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1、不等式中的恒成立问题探索一、 选择题1已知，则下列不等式中恒成立的是( )A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【解析】选项：若，则，；此时，可知错误；选项：若，则，可知错误；选项：，则；若，则，可知错误；选项：若，根据不等式性质可知，正确.本题正确选项：2若，则下列不等式不恒成立的是( )ABCD【答案】C【解析】对于A，由得恒成立对于B，由可知恒成立对于C，由于，故当时，不成立，所以C不恒成立对于D，由得，所以恒成立故选C3已知,下列不等式中成立的是（ ）ABCD【答案】A【解析】A选项，因为，所以.当时即不满足选项B,C,D.故选A.4下列命题中，正确的是( )A若，则B若，则C若，
2、则D若，则【答案】D【解析】时，若，则，排除；时，成立，不成立，排除；时，成立，不成立，排除；故选D.5已知正实数满足，若对任意满足条件的，都有恒成立，则实数的最大值为( )AB7CD8【答案】B【解析】 ，且，故，整理即，又均为正实数，故，又对于任意满足的正实数，均有恒成立，整理可得恒成立，令，令，时所以在上递增，因此，实数的最大值为7，故选B.6若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）A或B或CD【答案】C【解析】解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式对一切实数都成立，则，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.7已知，不等式的解集为.若对任意的，恒成立，则的取值范围是（
3、）ABCD【答案】D【解析】由题得，所以b=4,c=6.所以.因为对任意的，恒成立，所以对任意的，恒成立，因为y=在-1,0上的最大值为4.所以m4.故选：D8在上定义运算，若存在使不等式成立，则实数的取值范围为 ABCD【答案】C【解析】令 因为 即 也就是在时，取最大值为6所以 解得 故选C9若关于x的一元二次不等式的解集为R，则实数a的取值范围是()ABCD【答案】B【解析】由题，因为为一元二次不等式，所以 又因为的解集为R所以 故选B10不等式的解集为，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】当时，不等式即，恒成立当时，由题意可得，且，解得综上，实数的取值范围是，故选C11在R上
4、定义运算，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意可得：即：对任意恒成立 设则（当且仅当，即时取等号）即 ，即本题正确选项：12若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：当时，即，若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集，符合题意；若时，原不等式为，无解，不符合题意；当时，即，若的解集是空集，则有，解可得，则当不等式的解集不为空集时，有或且，综合可得：实数的取值范围为；故选C二、填空题13已知，若不等式恒成立，求的最大值为_.【答案】【解析】不等式恒成立,则恒成立.因为，当且仅当
5、时等号成立，所以，即的最大值为.14若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】不等式可化为，令，则对于，不等式恒成立，等价于，因为恒成立，所以为上的增函数，所以，解得，故答案为.15关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由题得，因为，所以.当且仅当x=-1时得到等号.所以a-2.故答案为：16有下面四个不等式： ；其中恒成立的有_个【答案】2【解析】解：因为2（a2+b2+c2）2（ab+bc+ca）（ab）2+（bc）2+（ca）20，所以a2+b2+c22（ab+bc+ca）成立，所以正确因为，所以正确当a，b同号时有，当a，b异号时，所以错误a
6、b0时，不成立.其中恒成立的个数是2个三、解答题17已知函数（1）解不等式；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1） 或所求不等式解集为：（2）当时，可化为：又（当且仅当，即时取等号） 即的取值范围为：18已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）当时，对任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】 (1)因为的解集为，所以关于的方程的两个根为.所以，解得.(2)由题意得对任意恒成立，所以，解得，即的取值范围是.19已知函数，满足 ， ，且函数的值域为 （）求函数的解析式；（）设函数，对任意 ，存在 ，使得 求的取值范围
7、【答案】（）；（）.【解析】（）根据，可得 由函数的值域为 知，方程，判别式 ，即 .又 ， ，即 ，解得：， （）由（）可得f(x)的对称轴为，则当时， 取得最大值为9，若对任意，存在，使得 ，即，即 对任意恒成立设 ，则，即，解得 的取值范围是20已知函数（a为常数）（1）求不等式的解集；（2）当a0时，若对于任意的 3，4，恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）见解析（2）a【解析】解：（1）不等式化为，即，a=0时，不等式变为，解得1； a0时，不等式变为，若a2，则1，解得1或， 若a=2，则=1，解得1， 若0a2，则1，解得或1； a0时，不等式变为（ -）（ -1）0，解得1
8、； 综上所述， =0时，不等式的解集为（-，1）；0a2时，不等式的解集（-，1）（，+）；a=2时，不等式的解集（-，1）（1，+）；a2时，不等式的解集（-，）（1，+）；a0时，不等式的解集（，1）； （2）由（1）知：0a2时，（-，1）（，+），需3，4（-，1）（，+），3，即23a，解得2a；a=2时，（-，1）（1，+），符合条件； a2时，（-，）（1，+），符合条件；综上所述，符合条件的a的取值范围是a21已知函数.（1）当时，求不等式 的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以.所以，即，解得或.故不等式的解集为.（2）当时，不等式恒成立等价于在上恒成立.因为，所以，则.当且仅当，即时，等号成立.故的取值范围为.