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1、小学数学解题研究第六章初 等 数 论知识目标LOREM IPSUM 掌握初等数论中最基本的理论和常用的论证方法,学生获得整除、同余等 方面的系统知识,加强学生理解和解决数学问题的能力,获得进一步学习其他 课程的基础知识。能力目标1.熟练掌握整除、同余的基本性质及不定方程的求解,能应用这些基本知 识解决实际问题。2.掌握初等数论中的论证法,获得较熟练的演算技能、推理能力和初步应 用的能力,从而获得从事小学数学教学等工作必需的数学基础知识及思想方 法,积累进一步学习所需要的数学知识,并应用于以后小学数学教学及教研活 动中。思政目标2培养学生勤于思考、类比研究,普遍联系、辩证思想的品质。3提高学生学
2、科素养、文化自信。1培养学生的教育情怀、爱国情怀。第一节数的整除性一、主要理论1.整数的概念一、主要理论2.整除的定义(1)设a,bZ,b0,如果存在一个整数q,使得等式a=bq成立,就说b整除a,或 a被b 整除,记作b|a。(2)整数a除以整数b(b0),如果不能得到整数q,即对任何整数q,恒有 bqa,那么就 说b不能整除a或a不能被b整除,记作b a。(3)如果整数a能被b(b0)整除,那么a就称为b的倍数,b就称为a 的约数。(4)在整数a的约数中,除1与a之外的其他约数称为a的真 约数。一、主要理论3.整除的性质一、主要理论(2)如果数b能整除数a,数a能整除数c,那么数b也能整除
3、数c,即若bla,alc,则blc。(整除的传递性)(3)几个数相乘,如果其中有一个因数能被某一个数整除,那么它们的积也能被这个数整除。(4)如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除,那么这个数也能被这两个数的积整 除,即若bla,cla且(b,c)=1,则bcla。一、主要理论4.带余数的除法已知整数a和正整数b,如果存在整数q与r,使得a=bq+r,并且0rb,那么a称为 被除数,b称为除数,q称为商,r称为余数。显然,bar=0,即整除可以看作是带余数的除法中余数为零的特殊情况。一、主要理论5.整除特征如果具有某个条件的数都能被正整数b整除,反过来,能被b整除的数都具有这个条 件,那么这
4、个条件就称为能被b整除的特征。也就是说,一个数能被b整除的特征就是这个 数能被b整除的充要条件。通过这个特征,不需要进行除法运算就可以确定一个数能否被b 整除。LOREM一、主要理论(1)定理1根据性质(1)和性质(3)不难得到一个数被2,4,8与5,25,125整除的特征。一、主要理论(2)定理2根据性质(1)和性质(3)不难得到一个数被3与9整除的特征。一、主要理论(3)定理3根据性质(1)不难得到一个数被11整除的特征。二、教学实例分享【例6-1】两个整数相除商8余16,并且被除数、除数、商及余数的和是463,被除数是 多少?【分析】两个整数相除商8余16,根据带余数的除法概念可知被除数
5、比除数的8倍多 16,可先求出被除数与除数的和,然后就能求出除数。【解答】被除数和除数的和为463-8-16=439 除数为 439-16 8+1=47 故被除数为439-47=392 答:被除数是392二、教学实例分享【例6-2】试证:三个连续整数的乘积是3的倍数。【分析】因为一个数除以3的余数r=0,1,2,所以可根据余数的三种 情况分类加以证明。【解答】证明:设这三个连续整数是n,n+1,n+2(nZ)。由带余数的除法可知n=3q+r(qZ,rZ且0rn,求证:m+n与m-n中有且仅有一个是3的倍数。(3)证明:3|n（n-1）（2n-1）,其中nZ。思考与练习(8)已知整数n被5整除,
6、被3除余2,被7除余4,试求n的最小正整数值。第二节奇偶性问题一、主要理论1.奇偶性的定义LOREM 能被2整除的整数称为偶数,常用2n（nZ）表示;大于零的偶数称为双数;不能被2整 除的整数称为奇数,常用2n+1或2n-1（nZ）表示;大于零的奇数称为单数。一、主要理论2.奇数与偶数的性质51234(1)两个奇数的和或差是偶数,两个偶数的和或差是偶数,奇数与偶数的和或差是奇数,即两个整数的和与差的奇偶性相同。(2)单数个奇数的和是奇数,双数个奇数的和是偶数,任意多个偶数的和是偶数。(3)奇数与奇数的乘积是奇数,偶数与偶数的乘积是偶数,偶数与奇数的乘积是偶数。(4)两个连续整数,其中必然有一个
7、是奇数,另一个是偶数。(5)如果一个偶数能被奇数整除,那么所得的商是偶数。二、教学实例分享【例6-6】新年前夕,同学们相互赠送贺年卡,每人只要接到对方赠的贺年卡就一定回 赠贺年卡,那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数?为什么?【分析】解决这类问题的关键是将全体人数分成奇数和偶数两类,然后逐步研究解决。类似的如互相通电话、互相握手、分东西都可以用分类法解决。【解答】由于是互送贺年卡,贺年卡的总张数应是偶数。将送贺年卡的人分成两类:一 类是送了偶数张贺年卡的人,他们送出的贺年卡的总数必定是偶数,因为若干个偶数的和是 偶数;另一类是送出奇数张贺年卡的人,他们送的贺年卡总张数也是偶数(总张数-送偶
8、数 张贺年卡的总数=偶数-偶数)。因为只有偶数个奇数相加,其和才能是偶数,所以送奇数 张贺年卡的人数一定是偶数。二、教学实例分享【例6-7】已知4个正整数的和是11,试证:它们的立方和不可能为200。【分析】若4个数的和为奇数,则这4个数中奇数的个数必为奇数,且奇数的立方为奇数,偶数的立方为偶数,故这4个数的立方中奇数的个数必然也为奇数,因此它们的立方和 不可能是偶数200。【证明】设这4个正整数分别为a,b,c,d,则a+b+c+d=11。因为4个正整数的和11是一个奇数,所以这4个数中只有奇数个奇数,即它们可能是 三奇一偶,也可能是一奇三偶。而奇数的立方是奇数,偶数的立方是偶数,所以在三奇
9、一偶 或一奇三偶的情况下,4个数的立方和一定是奇数。因此它们的立方和不可能为200。二、教学实例分享【例6-8】有4个互不相等的自然数,最大数与最小数的差等于4,最小数与最大数的积 是一个奇数,而这4个数的和是最小的两位奇数,那么这4个数的乘积是多少?【分析】根据题目所给的条件,最大数与最小数的差是4,如果最小数为a,那么最大数 则为a+4。因为最小数与最大数的积是一个奇数,根据奇偶数的性质可得最大数与最小数 分别是两个奇数,进而得出最大数与最小数之间有三个数,即a+1,a+2,a+3。又因为这4个 数的和是最小的两位奇数,即11,说明这4个数中有3个奇数,即a,a+2,a+4。其中的一个 偶
10、数不是a+1就是a+3。二、教学实例分享二、教学实例分享二、教学实例分享二、教学实例分享二、教学实例分享【例6-10】已知等式1993+4=6063,其中的“”都是自然数,试求这两个“”的和。【分析】一个整数等式成立,则等号两边的奇偶性相同。换句话说,若一个整数等式两 边奇偶性不同,则这个等式一定不成立。二、教学实例分享三、本课小结 在小学数学学习阶段,掌握一些奇数和偶数的运算性质,以及它们在解决实际问题中的 妙用,对于提高小学生应用数学知识解决实际问题的能力有极大的帮助。思考与练习(1)不通过计算,只用奇偶性判断下列各题,对的打“”,错的打“”。68796-43689=25108。()689
11、78888=61800537。()6888287=23。()某相邻两数之积是1191。()偶数个奇数之积是偶数。()如果两个两位数的差是30,则这两个数的和是57。()(2)6个连续奇数的和是48,最大的一个奇数是 。思考与练习(4)一个自然数分别与连续两个偶数相乘,所得的两个积相差100,那么这个自然数 是多少?(3)一个三角形的三条边长是3个两位的连续偶数,它们的末位数字和能被7整除,这 个三角形的最大周长等于 。(5)能否在下式的各内填入加号或减号使式子成立?为什么?123456789=10思考与练习(7)某班学生参加学校的数学竞赛,试题共50道。评分标准是:答对一道给3分,不答 给1分
12、,答错倒扣1分。请你说明:不管情况如何,该班同学得分总数一定是偶数。(6)一个教室共有7行7列座位,排成一个正方形,每个座位坐着一名学生。现在要进 行一次座位调换,要求每位同学只能和自己相邻的同学(前、后、左、右)交换位置,这种调换 是否有可能实现?第三节分解质因数一、主要理论1.质数与合数的定义一个大于1的整数,如果只能被1和它本身整除,则称这个数为质数,也称为素数。如 果这个数除了能被1和它本身整除外还能被其他正整数整除,则称这个数为合数。2.质数与合数的相关定理(一)质数与合数一、主要理论一、主要理论一、主要理论一、主要理论1.最大公约数的定义(二)最大公约数由定义可以得到以下两个结论:
13、(1)若b0,则(0,b)=l b l。一、主要理论2.最大公约数的相关定理(1)如果第一个数能被第二个数整除,那么这两个数的最大公约数就是第二个数。即如 果bla,那么(a,b)=b。证明:因为bla,blb,所以b是a,b的公约数。由于比b大的数不可能是b的约数,也就不可 能是a,b的公约数,因此(a,b)=b。(2)如果第一个数除以第二个数的余数不等于零,那么这两个数的最大公约数就是第二 个数与这个余数的最大公约数。即如果a=bq+r(0r1,（a,c）1,b,c 1。设（a,b）=2,（a,c）=3,（b,c）=5,则a=23=6,b=25=10,c=35=15,则这三 个数的和为6+
14、10+15=31。答:这3个自然数的和最小是31。二、教学实例分享【例6-15】将下列8个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等,如何分?52,57,65,69,95,28,9,161【分析】要把8个数分成两组或把9个数分成三组,使这两组或三组各数的乘积相等,只要使分成的两组或三组数中各组所含有的质因数相同即可。所以解这类题时首先要把所 给的各数分解质因数,然后将相同的质因数分摊在两组或三组中即可。二、教学实例分享【解答】首先把这8个数分解质因数。52=2213,57=319,65=513,69=323 95=519,28=227,9=33,161=723 可知这8个数的质因数含有2,3各4个,
15、5,7,13,19,23各2个。因此,要分的两组每组 应有质因数2,3各2个,5,7,13,19,23各1个。然后把这些数分摊在两个组里,注意搭配。因此,52161995=28696557二、教学实例分享【例6-16】100以内有6个约数的数有哪些?二、教学实例分享因此,52161995=28696557三、本课小结除了能被1和自身 整除外,还能被其他整数整除的正整数称为合数只能被1和自身整除的正整数称为质数1既不是质数,也不是合数,是正整数的基 本单位正整数也 可以按照约数的个数进行分类正整数可以按照不同的特性进行分类,如以能否被2整除分成奇数和偶数。一个数的因数中是质数的数,称为这个数的质
16、因数。把一个合数用质因数相乘的 形式表示出来,称为分解质因数。思考与练习(2)一个分母是最小质数的真分数,如果这个分数的分子加上4,分母加上8得到一个新 分数,那么这两个分数的和是 。(1)30以内的5个连续自然数中都是合数的有 。(3)两个质数的和是39,这两个质数的积是多少?思考与练习(5)用辗转相除法求 336,264。(4)判断359是否是质数。(6)两个自然数的和是70,它们的最大公约数是7,这两个数的差是多少?(7)若a+b=27748,a,b=6937,求a,b(8)如果一个正整数有4个不同的质因数,那么这样的正整数中最小的是多少?思考与练习(9)有12米长的木料12根,18米长
17、的木料9根,24米长的木料10根。现在要把它们 锯成一样长的木料,而且不能有剩余,则锯下的木料最长可以是多少米一根?一共可锯成多 少根?(10)小明家的电话号码是个七位数,它恰好是几个连续的质数的乘积,这个积的末四位 数是前三位数的10倍,小明家的电话号码是多少?第四节同 余 理 论一、主要理论1.同余的概念Lorem ipsum dolor 若整数a和b除以m 所得的余数相同,则称a和b对模m 同余,记作ab(modm),读 作a同余于b模m。同余表示三个数a,b和m 之间的关系,正整数m 起着同余标准的作用,因而通常称之 为模,关系式ab(modm)称为模m 的同余式,或简称为同余式。若整
18、数a和b除以m 所得的余数不同,则称a和b对模m 不同余,记作ab(modm)。一、主要理论定理1整数a和b对模m 同余的充要条件是m|(a-b)。一、主要理论2.同余的基本性质性质1证明:(1)a-a=0m|a-aaa(modm)。(2)ab(modm)m|a-bm|b-aba(modm)一、主要理论性质2性质3二、教学实例分享【例6-17】每一个整数a恰与0,1,2,m-1中的某一个数对于模m 同余。【分析】证明:由带余数除法可知,对于a和m,有且仅有两个整数q和r,使a=mq+r,0r m。即m|a-rar(modm),0rm。由于q和r是唯一的,因此结论成立。二、教学实例分享【分析】要求出3406的个位数,即求3406除以10的余数是多少。二、教学实例分享【例6-19】用同余证明:(1)能被2或5整除的数的特征。(2)能被3或9整除的数的特征。【分析】首先将一个多位数写成和的形式,再用同余的性质(可幂性、可乘性、可加性)加以证明。二、教学实例分享三、本课小结通过同余的概念、同余的等价条件推出相应的性质,在例题的讲解中我们悟出同余思想 方法对简化解题过程大有裨益,从而获得更多的解题乐趣。思考与练习(4)用同余证明被4或25整除的数的特征。谢 谢 观 看