHAAH解解根据算子的微分运算性质，有()()()AHAHAHAH式中A表示只对矢量A作微分运算，H表示只对矢量
19、H作微分运算。由()()a b cc a b，可得()()()AA AHHAHA同理()()()HH AHAHAH故有()AHHAAH1.1.2626 利用直角坐标，证明()fff GGG解解在直角坐标中()()()yyxxzzxyzGGGGGGffyzzxxyGeeef G()()()xzyyxzzyxffffffGGGGGGyzzxxyeee所以ff GG()()yzxzyGGffGfGfyyzze()()xzyxzGGffGfGfzzxxe()()yxzyxGGffGfGfxxyye()()yzxfGfGyze()()xzyfGfGzxe()()yxzfGfGxye()fG.word.1
20、.1.2727 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明()0u 及()0 A，试证明之。解解1对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有()dddd0SCCCuuululSl由于曲面S是任意的，故有()0u 2对于任意闭合曲面S为边界的体积，由散度定理有12()d()d()d()dSSS AASASAS其中1S和2S如题 1.27 图所示。由斯托克斯定理，有11()ddSCASAl，22()ddSCASAl由题 1.27 图可知1C和2C是方向相反的同一回路，那么有12ddCC AlAl所以得到1222()ddddd0CCCC AAlAlAlAl由于体积是任意的，故有(
21、)0 A第二章习题解答第二章习题解答2 2.1 1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为4 32 30049U dx，式中阴极板位于0 x，阳极板位于xd，极间电压为0U。如果040VU、1cmd、横截面210cmS，求：10 x 和xd区域内的总电荷量Q；22xd和xd区域内的总电荷量Q。解解14 32 30004d()d9dQU dxSx 110044.72 10C3U Sd 24 32 30024d()d9ddQU dxSx 1100341(1)0.97 10C32U Sd 2 2.2 2 一个体密度为732.32 10C m的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内
22、的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。解解质子的质量271.7 10kgm、电量191.6 10Cq。由212mvqU得621.37 10vmqUm s故0.318Jv2A m26(2)10IJdA2 2.3 3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度1n1C2C2S1S2n题 1.27 图.word.绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解解以球心为坐标原点，转轴一直径为z轴。设球内任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为，那么P点的线速度为sinrvre 球内的电荷体密度为343Qa故333sinsin434QQrraaJvee2 2.
23、4 4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球外表的面电流密度。解解以球心为坐标原点，转轴一直径为z轴。设球面上任一点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为，那么P点的线速度为sinavre 球面的上电荷面密度为24Qa故2sinsin44SQQaaaJvee2 2.5 5 两点电荷18Cq 位于z轴上4z 处，24Cq 位于y轴上4y 处，求(4,0,0)处的电场强度。解解电荷1q在(4,0,0)处产生的电场为111330014424(4 2)xzqeerrErr电荷2q在(4,0,0)处产生的电场为222330024414(4 2)xyq eerrErr故(4
24、,0,0)处的电场为120232 2xyzeeeEEE2 2.6 6 一个半圆环上均匀分布线电荷l，求垂直于圆平面的轴线上za处的电场强度(0,0,)aE，设半圆环的半径也为a，如题 2.6 图所示。解解半圆环上的电荷元ddllla在轴线上za处的电场强度为30dd4(2)laarrE0(cossin)d8 2zxylaeee在半圆环上对上式积分，得到轴线上za处的电场强度为(0,0,)da EE题 2.6 图.word.220(cossin)d8 2lzxyaeee0(2)8 2lzxaee2 2.7 7 三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为1 l、2l和3l地线电荷构成等边三角形。设1 l
25、22l32l，计算三角形中心处的电场强度。解解建立题 2.7 图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为3tan3026LdL那么111003(cos30cos150)42llyydLEee2120033(cos30sin30)(3)28llxyxyLLEeeee3130033(cos30sin30)(3)28llxyxyLLEeeee故等边三角形中心处的电场强度为123EEEE111000333(3)(3)288lllyxyxyLLLeeeee1034lyLe2 2.8 8点电荷q位于(,0,0)a处，另点电荷2q位于(,0,0)a处，空间有没有电场强度0E的点？解解电荷q在(,)x y z处
26、产生的电场为1222 3 20()4()xyzxayzqxayzeeeE电荷2q在(,)x y z处产生的电场为2222 3 20()24()xyzxayzqxayz eeeE(,)x y z处的电场那么为12EEE。令0E，那么有222 3 2()()xyzxayzxayzeee222 3 22()()xyzxayzxayzeee由上式两端对应分量相等，可得到222 3 2222 3 2()()2()()xaxayzxaxayz222 3 2222 3 2()2()y xayzy xayz222 3 2222 3 2()2()z xayzz xayz当0y 或0z 时，将式或式代入式，得0a
27、。所以，当0y 或0z 时无解；当0y 且0z 时，由式，有33()()2()()xa xaxa xa解得(32 2)xa 题 2.7 图.word.但32 2xaa 不合题意，故仅在(32 2,0,0)aa处电场强度0E。2 29 9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的z轴上0zz 处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为03z的圆内的电荷产生的。解解半径为r、电荷线密度为dlr的带电细圆环在z轴上0zz 处的电场强度为022 3 200dd2()zr zrrzEe故整个导电带电面在z轴上0zz 处的电场强度为0022 3 222 1 20000000d12()2(
28、)2zzzr zrzrzrzEeee而半径为03z的圆内的电荷产生在z轴上0zz 处的电场强度为00330022 3 222 1 20000000d112()2()42zzzzzr zrzrzrzEeeeE2.102.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题 2.10 图所示。求球心处的磁感应强度B。解解球面上的电荷面密度为24Qa当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量rare点处的电流面密度为SzraJv reesinsin4Qaaee将球面划分为无数个宽度为ddla的细圆环，那么球面上任一个宽度为ddla细圆环的电流为ddsind4SQIJ
29、l细圆环的半径为sinba，圆环平面到球心的距离cosda，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，那么该细圆环电流在球心处产生的磁场为2022 3 2dd2()zbIbdBe23022223 2sind8(sincos)zQaaa e30sind8zQa e故整个球面电流在球心处产生的磁场为3000sind86zzQQaa Bee2.112.11 两个半径为b、同轴的一样线圈，各有N匝，相互隔开距离为d，如题2.11 图所示。电流I以一样的方向流过这两个线圈。1求这两个线圈中心点处的磁感应强度xxBBe；2证明：在中点处ddxBx等于零；题 2.10 图.word.3求出b与d之间的关系，使中点处2
30、2ddxBx也等于零。解解1由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度2022 3 22()zIaazBe得到两个线圈中心点处的磁感应强度为20223 2(4)xNIbbdBe2两线圈的电流在其轴线上x)0(dx 处的磁感应强度为220022 3 222 3 22()2()xNIbNIbbxbdxBe所以220022 5 222 5 2d33()d2()2()xBNIb xNIb dxxbxbdx 故在中点2dx 处，有2200225 2225 2d32320d2424xBNIb dNIb dxbdbd 3222200222 7 222 5 2d153d2()2()xBNIb xNIbxbxbx222
31、0022 7 222 5 215()32()2()NIb dxNIbbdxbdx令0dd222dxxxB，有041445252227222dbdbd即445222dbd故解得bd 2.122.12 一条扁平的直导体带，宽为a2，中心线与z轴重合，通过的电流为I。证明在第一象限内的磁感应强度为04xIBa，021ln4yIrBar式 中、1r和2r如题 2.12 图所示。解解将导体带划分为无数个宽度为xd的细条带，每一细条带的电流xaIId2d。由安培环路定理，可得位于x处的细条带的电流Id在点),(yxP处的磁场为00ddd24IIxBRaR022 1 2d4()Ixa xxy那么022ddd
32、sin4()xIyxBBa xxy 022()dddcos4()yI xxxBBa xxy所以题 2.11 图题 2.12 图.word.题 2.13 图022d4()axaIyxBa xxy 0arctan4aaIxxay0arctanarctan4Iaxaxayy 0arctanarctan4Ixaxaayy021()4Ia04Ia022()d4()ayaI xxxBa xxy220ln()8aaIxxya22022()ln8()Ixayaxay021ln4Irar2 2.1313如题 2.13 图所示，有一个电矩为1p的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为2p的电偶极子，位于矢径为r的
33、某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为121212403(sinsincos2coscos)4rp pFr式中11,r p，22,r p，是两个平面1(,)r p和2(,)r p间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？解解电偶极子1p在矢径为r的点上产生的电场为1115303()14rrp r rpE所以1p与2p之间的相互作用能为1212215303()()14eWrrp r p rp pp E因为11,r p，22,r p，那么111cosprp r222cosp rp r又因为是两个平面1(,)r p和2(,)r p间的夹角，所以有2121212()()sinsinco
34、sr p prprp另一方面，利用矢量恒等式可得1212()()()rprprprp2112()rpr p rp21212()()()rp pr pr p因此12121221()()()()()rp prprpr pr p1212sinsincosp p1212coscosp p于是得到eW12304p pr(12sinsincos122coscos)故两偶极子之间的相互作用力为.word.erq constWFr1204p p(12sinsincos122coscos)3d1()dr r124034p pr(12sinsincos122coscos)由上式可见，当120时，即两个偶极子共线时
35、，相互作用力值最大。2 2.1414 两平行无限长直线电流1I和2I，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力mF。解解无限长直线电流1I产生的磁场为0 112IrBe直线电流2I每单位长度受到的安培力为10 1 21221120d2mzI IIzd FeBe式中12e是由电流1I指向电流2I的单位矢量。同理可得，直线电流1I每单位长度受到的安培力为0 1 22112122mmI Id FFe2 2.1515 一根通电流1I的无限长直导线和一个通电流2I的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d，如题 2.15 图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为0 1 2(sec1)mFI I这里是圆环在
36、直线最接近圆环的点所 X 的角。解解无限长直线电流1I产生的磁场为0 112IrBe圆环上的电流元22dIl受到的安培力为0 1 22212ddd2myI IIxFlBle由题 2.15 图可知2d(sincos)dxza leecosxda所以201 20(sincos)d2(cos)mzxaI IdaFee201 20cosd2(cos)xaI Idae01 20 1 22222()(sec1)2xxaI IdI Iaada ee2 2.1616 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为()rpEp E。解解如题 2.16 图所示，设dqpl(d1)l，那么电偶极子p绕
37、坐标原点所受到的力矩为2211()()qq TrE rrE rdddd()()()()2222qqllllrE rrE rdddd()()d()()22222qq llllrE rE rlE rE r题 2.15 图.word.当d1l 时，有dd()()()()22llE rE rE rdd()()()()22llE rE rE r故得到(d)()d()qq TrlE rl E r()rpEpE第三章习题解答第三章习题解答3.13.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和q，试计算球赤道平面上电通密度的通量(如题 3.1 图所示)。解解由点电荷q和q共同产生的电通密度为3
38、34qRRRRD22 3 222 3 2()()4()()rzrzrzarzaqrzarzaeeee那么球赤道平面上电通密度的通量0ddzzSSSDSD e22 3 222 3 20()2d4()()aqaar rrara22 1 201(1)0.293()2aqaqqra 3.3.2 21911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为ar的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze的电子云，在球心有一正电荷ZeZ是原子序数，e是质子电荷量，通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314raZerrrDe，试证明之。解解位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为124rZerDe原子内电子云的
39、电荷体密度为333434aaZeZerr 电子云在原子内产生的电通量密度那么为32234344rrarZe rrr Dee题 2.16图qqa赤道平面题 3.1 图题 3.3 图()aabc0.word.故原子内总的电通量密度为122314raZerrrDDDe3.3.3 3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m,两圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c)(abc，如题 3.3 图()a所示。求空间各局部的电场。解解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度
40、为0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内那么具有体密度为0的均匀电荷分布，如题 3.3 图()b所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在br 区域中，由高斯定律0dSqES，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为2200120022rbbrrrEe2200120022raarr rEe点P处总的电场为2211220()2barrrrEEE在br 且ar 区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为220022rrrrEe22220022raarr rEe点P处总的电场为202220()2arrEEEr在ar 的空腔区域中，大、小圆柱中的正
41、、负电荷在点P产生的电场分别为20030022rrrrEe20030022rrr rEe点P处总的电场为003300()22EEErrc3.3.4 4 半径为a的球中充满密度()r的体电荷，电位移分布为题 3.3 图()babc0abc0abc0.word.32542()()rrArraDaAarar其中A为常数，试求电荷密度()r。解：由D，有221 d()()drrr Drr D故在ra区域23220021 d()()(54)drrrArrArrr在ra区域5420221 d()()0daAarrrrr3.53.5 一个半径为a薄导体球壳内外表涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体
42、电荷，球壳上又另充有电荷量Q。球内部的电场为4()rr aEe，设球内介质为真空。计算：1球内的电荷分布；2球壳外外表的电荷面密度。解解1由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为20021 d()dr ErrE432002441 d()6drrrrraa2球体内的总电量Q为3220040d64d4arQrraa 球内电荷不仅在球壳内外表上感应电荷Q，而且在球壳外外表上还要感应电荷Q，所以球壳外外表上的总电荷为 2Q，故球壳外外表上的电荷面密度为02224Qa3.63.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为ra和rb()ba，圆柱外表分别带有密度为1和2的面电荷。1计算各处的电位移0D；2欲使r
43、b区域内00D，那么1和2应具有什么关系？解解1由高斯定理0dSqDS，当ra时，有010D当arb时，有02122rDa，那么102rarDe当br 时，有0312222rDab ，那么1203rabrDe2令12030rabrDe，那么得到12ba 3.3.7 7 计算在电场强度xyyxEee的电场中把带电量为2 C的点电荷从点1(2,1,1)P移到点2(8,2,1)P时电场所做的功：1沿曲线22xy；2沿连接该两点的直线。解解1ddddxyCCCWqq ExEyFlEl2221ddd(2)2dCq yxxyq yyyy.word.22616d1428 10()qyyqJ 2连接点1(2,
44、1,1)P到点2(8,2,1)P直线方程为2812xxyy即640 xy故W 21ddd(64)(64)dCq yxxyq yyyy261(124)d1428 10()qyyqJ 3.83.8 长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为0l。1计算线电荷平分面上任意点的电位；2利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用 E核对。解解1建立如题 3.8 图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为202220d(,0)4LlLzrrz222020ln()4LlLzrz220220(2)2ln4(2)2lrLLrLL2200(2)2ln2lrLLr2根据对称性，可
45、得两个对称线电荷元zld0在点P的电场为0220dddcos2lrrrzErzEee022 3 20d2()lrr zrze故长为L的线电荷在点P的电场为20223 200dd2()Llrr zrzEEe202200()2Llrzrrze02204(2)lrLrrLe由 E求E，有22002(2)ln2lLrLr E2L2LPzro0l题 3.8 图.word.022220122(2)(2)lrrrLrLrLe02204(2)lrLrrLe3.93.9 无限长均匀线电荷l的电场02lrrEe，试用定义式()dPrrrEl求其电位函数。其中Pr为电位参考点。解解000()ddlnln222PPP
46、rrrlllPrrrrrrrrrEl由于是无限长的线电荷，不能将Pr选为无穷远点。3.103.10 一点电荷q位于(,0,0)a，另一点电荷2q位于(,0,0)a，求空间的零电位面。解解两个点电荷q和2q在空间产生的电位222222012(,)4()()qqx y zxayzxayz令(,)0 x y z，那么有222222120()()xayzxayz即2222224()()xayzxayz故得222254()()33xayza由此可见，零电位面是一个以点5(,0,0)3a为球心、43a为半径的球面。3.113.11 证明习题 3.2 的电位表达式为2013()()422aaZerrrrr解
47、解位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为124rZerDe电子云在原子外产生的电通量密度那么为32224344arrrZerr Dee所以原子外的电场为零。故原子内电位为230011()d()d4aarrarrZerrD rrrr2013()422aaZerrrr3.123.12 电场中有一半径为a的圆柱体，柱内外的电位函数分别为2()0()()cosrraarA rrar1求圆柱内、外的电场强度；2这个圆柱是什么材料制成的？外表有电荷分布吗？试求之。解解1由 E，可得到ra时，0 Era时，E22()cos ()cos raaA rA rrrrree.word.2222(1)cos(
48、1)sinraaAArree2该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其外表有电荷分布，电荷面密度为0002cosrr ar aA n Ee E3.133.13 验证以下标量函数在它们各自的坐标系中满足201sin()sin()hzkxly e其中222hkl；2cos()sin()nrnAn圆柱坐标；3cos()nrn圆柱坐标；4cosr球坐标；52cosr球坐标。解解1在直角坐标系中2222222xyz而22222sin()sin()sin()sin()hzhzkxly ekkxly exx 22222sin()sin()sin()sin()hzhzkxly elkxly eyy 22222
49、sin()sin()sin()sin()hzhzkxly ehkxly ezz故2222()sin()sin()0hzklhkxly e 2在圆柱坐标系中2222221()rr rrrz而11()cos()sin()nrrrnAnr rrr rr22cos()sin()nn rnAn222221cos()sin()nn rnAnr 2222cos()sin()0nrnAnzz故2032211()cos()cos()nnrrrnn rnr rrr rr 222221cos()nn rnr 2222cos()0nrnzz故204在球坐标系中22222222111()(sin)sinsinrrrrr
50、r而2222112()(cos)cosrrrrrrrrrr.word.2211(sin)sin(cos)sinsinrrr2212(sin)cossinrrr 2222222211(cos)0sinsinrrr故205222222112()(cos)cosrrrrrrrrrr22211(sin)sin(cos)sinsinrrr222412(sin)cossinrrr 22222222211(cos)0sinsinrrr故203.143.140y的空间中没有电荷，以下几个函数中哪些是可能的电位的解?1coshyex；2xeycos；32cos sinyexx4zyxsinsinsin。解解12