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1、概率论与数理统计习 题 集 35第一章 概率论的基本概念一、填空题1，在一副扑克牌（52张）中任取4张，则4张牌花色全不相同的概率为_。2，设A,B,C,D是四个事件，则四个事件至少发生一个可表示为_；四个事件恰好发生两个可表示为_。3，已知5把钥匙中有一把能打开房门，因开门者忘记是哪把能打开门，逐次任取一把试开，则前三次能打开门的概率为 _。4，10件产品中有3件次品，从中随机抽取2件，至少抽到一件次品的概率是_。5，设两个随机事件A，B互不相容，且，则_。二、选择题1，某公司电话号码有五位，若第一位数字必须是5，其余各位可以是0到9中的任意一个，则由完全不同数字组成的电话号码的个数是（ ）
2、。 A，126 B，1260 C，3024 D，50402，若,则（ ）。 A，0.4 B，0.6 C，0.8 D，0.73，在书架上任意放置10本不同的书，其中指定的三本书放在一起的概率为（ ）。 A，1/15B，3/15C，4/5D，3/54，若，则（ ）。 A，0.6 B，0.7 C，0.8 D，0.55，设为A，B任意两个随机事件，且，则下列选项必然成立的是（ ）。 A， B， C， D，三、计算题1，10个零件中有3个次品，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。2，有三箱同型号的灯泡，已知甲箱次品率为1.0%，乙箱次品率为1.5%，丙箱次品率为2%。
3、现从三箱中任取一灯泡，设取得甲箱的概率为1/2，而取得乙、丙两箱的机会相同，求取得次品的概率。若已知取出的灯泡是次品，则此灯泡是从甲箱中取出的概率是多少？3，已知，求。4，某人投篮，命中率为0.8，现独立投五次，求最多命中两次的概率。5，证明：若事件A、B、C相互独立，则事件A分别与BC，BC，B-C相互独立。6，设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别0.8，0.1，0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。求： （1） 顾客买此箱玻璃杯的概率； （2） 在顾客买的此箱玻璃杯中，恰有一只是残次品的概
4、率。 7，设一批产品中，一、二、三等品各占70%，20%，10%，从中任取一件，结果不是三等品，试求取到的是一等品的概率。8，设一盒子中有5个不同的硬币，每一个经抛掷出现字面的概率不同：，。试求（1）任取一个硬币抛掷，出现字面的概率；（2）若将同一硬币再抛一次，又出现字面的概率。9，将两种信息分别编码为0和1传送出去，由于随机干扰，接收有误，0被误收为1的概率为0.02，1被误收为0的概率为0.01，在整个传送过程中，0与1的传送次数比为7:3，试求当接收到的信息是0时，原发信息也是0的概率。10，甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，试求是甲射中的
5、概率。第二章 随机变量极其分布一、填空题1，已知随机变量XN(3,16)，且P(Xc)=P(Xc)，则c=_。2，若随机变量X服从区间（1，6）上的均匀分布，则方程有实根的概率是_。3，设随机变量X服从参数为的泊松分布，且，则_。 4，设，已知F(2.5) = 0.9938，则概率P(9.95X10.05) = _。5，设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则c=_。二、选择题1，设随机变量，则当s增大时，概率是（ ）。 A，单调增大； B，单调减小； C,保持不变； D，增减不定；2，已知离散型随机变量X的分布函数为F(x)，则P(aXb)=（ ）。 A,F(b)-F(a)； B，F(b)-
6、F(a)-P(X=a)； C，F(b)-F(a)-P(X=b)；D，F(b)-F(a)+P(X=a)；3，设随机变量X的分布函数为F(x)，则随机变量Y=2X+1的分布函数G(y)是( )。 A， B， C， D，4，设随机变量X的取值范围是-1，1，以下函数中可以作为X的概率密度的是（ ）。 A， B， C， D， 5，设是某个连续型随机变量的概率密度函数，则的取值范围是（ ）。 A，； B，； C，； D，； 三、计算题1，设随机变量X的密度函数为，求：（1）常数A； （2）； （3）分布函数。2，某种电池的寿命服从正态分布，其中a = 400，s = 35，求x，使寿命在a-x与a+x之
7、间的概率不小于0.9。3，设随机变量X服从区间（2，5）上的均匀分布，现在对X进行三次独立观测，试求至少有两次观察值大于3的概率。4，一个罐子装有m个黑球和n个白球，无放回地抽取r个球(r m+n)，问： （1）抽到白球数的分布律是什么？ （2）有放回呢？ 5，一电话交换台每分钟接到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： （1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟呼唤次数大于10的概率。6，设随机变量X的概率函数密度为，求： （1）常数C；（2）X落在区间 (0,1) 内的概率。7，对某一目标进行射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为p，求： （1）射击次数的分布律；（2）射击次数的分布函
8、数。8，设随机变量X的分布律为X0 1 2 3 4 5pk1/12 1/6 1/3 1/12 2/9 1/9试求随机变量的分布律和分布函数。9，设X在区间0, 1上服从均匀分布，试求Y=-2lnX的分布函数和概率密度函数。10，设某长街道有n个路口，各路口都安置红绿灯，且出现什么颜色灯相互独立，红绿颜色显示时间为1：2，今有一汽车沿长街行驶，若以X表示该汽车首次遇到红灯之前已通过路口的个数，试求随机变量X的概率分布。第三章 多维随机变量及其分布一、填空题1，设二维随机变量（X，Y）的概率密度为，则_。2，设随机变量X，Y相互独立，且都服从参数是1/3的（01）分布，则P(X=Y)=_。3，设随
9、机变量X与Y相互独立，且它们的分布律均为：X1 3P1/3 2/3则P(XY)=_。4，设X和Y为两个随机变量，且，则_。5，设随机变量X与Y独立，XB(2,p)，YB(3,p)，且， 则_。二、选择题1，设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，则（X，Y）关于Y的边缘分布函数（ ）。 A，； B，； C，； D，2，设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，其分布律为X Y 0 1 2-1010.2 0 0.10 0.4 00.1 0 0.2 则F（0，1）=（ ）。 A，0.2； B，0.4； C，0.6； D，0.8 3，设随机变量X和Y的分布函数分别为F1(x
10、)和F2(x)，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）。 A，；B，； C，； D，4，设相互独立的两个随机变量与具有同一分布律，且的分布律为0 1 则随机变量的分布律为（ ）。A，； B， ；C，； D，。5，设随机变量X与Y相互独立，其概率分布为0 1 0 1 则以下结果正确的是（ ）。 A，X=Y； B，P(X=Y)=1； C，P(X=Y)=0； D，三、计算题1，二维随机变量（X，Y）的概率密度为求：（1）系数A；（2）X，Y的边缘密度函数；（3）问X，Y是否独立。2，设随机变量与相互独立，分别服从参数为的指数分布，试求的密度函数。3，设随机变量相互独立且服从同
11、一分布，试证明随机变量与相互独立。4，设二维连续型随机变量的联合概率密度为： （1）求随机变量和的边缘概率密度；（2）和是否独立？（3）求。5，设随机变量和独立同分布，且的分布律为：，求的分布律。6，将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）。7，设随机变量X与Y相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布，求Z= X +Y的分布函数及概率密度函数。8，设随机变量X1与X2独立同分布，记随机变量，。求：（1）的联合分布律；（2）判断Y1与Y2是否独立；（3）求，。9，设随机变量X，Y的概率密度分别为
12、 ，且X与Y相互独立，求的概率密度函数。10，设随机变量（X，Y）服从区域B上的均匀 ，其中B为x轴，y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域，试求：（1）（X，Y）的联合概率密度函数及分布函数；（2）关于X，Y的边缘密度；（3）。第四章 随机变量的数字特征一、填空题1，设X与Y是两个相互独立的随机变量，且X服从（-1，2）上的均匀分布，Y服从参数为4的指数分布，则_，_。2，则_。3，设随机变量且，则X的概率密度_。4，设随机变量X的分布律为，则EX=_，_，_。5，设随机变量X服从分布，已知，则参数n=_，_。二，选择题1，如果随机变量X与Y满足，则下列说法正确的是（ ）。 A，X与Y相互独
13、立； B，X与Y不相关； C，； D，2，设随机变量X，Y相互独立，且，则X + 2Y服从的分布为（ ）。 A，N(1,4)； B，N(1,8)； C，N(1,14)； D，N(1,22)3，设随机变量X的分布函数为 则E(X) =（ ）。 A，2； B，1； C，1/2； D，34，设随机变量的方差相关系数则方差（ ） A，40； B， 34； C， 25.6； D， 17.6 5，设，其中、为常数，且，则（ ）。 A，； B，；C，； D，。三、计算题1，游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个正点的5分钟，25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早上8点的第X分钟到达底层电梯处，且
14、X服从0,60上的均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。2，设二维随机变量（X，Y）的密度函数为 试求：（1）EX，DX；（2），。3，设随机变量X和Y的分布律分别为 X0 1Y1 21/3 2/31/4 3/4且，试求的联合分布和协方差。4，设连续型随机变量X的概率密度函数为 试求方差。5，设X和Y是两个相互独立的随机变量，同服从正态分布，令，其中a，b为不等于0的常数，讨论Z1与Z2的相关性和独立性。6，设离散型随机变量X服从泊松分布，已知，试求参数。7，设连续型随机变量Y服从指数分布，令随机变量 试求：（1）的联合分布律，和是否独立？（2）的分布律；（3）；（4）和的相关系数。8，设随机
15、变量，且X与Y的相关系数，令，试求Z的分布及X与Z的相关系数。9，设二维随机变量（X，Y）的联合概率分布律为 Y X -1 0 1-11a 1/8 1/41/8 1/8 b3/8+a2/8+ba+1/8 2/8 b+1/41 试求：（1）EXY；（2）当a，b取何值时，X与Y不相关；（3）当a，b取何值时，X与Y既不相关，又独立？10，设随机变量X的概率密度函数为 （1）试求； （2）试求和的相关系数； （3）试问和是否相互独立，为什么？第五章 大数定律及中心极限定律计算题1，某宾馆一次性可接待1980人供旅游住宿，根据经验电话预约的客户入住率为90%，经理室一共接受了2200个电话预约，求实
16、际入住人数在19502010之间的概率。2，一大批产品中优质品占一半，现每次抽一件，看后放回再抽，问在100次抽取中取到优质品的次数超过45次的概率为多少？ 3，设一个复杂系统由几个独立的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需要有80%部件工作，试问至少需要多少部件才能使系统的可靠度为0.95。4，设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？5，计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在（-0.5，0.5
17、）上服从均匀分布。（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？6，某商店出售某种商品，根据经验，该商品每周销售量服从参数为的泊松分布。假定各周的销售量是相互独立的。用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率。第六章 样本及抽样分布一、填空题1，设总体，其中是已知参数，是未知参数，从该总体抽取容量为4 的样本，则的分布为_。2，设是取自总体的样本，则统计量服从_分布。3，设统计量，则_。4，为样本。若要求， 则_。5，总体X与Y相互独立，且，。与是两总体中抽取的独
18、立样本。与是两样本方差，则_。二、选择题1，设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）。A，； B， ；C，； D，2，为样本，则服从的变量为（ ）。 A，； B，； C，； D，3，为样本，则统计量服从的分布为（ ）。 A，； B，； C，； D，4，设总体，为样本。与是样本均值与方差，则服从的分布为（ ）。 A，； B，； C，； D，5，设总体，是未知参数，是来自总体的一个样本，则下列结论正确的是（ ）A，；B，；C，；D，三、计算题1，设总体，为样本，为样本均值，为使，问n至少应取多少？2，设总体，为样本， 分别表示样本均值和样本二阶中心距，试求，。3，从正态总体中抽取
19、容量为n的样本，为使样本均值位于区间（1.4，5.4）内概率不小于0.95，试问样本容量n至少应取多少？4，设为正态总体的样本，试确定c，使随机变量服从t分布。5，设总体，为总体的样本，分别为样本均值和样本方差，而是第n+1个个体指标，试证明统计量服从t分布。6，设总体X的概率密度函数为 为总体的样本。试求（1）的数学期望与方差；（2）；（3）。第七章 参数估计一、填空题1，设总体，未知，是总体的样本，则参数的矩估计量是_；最大似然估计量是_。2，设是来自均匀分布总体的一个样本，则的矩估计量是_；最大似然估计量是_。3，设为总体的样本，则的无偏估计量为_。4，设总体，为样本，则当常数C =_时
20、，为的无偏估计。5，设总体，为样本，则的一个无偏估计量为_。二、计算题1，设总体X的概率密度函数为 其中为未知参数，从总体中抽取容量为4 的样本，对样本的一组观察值27，25，29，35，试求（1）的最大似然估计值；（2）概率的最大似然估计值。2，设总体X的密度函数为 求参数的矩估计量和最大似然估计量。3，总体，为总体的一个样本。求常数 k , 使为s 的无偏估计量。4，设某电子元件失效时间T的概率密度函数为 其中，为参数，为总体的样本，求：（1）若已知，的最大似然估计量；（2）若已知，的最大似然估计量。5，设总体X的分布律为 X0 1 2 3 其中为未知参数，0，2，1，2，3是总体的样本，
21、试求：（1）的最大似然估计值；（2）的矩估计值6，设总体X的概率密度函数为 其中为未知参数，为总体的样本，试求的最大似然估计量，并问是的无偏估计量吗？7，设一批零件长度，从这批零件中抽取10件，测得长度，计算的样本均值为，标准差为，给定置信度，试求总体标准差s 的置信区间。8，设甲、乙两个工厂生产的蓄电池的电容量X和Y，分别服从正态分布，且未知，分别独立的从两个总体中抽取容量为，的样本，经计算得样本均值分别为，样本方差分别为，试求总体均值差的置信度为90%的置信区间。9，设某种油漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0。设
22、干燥时间总体服从正态分布，求的置信度为0.95的置信区间。10，从一批零件中抽取10个，测得其直径尺寸与标准尺寸之间的偏差（单位：mm）分别为2，1，-2，3，2，4，-2，5，3，4。假设零件直径尺寸与标准尺寸之间的偏差是服从的随机变量，求（1）的无偏估计值；（2）的无偏估计值；（3）的置信度为0.95的置信区间。第八章 假设检验一、填空题1，若总体，要检验，应该用 检验法。2，单个正态总体的下列检验：（1）：， ：（已知），检验统计量为 ，拒绝域为 。（2）：， ：（未知），检验统计量为 ，拒绝域为 。3，设为正态总体的样本均值，未知，欲检验假设（已知）。应用 检验法；检验统计量为 。4，
23、设和分别为来自两个正态总体和的样本均值，参数，均未知，欲检验假设，应用 检验法；检验统计量为 。5，设为正态总体容量为n的样本均值，为样本方差，当已知时，检验假设：；：（已知）的统计量为 ；拒绝域为 ；当未知时，检验假设：；：的统计量为 ；拒绝域为 。二、计算题1，设袋装食品，每袋100g，其中维生素的含量不得少于21mg，设含量，现取17袋，测得每袋含量，计算得样本均值，样本标准差，试问在显著性水平下，该食品的含量是否合格？2，某食品厂生产袋装花生米，每袋净重，为未知参数，今开箱随机抽取10袋，经计算样本均值，标准差，给定，试问能否认为每袋净重不小于180？3，某种导线，要求其电阻的标准差不
24、得超过0.005（欧姆），今在生产的一批导线中取样品9根，测得样本标准差s=0.007（欧姆）。设总体服从正态分布，问在水平=0.05下能否认为这批导线的标准差显著地偏大？4，某种零件的单个长度的均值为10cm，标准差为1cm，更新设备后，从所生产的零件中抽取100个，测得零件长度的平均值，问设备更新后零件的平均长度是否有显著变化？（）5，在两种工艺条件下生产细纱，各取100个试样，试验得强力数据，经计算得： 甲工艺：， 乙工艺：， 试问使用两种工艺生产的细纱强力有无显著差异（）？6，从甲，乙两个灯泡厂分别抽取30个灯泡，测试寿命，甲厂灯泡平均寿命为，样本标准差为，乙厂灯泡平均寿命为，样本标准
25、差为，假设甲厂灯泡寿命，乙厂灯泡寿命，其中参数未知。试问在显著水平下，能否断定甲厂灯泡比乙厂灯泡好？7，（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力。已知kg，现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值kg。问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570kg？（） （2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布。某日抽取5个样品，测得其纤度为：1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 。问这天的纤度的总体方差是否正常？试用作假设检验。8，食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500g。每隔一定的时间，需要检验机器的工作情况。现抽得10罐，测
26、得其重量（单位：g）的平均值为，样本方差。假定罐头的重量，试问机器的工作是否正常（显著性水平）？习题答案第一章一、填空题 1，2， 3， 4， 5，0.3二、选择题 1，C 2，D 3，A 4，B 5，B三、计算题1， 2，0.3636 3，0.4565 4，0.05792 5，略6，（1）0.94 （2）0.085 7，7/9 8，（1）0.5 （2）3/4 9，0.9956 10，0.75第二章一、填空题 1，3 2，4/5 3，1-3e-2 4，0.9876 5，1二、选择题1，C 2，D 3，A 4，C 5，A三、计算题1，（1） （2）1/6 （3） 2， 3，20/274，（1）
27、（2）5，（1）0.0298 （2）0.00284 6，（1） （2）0.316 7，（1） （2）8，Y的分布律Y0 1 4 9 1/3 1/4 11/36 1/99， 10，第三章一、填空题 1，1/4 2，5/9 3，7/9 4，5/7 5，80/243二、选择题1，D 2，C 3，A 4，D 5，D三、计算题1，（1） （2） （3）独立2，3，略4，（1） （2）不独立 （3）79/965， 2346，（1） YX300102030（2）1/87， 8，（1）略 （2）不独立 （3）1/3；1/39，10，（1） （2）略 （3）略第四章一、填空题 1，1/8 57/16 2，6 3
28、， 4，1/3 2/3 35/24 5，8 0.2二、选择题1，B 2，C 3，C 4，C 5，D三、计算题1，11.67 2，（1） （2） （3）3，XY0 1 21/3 1/5 7/15 4，5，略6，7，（1） X2X10 101 0 1 不独立 （2）M0 1 （3） （4）8，Z服从正态分布，9，（1） （2），或， （3），10，（1） （2） （3）不独立第五章1，2，3， 至少需要25个部件4，5，（1） （2）6， 第六章一、填空题 1，Y t(2) 2， 3， 4， 5，二、选择题1，D 2，B 3，C 4，B 5，C三、计算题1， 2， 3，4， 5，略 6，（1） （
29、2） （3）第七章一、填空题 1， 2，矩估计 最大似然估计 X(n)，X(1)中的一切值 3，是无偏估计量，不唯一 4， 5，二、计算题1，（1） （2）2，矩估计量 最大似然估计量3，4，（1） （2）5，（1） （2）6， 不是的无偏估计量7，的置信区间为 8，置信区间为 9，置信区间为 10，（1） （2） （3）置信区间为 第八章一、填空题 1，Z 2，（1） （2） 3，检验法， 4，F检验法， 5， 二、计算题1，统计量观察值 t的观察值没有落在拒绝域中，故接受原假设2， 拒绝原假设。3，接受原假设。4，故拒绝原假设，认为长度有显著变化5，由于，故接受原假设，认为强力没有显著变化6，故拒绝原假设，可以断定甲厂产品比乙厂产品好7，（1）故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg （2） 故拒绝原假设8，接受原假设