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1、1 E c b a E B D C A 初 2014 级数学期末复习资料第十一章三角形 知识点 1 定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.【典例】认识三角形:如图，三边是：；内角有：；外角有：；它们的关系是：；知识点 2 三角形的分类按边分：不等边三角形、等腰三角形（等边）按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形【典例】三角形的内角中，最多有个钝角；外角中（每个内角记一个外角）最多有_个锐角.知识点 3 三角形的三边关系：三角形的任意两边的和大于第三边，或较小两边之和大于第三边，或任意两边之差小于第三边，即yxzyx.【典例】1.用一条长为18cm的细绳能围
2、成有一边长是4cm的等腰三角形吗？为什么？2.D是 ABC的边 BC上的任一点，试说明：AB+AC+BC2AD.知识点 4 三角形具有稳定性【典例】作图：画一个三角形使得三边为已知的a,b,c（保留作图痕迹）a b c 知识点 5 三角形的三线：中线、高、角平分线都是线段，且中线将边、面积平分，高主要用于求面积.【典例】1.如图，ABC中，AD是 BAC的平分线，CE是 AB边上的中线，BF是 AC的高,则：1=.ABCs=.C D B A 2 知识点 6 借助平角和平行线得到三角形的内角和等于 180.【典例】1.若三角形的三个内角的比是1:2:3，则这个三角形是 .2.如图，在 ABC中，
3、A=50，BP平分 ABC,CP平分 ACB,求 BPC的度数.知识点 7 三角形的一个外角等于不相邻两内角和.【典例】如图，B=30，BAC=120，CD是 ABC中 ACB的外角平分线,ECD的大小是 .知识点 8 三角形的外角和等于360.【典例】如图，ABC中，试说明：EAB+FBC+DCA=360 知识点 9 从n)3(n边形的一个顶点出发，可以做)3(n条对角线；一个n边形共有2)3(nn条对角线.【典例】1.从九边形的一个顶点出发可以做条对角线.2.一个多边形有35 条对角线，则这个多边形的边数是 .知识点 10 多边形的内角和公式：180)2(n.【典例】1.正八边形的内角和是
4、，每个内角是 .每个外角是 .2.已知一个多边形的内角和等于2160，则这个多边形的边数是 .知识点 11 任意多边形的外角和都为360.【典例】1.一个正多边形的一个外角是36，则这个多边形是边形.2.在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的51，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数.F D C B A E 3 典型习题1.对下图理解错误的是（）A.A,B，ACB是 ABC的内角 B.BCD是与 ACB相邻的外角C.BCD+A=180 D.ABC的三条边分别是线段AB、BC、AC 2.如下图，三角形的个数是 .第 2 题图第 3 题图第 5 题图3.如图，D是 ABC的 BC边
5、上一点，B=BAD，ADC=80，BAC=70，则 B=，C=.4.已知三角形的三边长分别为2，x,13，若 x 为正整数，则这样的三角形个数为 .5.将纸片 ABC沿 DE折叠，点A落在点A处，已知 1+2=100，则 A=.6.如图所示，1 2 3 47.如图，钝角ABC中，B90，BC=6，AC=12（1）作出 BC、AC边上的高.（2）求这两条高的比.8.如图,在 ABC中，D是 BC边上一点，1=2，3=4，BAC=63，求 DAC的度数.D C A B A B C D E AC B A 1 2 3 4 F E D B A B D C A 1 2 3 4 4 9.如图，DE BC,B
6、E平分 ABC,且 AB=AC,AED=72 求 CEB的度数.10.如图，ABC 中，ABC=37 ，C=53，AD BC 于D，AE 是 BAC 的平 分线,AC=6cm,AB=8cm,BC=10cm.（1）求 DAE的度数；（2）求 AD的长.第十二章全等三角形 知识点 1 能够完全重合的两个图形叫做全等形，其中能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.从定义可以看出：全等三角形对应边相等，对应角相等，周长相等，面积相等，对应边上的高相等,对应边上的中线相等.【典例】如图，ABC和 AMN 均为等腰三角形，且 ABN ACM，则(1)BAM 的对应角是；（2）AM的对应边是；（3）BM=,
7、BAM=.知识点 2 证明两个三角形全等的方法有：（1）三边分别相等的两个三角形全等（SSS）（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）（4）两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（AAS）（5）斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等（HL）注意：这几种方法都是通过尺规作图证明的；找出图中暗含的等量角和边；直角三角形的全等不全是HL；证全等的思路：A.已知两边找第三边或夹角或直角；B.已知两角只要找一组边;C.已知一边和一角再找角角边或角边角.D E C B A E D C B A 5【典例】1.如图，已知AB=A
8、D 那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC的是（）ACBCD BBACDACCBCADCAD90BD2.如图，在AOB 的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN 和EM 相交于点C求证：ODC OEC 知识点 3 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等;判定角平分线的方法：线平分角角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.【典例】如图，在四边形ABCD中，BC BA，AD=DC，BD平分ABC求证：A+C=180 知识点 4 两个基本图形 (1)(2)图形（1）中：AC是BAD的角平分线；B=D=90 BC=CD；AB=AD；图形（2）中 C=BAD，
9、B=CAD【典例】如图，C=90，DE AB于点 D,BD=BC,AC=6，则 AE+DE=.ABDCEOMN6 CEBAD 知识点 5 证明三角形全等的辅助线常规添法有：已知角平分线上一点到一边的垂线段，需添该点到另一边的垂线段；垂直平分线上一点到线段一端的距离需添该点到另一端点的距离；证明和、差、倍、分时往往是延长短的或在长的上面截取；【典例】1.如图，ABC中，ABC=90 o，AB=BC，AE是A的平分线，CDAE于D求证：CD=21AE2.如图，在ABC中，C 2B，BAD CAD。求证：AB=AC+CD.典型习题1.尺规作图画角平分线时是根据全等中的 .2.三角形内到三角形三条边的
10、距离都相等的点是这个三角形的.3.如图 1，已知：AB=AC，BD=CD，BE=CE，则图中全等的三角形共有对.4.若 ABC DEF，AB=DE，B=50，C=70，则 D=.图 1 图 2 5.如图 2，点B、E、F、C在同一直线上已知A=D，B=C，要使ABFDCE，需要补充的一个条件是（写出一个即可）6.如图，AB=AC,BE和 CD相交于 P，PB=PC,求证：PD=PE.7.如图，已知AB=AE，AC=AD，1=2 求证:E=B.7 N M O B A 8.如图，工人师傅要检查人字梁的B 和 C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺他是这样操作的：分别在BA 和 CA 上取
11、 BECG；在 BC 上取 BDCF；量出 DE 的长 a 米，FG 的长 b 米如果 ab，则说明 B 和 C 是相等的他的这种做法合理吗？为什么？第十三章轴对称 知识点 1 区分轴对称图形和成轴对称：区别：轴对称图形是对一个图形而言，而成轴对称是对两个图形而言相同：都是沿着某直线（对称轴）折叠能够互相重合.【典例】下列几何图形中，1线段2角3直角三角形4半圆，其中一定是轴对称图形的有（）A1 个B2 个C3 个D4 个 知识点 2 轴对称的性质：对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.知识点 3 垂直平分线的定义：直线满足两个要求：过中点垂直该线段；简记为中垂线.如图：O为 AB中点，
12、MN AB 直线 MN是线段 AB的中垂线（垂直平分线的定义）知识点 4 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等.几何语言：如图 1 P为线段 AB的垂直平分线 MN上的点PA=PB（垂直平分线的性质）【典例】如图2，在 ABC中，AC=4cm，线段 AB的垂直平分线交AC于点 N，BCN的周长是7cm，则 BC的长为 cm 图 2 图 3 知识点 5 垂直平分线的判断方法：（1）定义法（2）判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.几何语言：如图1.PA=PB P在 AB额垂直平分线上（垂直平分线的判定）图 1 P N M O B A 8【典
13、例】1.如图 3，AB=AC,MB=MC.求证：AM是线段 BC的垂直平分线.知识点 6 尺规作图：画线段 AB的垂直平分线；过点C画直线 MN的垂线；知识点 7 画轴对称图形实质是画点关于对称轴的对称点（过点做对称轴的垂线，并延长相等线段）【典例】如图，写出ABC 的各顶点坐标，并画出ABC 关于 Y 轴对称的 A1B1C1，写出ABC 关于 X 轴对称的 A2B2C2的各点坐标.知识点 8 点),(yx关于 x轴对称的点的坐标为；点),(yx关于 y 轴对称的点的坐标为；点),(yx关于原点对称的点的坐标为；【典例】在平面直角坐标系中，点 M 1 2，关于 y 轴的对称点是,N a1 2，
14、则a=知识点 9 等腰三角形的性质：（如图4）（1）等边对等角；（AB=AC B=C）（2）三线合一：ABC中 AB=AC，AO是顶角 BAC的角平分线；AO是底边 BC上的中线；AO是底边 BC上的高；这三个中知其一，可得其余两个.（3）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线；且两腰上的高相等，两腰上的中线相等【典例】如图，AB=AC，CD AB于 D，BE AC于 E，BE与 CD相交于 O.（1）求证：AD=AE (2)连接 OA，求证：OA BC 9 知识点 10 等腰三角形的判定方法：（如图4）(1)等角对等边；（B=C AC=AB)(2)三角形三线（高、中线、角平分线）中有二线合一，
15、考虑证全等得到边相等；【典例】如图,E 在 ABC的 AC边的延长线上，D点在 AB边上，DE交 BC于点 F，DF=EF，BD=CE.求证：ABC是等腰三角形.知识点 11 等边三角形是特殊的等腰三角形，故等腰三角形的性质等边都有，除此还有：三条边都想等，三个内角都相等，且等于60.【典例】如图，等边三角形ABC 中，D 是 AC 的中点，E 为 BC 延长线上一点，且 CECD，DM BC，垂足为M.求证：M是 BE的中点.知识点 12 直角三角形的相关结论：（1）在直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半.（2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形【典例】如
16、图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁 AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁 AC，AB=8m，A=30，则 DE等于 .知识点 13 常见证明线段相等的方法归纳：（1）证所在三角形全等.（2）中垂线、角平分线的性质.（3）证等腰三角形.知识点 14 证明命题的步骤：画图，写已知、求证，最后证明.知识 15 最短路径问题是作轴对称或平移，依据两点之间线段最短（三角形任意两边之和大于第三边）或垂线段最短.【典例】已知：如图A是锐角 MON 内部任意一点，在MON 的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.典型习题1.下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是
17、（）A：B：C：D：2.下列说法正确的是（）A轴对称涉及两个图形，轴对称图形涉及一个图形.EDCBA1 0B如果两条线段互相垂直平分，那么这两条线段互为对称轴.C所有直角三角形都不是轴对称图形.D有两个内角相等的三角形不是轴对称图形.3.若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（）A11cmB7.5cmC11cm或 7.5cmD以上都不对4.如图所示，l是四边形 ABCD 的对称轴，ADBC，现给出下列结论：AB CD；AB=BC；AB BC；AO=OC 其中正确的结论有（）A1 个B2 个C3 个D4 个5.等腰三角形一个内角是30，则它的另外两个角是度6.若等腰三角形腰上的高
18、是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（）A75 或 15B75C15D75 和 307.如图，ABD、AEC都是等边三角形，求证：BE=DC 第十四章 整式的乘法与因式分解 知识点 1 幂的运算性质：nmnmaaa；nmnmaaa 特别的：10a（0a）；mnnmaa)(；nnnbaab)(；nnnbaba)(（nm,均为整数）.注意：性质可以逆用；如：3535)3553(35)35()53()35()53(20152015201520162015.)1()(nbabannn；如222)(baba，222)(baba都是错误的.【典例】：1.)()()(32baabba .2.105,106
19、ab，求210a b和ba 210的值.lODCBA1 1 知识点 2 单项式与单项式相乘：系数相乘作为积的系数；相同字母的因式，应用同底数幂的运算法则，底数不变，指数相加；只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一项.【典例】：计算：(1)2(332xyx；(2)()3(523xyzxyyx 知识点 3 单项式乘以多项式，多项式乘以多项式都是转化成单项式乘以单项式，并将结果合并同类项.【典例】：1.计算：（1）)53(222baa（2）)25)(32(2xxx2.试说明代数式(23)(32)6(3)516xxx xx的值与x的取值无关.知识点 4 单项式相除：把系数与同底数幂分别相
20、除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.【典例】：计算（1）yxyx324728（2）bacba435155 知识点 5 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.【典例】：计算aaaa33612231 2 知识点 6 乘法公式：平方差公式：22)(bababa完全平方公式：2222)(bababa【典例】：1.填空使该式成为一个完全平方式：42x .2.已2212,3abab知，求2()ab，ba的值.知识点 7 适当添加括号运用公式可简便计算，注意添括号和去括号时的符号变化.【典例】：计算：（1）)(zxyzyx（2）)(
21、yzxzyx 知识点 8 整式的混合运算可类比有理数的混合运算进行，一定要注意系数和符号问题.【典例】：2433232921)3(2)3(yxyxyxxxy 知识点 9 因式分解的常见方法：提公因式法；公式法（逆用平方差、完全平方）十字相乘法；分组分解法；配方法；因式分解应注意：积的形式；恒等变形；整式；分解彻底【典例】：1.下列分解因式正确的是（）A)1(23xxxxB)2)(3(62mmmmC16)4)(4(2aaaD)(22yxyxyx2.分解因式:(1)2aab (2)24)4)(2(xxx (3)1242xx1 3(4)xzzyx2222 (5)12)2)(1(22xxxx典型习题1
22、.若215(3)()xaxxxb，则a，b .2.计算：（1）)()(232abba（2）64232232184)3()2(yxyxyxxy（3）2199920041996（4）343243212206(2)a ba b ca bab3.分解因式（1）)(3)(3abybax（2）axyayax63322（3）yyx2732（4）aa3（5）2812x（6）xx1654.先化简，再求值：2232232)3(21)3(2)3(bababaaab，其中10,1ab.1 45.已知 ABC的三边cba,满足：02222bcabca，试判断 ABC的形状第十五章分式 知识点 1 分式的定义:一般地，如
23、果 A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式，A为分子，B为分母.【典例】：下列代数式中：yxyxyxyxbabayxx1,21,22，是分式的有：.知识点 2 与分式有关的条件分式有意义：分母不为0（0B）分式无意义：分母为0（0B）分式值为 0:分子为 0 且分母不为 0 分式值为正或大于0：分子分母同号（00BA或00BA）分式值为负或小于0：分子分母异号（00BA或00BA）分式值为 1：分子分母值相等（A=B）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）【典例】：1.当x取何值时，下列分式有意义（1）44xx（2）232xx（3）122x（4）3|6xx2.当
24、x取何值时，下列分式的值为0.（1）31xx_ 42|2xx（2）653222xxxx(3)32223xxxx1 53.(1)当 x 为时，分式x84为正.(2)当 x 为时，分式2)1(5xx为负.（3）当 x为时，分式223xx为非负数.知识点 3 分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式,分式的值不变.字母表示：CBC?ABA，CBCABA，其中 A、B、C是整式，C 0.拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BBABBAAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0 这个限制条件和隐含条件B0.【典例】：1.不改
25、变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）yxyx5.008.02.003.0（2）baba10141534.02.已知：31xx，求1242xxx的值.知识点 4 分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式.注意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的积.分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分.最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式.【典例】：.约分（1）322016xyyx；（3）nm
26、mn22；（3）6222xxxx.1 6 知识点 5 分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分.分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定.最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.确定最简公分母的一般步骤：取各分母系数的最小公倍数；单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式.相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的.保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取.注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解.【典例】将下列各式分别通
27、分.（1）abbbaa22,；（2）aa21,2 知识点 6 分式的四则运算与分式的乘方（可类比分数进行）分式的乘除法法则：dbcadcba；cbdacdbadcba.分式的乘方：nnnbaba)(.分式的加减法则：cbacbca；bdbcadbdbcbdaddcba.分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先、再、后，同级运算中，有括号的先算，也要注意灵活，提高解题质量.注意：整式与分式计算时，可以把整式看作是分母为1 的分式，再计算.在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因，尤其是符号问题.加减后得出的结果一定要
28、化成最简形式.【典例】：计算（1）42232)()()(abcabccba；（2）22233)()()3(xyxyyxyxa；1 7（3）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1xxxxxx（4）112aaa；知识点 7 负整数指数幂：nnaa1（0a，n 是正整数）【典例】：计算：332222)3(nmnm 知识点 8 科学记数法：n10a（10a1，n 为整数）的形式.【典例】：1.用科学记数法表示：0.00000125=，125000000=.2.计算（1）223)102.8()103(；（2）3223)102()104(.知识点 9 分式方程的解的步骤去分母，把方程两边同乘以各分母的
29、最简公分母.（产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解.检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则 原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原方程的解.产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为0.【典例】：1.解下列关于x的方程（1）569108967xxxxxxxx；（2）)(11baxbbxaa2.若关于 x 的分式方程3132xmx有增根，求m的值.1 83.若分式方程122xax的解是正数，求a的取值范围.知识点 10 列分式方程基本步骤：审、设、列、解、验、答【典例】：一台收割机的工作效率相当于一个农民工作
30、效率的150 倍，用这台机器收割10hm2小麦比 100 个农民人工收割这些小麦要少用1h，这台收割机每小时收割多少公顷小麦？典型习题1.下列各式：xxxxyxxx2225,1,2,34,151其中分式共有个.2.当x_时，分式3|61x有意义；当x _时，分式2xxx的值为 03.关于x的方程11xm的解是负数，则m取值范围是 .4.不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）23.015.0 xx（2）yxyx413132215.已知311yx，则求代数式21422xxyyxxyy的值.1 96.约分:（1）122362xx；（2）yaxxax32246；（3）443mmm.7.将下
31、列各式分别通分.（1）yxyx22与2yxxy.（2）1212xxx与122x.8.计算（1）（212xx2144xx）222xx；（2）23xx（25x-x-2）；（3）221111121xxxxx（4）)21(222222abbaabbaba；（5）2322123)5()3(zxyzyx.（6）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(.9.先化简再求值（1）11314422xxxx，其中x=-2 2 0（2）1112421222aaaaaa，其中 a满足02aa.（3）已知3:2:yx，求2322)()()(yxxyxyxxyyx的值.10.解下列方程（1）1
32、14112xxx；（2）41315121xxxx11.若关于 x分式方程432212xxkx有增根，求 k 的值.12.某中学库存960 套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20 天；乙小组每天比甲小组多修8 套；学校每天需付甲小组修理费80 元，付乙小组120 元（1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套（2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10 元的生活补助现有以下三种修理方案供选择：由甲单独修理；由乙单独修理；由甲、乙共同合作修理你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明