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1、2023年高考数学之平面向量专题突破2023年高考数学之平面向量专题突破专题十平面向量与三角形的四心三角形四心的向量式三角形“四心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为ABC的重心0(2)O为ABC的外心|sin 2Asin 2Bsin 2C0(3)O为ABC的内心abc0 sin Asin Bsin C0(4)O为ABC的垂心 tan Atan Btan C0关于四心的概念及性质：(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等在平面直
2、角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数即G为ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G重心到三角形3个顶点距离的平方和最小(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)性质：三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r，特别地，在RtABC中，C=90，(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)性质：外心到三角形各顶点的距离相等考点一三角形四心的判断【例题选讲】例1 (1)
3、 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足(1)(1)(12)，R，则点P的轨迹一定经过()AABC的内心BABC的垂心CABC的重心DAB边的中点答案C解析取AB的中点D，则2，(1)(1)(12)，2(1)(12)，而1，P，C，D三点共线，点P的轨迹一定经过ABC的重心(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_答案内心解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心(3)在ABC中，设222，那么动点M的轨迹必经过ABC的()A垂
4、心B内心C外心D重心答案C解析设BC边中点为D，222 ，()()2 ，即，0，则，即MDBC，MD为BC的垂直平分线，动点M的轨迹必经过ABC的外心，故选C(4)已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A重心B垂心C外心D内心答案B解析因为()，所以()，所以()(|)0，所以，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过ABC的垂心(5)已知的内角、的对边分别为、，为内一点，若分别满足下列四个条件：，则点分别为的A外心、内心、垂心、重心B内心、外心、垂心、重心C垂心、内心、重心、外心D内心、垂心、外心、重心答
5、案D(6)下列叙述正确的是_为的重心为的垂心为的外心为的内心答案解析为的重心，正确；由，同理，正确；， 与角的平分线平行，必然落在角的角平分线上，错误；为的外心，错误正确的叙述是故答案为：【对点训练】1已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心B外心C重心D垂心2是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，且，则点的轨迹一定通过的()A内心B外心C重心D垂心3已知O是ABC所在平面上的一定点，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心B外心C重心D垂心4为所在平面内一点，为的角，若，则
6、点为的()A垂心B外心C内心D重心5在中，则直线通过的A垂心B外心C内心D重心6已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的A重心B外心C内心D垂心7设的角、的对边长分别为，是所在平面上的一点，则点是的A重心B外心C内心D垂心8已知是所在平面上一点，若，则是的( )A重点B外心C内心D垂心9P是ABC所在平面内一点，若，则P是ABC的()A外心B内心C重心D垂心10若为所在平面内一点，且则点是的()A外心B内心C重心D垂心11已知是所在平面内一点，且满足，则点A在边的高所在的直线上B在平分线所在的直线上C在边的中线所在的直线上D是的外心12已知为所在平面内一点，且满足，则点的轨迹一定通过的A外
7、心B内心C重心D垂心13已知，在所在的平面内，且，且，则，分别是的A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心14点是平面上一定点，、是平面上的三个顶点，以下命题正确的是_（把你认为正确的序号全部写上）动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中考点二三角形四心的应用【例题选讲】例2 (1)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若abc0，则A_答案解析由G为ABC的重心知0
8、，则，因此a b c()0，又，不共线，所以acbc0，即abc由余弦定理得cos A，又0A，所以A(2)在ABC中，ABBC2，AC3，设O是ABC的内心若pq，则_答案解析如图，O为ABC的内心，D为AC中点，则O在线段BD上，cosDAO，根据余弦定理cosBAC；由pq得p2q，所以cosBAOp2qcosBAC，所以34pq；同理pq2，所以可以得到p9q 联立可求得p，q，所以(3)已知在ABC中，AB1，BC，AC2，点O为ABC的外心，若xy，则有序实数对(x，y)为()ABCD答案A解析取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则，(xy)y，(xy)x由，得2y0，由
9、，得2x0，又因为2()2222，所以，把代入、得解得x，y故实数对(x，y)为(4)在ABC中，O是ABC的垂心，点P满足：32，则ABP的面积与ABC的面积之比是_答案解析如图，设AB的中点为M，设，则N是AB的中点，点N与M重合，故由32，可得22，即22，也即2，由向量的共线定理可得C、P、M共线，且MPMC，所以结合图形可得ABP的面积与ABC的面积之比是(5)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理设点O，H分别是的外心、垂心，且为中点，则ABCD答案D解析
10、如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，为的外心，即为斜边的中点，又为中点，为中点， 故选D 【对点训练】1在ABC中，O为ABC的重心，AB2，AC3，A60，则_2设G为ABC的重心，且sinAsinBsinC0，则B的大小为_3已知ABC的三个内角为A，B，C，重心为G，若2sin Asin B3sin C0，则cos B_4在ABC中，AB1，ABC60，1，若O是ABC的重心，则_5过ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，n，则n的值为_6已知ABC和点M满足0，若存在实数m，使得m成立，则m等于()A2B3C4D57已知O是ABC内一点，0，2且BAC60，则OBC的面
11、积为()ABCD8已知在ABC中，点O满足0，点P是OC上异于端点的任意一点，且mn，则mn的取值范围是_9已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A30B60C90D12010已知O是ABC的外心，|4，|2，则()()A10B9C8D611若点P是ABC的外心，且0，ACB120，则实数的值为()ABC1D112ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若0，且|，则等于()ABC3D213若ABC的面积为，2，则ABC外接圆面积的最小值为()ABC2D14已知O为锐角ABC的外心，|3，|2，若xy，且9x12y8，记I1，I2，I3，则()AI2I1I3BI3I2I1CI
12、3I1I2DI2I3I115已知O是ABC的外心，C45，则mn(m，nR)，则mn的取值范围是()A，B，1)C，1D(1，16已知点G是ABC的外心，是三个单位向量，且20，ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，如图所示，点O是坐标原点，则|的最大值为()A1B2C3D417在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为ABC的外接圆的圆心，A，且，则的最大值为_18已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则的最大值为()A2B3C4D519已知是锐角三角形的外接圆的圆心，且，若，则m() ABCD不能确定20在中，分别为的重心和外心，
13、且，则的形状是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D上述三种情况都有可能21在中，若点为的内心，则的值为A2BC3D22设O是ABC的内心，ABc，ACb，若12，则()ABCD23在ABC中，AB5，AC6，cos A，O是ABC的内心，若xy，其中x，y0，1，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()ABC4D624在ABC中，已知向量与满足0，且，则ABC为()A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形25外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，则实数的值()AB2C1D专题十平面向量与三角形的四心三角形四心的向量式三角形“四心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面
14、上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为ABC的重心0(2)O为ABC的外心|sin 2Asin 2Bsin 2C0(3)O为ABC的内心abc0 sin Asin Bsin C0(4)O为ABC的垂心 tan Atan Btan C0关于四心的概念及性质：(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数即G为ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G重心到三角形3个顶点距离的平方和最小(2)垂心：
15、三角形的垂心是三角形三边上的高的交点性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)性质：三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r，特别地，在RtABC中，C=90，(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)性质：外心到三角形各顶点的距离相等考点一三角形四心的判断【例题选讲】例1 (1) 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足(1)(1)(12)，R，则点P的轨迹一定经过()AABC的内心BABC的垂心CABC的重心DAB边的中点答
16、案C解析取AB的中点D，则2，(1)(1)(12)，2(1)(12)，而1，P，C，D三点共线，点P的轨迹一定经过ABC的重心(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_答案内心解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心(3)在ABC中，设222，那么动点M的轨迹必经过ABC的()A垂心B内心C外心D重心答案C解析设BC边中点为D，222 ，()()2 ，即，0，则，即MDBC，MD为BC的垂直平分线，动点M的轨迹必经过ABC的外心，故选C(4)已知O
17、是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A重心B垂心C外心D内心答案B解析因为()，所以()，所以()(|)0，所以，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过ABC的垂心(5)已知的内角、的对边分别为、，为内一点，若分别满足下列四个条件：，则点分别为的A外心、内心、垂心、重心B内心、外心、垂心、重心C垂心、内心、重心、外心D内心、垂心、外心、重心答案D(6)下列叙述正确的是_为的重心为的垂心为的外心为的内心答案解析为的重心，正确；由，同理，正确；， 与角的平分线平行，必然落在角的角平分线上，错误；为的外心，错误正确
18、的叙述是故答案为：【对点训练】1已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心B外心C重心D垂心1答案C解析由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心2是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，且，则点的轨迹一定通过的()A内心B外心C重心D垂心2答案C解析设的中点为由已知原式可化为即，所以，所以，三点共线所以点在边的中线上故点的轨迹一定过的重心3已知O是ABC所在平面上的一定点，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一
19、定通过ABC的()A内心B外心C重心D垂心3答案C解析|AB|sin B|AC|sin C，设它们等于t，()，设BC的中点为D，则2，()表示与共线的向量，而点D是BC的中点，即AD是ABC的中线，点P的轨迹一定通过三角形的重心故选C4为所在平面内一点，为的角，若，则点为的()A垂心B外心C内心D重心4答案C解析由正弦定理得，即，由上式可得，所以，所以与的平分线共线，即在的平分线上，同理可证，也在，的平分线上，故是的内心5在中，则直线通过的A垂心B外心C内心D重心5答案C解析，即，设，则，由向量加法的平行四边形法则可知，四边形为菱形为菱形的对角线，平分直线通过的内心故选C6已知所在的平面上的
20、动点满足，则直线一定经过的A重心B外心C内心D垂心6答案C解析，根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上，而向量与共线，点的轨迹过的内心，故选C7设的角、的对边长分别为，是所在平面上的一点，则点是的A重心B外心C内心D垂心7答案C解析因为，所以，所以，所以，所以，所以是的平分线，是的平分线，所以点是的内心，故选C8已知是所在平面上一点，若，则是的( )A重点B外心C内心D垂心8答案B解析9P是ABC所在平面内一点，若，则P是ABC的()A外心B内心C重心D垂心9答案D解析由，可得()0，即0，同理可证，P是ABC的垂心10若为所在平面内一点，且则点是的()A外心B内心C重心D垂心10
21、答案D解析11已知是所在平面内一点，且满足，则点A在边的高所在的直线上B在平分线所在的直线上C在边的中线所在的直线上D是的外心11答案A解析取的中点，则，点在边的高所在的直线上，故选A12已知为所在平面内一点，且满足，则点的轨迹一定通过的A外心B内心C重心D垂心12答案D解析，、，由，得，即，则，是的垂心故选D13已知，在所在的平面内，且，且，则，分别是的A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心13答案C14点是平面上一定点，、是平面上的三个顶点，以下命题正确的是_（把你认为正确的序号全部写上）动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；动点满足，则的内心一定在
22、满足条件的点集合中；动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中14答案解析对于，动点满足，则点是的心，故正确；对于，动点满足，又在的平分线上，与的平分线所在向量共线，的内心在满足条件的点集合中，正确；对于，动点满足，过点作，垂足为，则，向量与边的中线共线，因此的重心一定在满足条件的点集合中，正确；对于，动点满足，的垂心一定在满足条件的点集合中，正确；对于，动点满足，设，则，由知，点的轨迹为过的的垂线，即的中垂线；的外心一定在满足条件的点集合，正确故正确的命题是考点二三角形四心的应用【例题选讲】例2 (1)在
23、ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若abc0，则A_答案解析由G为ABC的重心知0，则，因此a b c()0，又，不共线，所以acbc0，即abc由余弦定理得cos A，又0A，所以A(2)在ABC中，ABBC2，AC3，设O是ABC的内心若pq，则_答案解析如图，O为ABC的内心，D为AC中点，则O在线段BD上，cosDAO，根据余弦定理cosBAC；由pq得p2q，所以cosBAOp2qcosBAC，所以34pq；同理pq2，所以可以得到p9q 联立可求得p，q，所以(3)已知在ABC中，AB1，BC，AC2，点O为ABC的外心，若xy，则有序实数对(x，y)为()A
24、BCD答案A解析取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则，(xy)y，(xy)x由，得2y0，由，得2x0，又因为2()2222，所以，把代入、得解得x，y故实数对(x，y)为(4)在ABC中，O是ABC的垂心，点P满足：32，则ABP的面积与ABC的面积之比是_答案解析如图，设AB的中点为M，设，则N是AB的中点，点N与M重合，故由32，可得22，即22，也即2，由向量的共线定理可得C、P、M共线，且MPMC，所以结合图形可得ABP的面积与ABC的面积之比是(5)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线被
25、称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理设点O，H分别是的外心、垂心，且为中点，则ABCD答案D解析如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，为的外心，即为斜边的中点，又为中点，为中点， 故选D 【对点训练】1在ABC中，O为ABC的重心，AB2，AC3，A60，则_1答案4解析设BC边中点为D，则，()， ()(32cos 6032)42设G为ABC的重心，且sinAsinBsinC0，则B的大小为_2答案60解析G是ABC的重心，0，()，将其代入sinAsinBsinC0，得(sinBsinA)(sinCsinA)0又，不共线，sinBsinA0，sinCsinA0，则sinBsinA
26、sinC根据正弦定理知bac，三角形ABC是等边三角形，则角B60秒杀G为ABC的重心，0，又sinAsinBsinC0，sinAsinBsinC，三角形ABC是等边三角形，则角B603已知ABC的三个内角为A，B，C，重心为G，若2sin Asin B3sin C0，则cos B_3答案解析设a，b，c分别为角A，B，C所对的边，由正弦定理得2ab3c0，则2ab3c3c()，即(2a3c) (b3c) 0又，不共线，所以由此得2ab3c，所以ab，cb，于是由余弦定理得cos B秒杀G为ABC的重心，0，又2sin Asin B3sin C0，2sinAsinB3sinC，2ab3c，所以
27、ab，cb，于是由余弦定理得cos B4在ABC中，AB1，ABC60，1，若O是ABC的重心，则_4答案5解析如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系AB1，ABC60，A设C(a，0)1，1，解得a4O是ABC的重心，延长BO交AC于点D，()55过ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，n，则n的值为_5答案解析因为O是重心，所以0，即，()，nn()n(1n) ，因为P，O，Q三点共线，所以，所以(1n)n，解得n6已知ABC和点M满足0，若存在实数m，使得m成立，则m等于()A2B3C4D56答案B解析0，M为ABC的重心连接AM并延长交BC于D，则
28、D为BC的中点又()，()，即3，m3，故选B7已知O是ABC内一点，0，2且BAC60，则OBC的面积为()ABCD7答案A解析0，O是ABC的重心，于是SOBCSABC2，|cosBAC2，BAC60，|4又SABC|sinBAC，OBC的面积为，故选A8已知在ABC中，点O满足0，点P是OC上异于端点的任意一点，且mn，则mn的取值范围是_8答案(2，0)解析依题意，设 (01)，由0，知()，所以，由平面向量基本定理可知，mn2，所以mn(2，0)9已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A30B60C90D1209答案B解析由0，知点O为ABC的重心，又O为ABC
29、外接圆的圆心，ABC为等边三角形，A6010已知O是ABC的外心，|4，|2，则()()A10B9C8D610答案A解析作OSAB，OTACO为ABC的外接圆圆心S、T为AB，AC的中点，且0，0，()()()|2|28210故选A优解：不妨设A90，建立如图所示平面直角坐标系设B(4，0)，C(0，2)，则O为BC的中点O(2，1)，2，()2|22(41)10故选A11若点P是ABC的外心，且0，ACB120，则实数的值为()ABC1D111答案C解析设AB的中点为D，则2因为0，所以20，所以向量，共线又P是ABC的外心，所以PAPB，所以PDAB，所以CDAB因为ACB120，所以AP
30、B120，所以四边形APBC是菱形，从而2，所以20，所以1，故选C12ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若0，且|，则等于()ABC3D212答案C解析0，故点O是BC的中点，且ABC为直角三角形，又ABC的外接圆的半径为1，|，BC2，AB1，CA，BCA30，|cos 302313若ABC的面积为，2，则ABC外接圆面积的最小值为()ABC2D13答案B解析设ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c由题意可得bcsin A，bccos A2，tan A又A(0，)，Abccos2，即bc4由余弦定理可得a2b2c22bccos Ab2c2bcbc4，即a2又由正弦定理得2R(R为A
31、BC外接圆的半径)，2Rsin Aa2，即R2，R2，三角形外接圆面积的最小值为14已知O为锐角ABC的外心，|3，|2，若xy，且9x12y8，记I1，I2，I3，则()AI2I1I3BI3I2I1CI3I1I2DI2I3ACAB在ABC中，由大边对大角得，BACABCACB，BOCAOCAOB，|，且余弦函数在(0，)上为减函数，即I2I3I115已知O是ABC的外心，C45，则mn(m，nR)，则mn的取值范围是()A，B，1)C，1D(1，15答案B解析由题意C45，所以AOB90，以OA，OB为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设A(1,0)，B(0,1)，则C在圆O的优弧AB上
32、，设C(cos，sin)，则，显然cos sin ，即mcos，nsin，mncossinsin，由于，所以， sin，所以mn，1)，故选B16已知点G是ABC的外心，是三个单位向量，且20，ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，如图所示，点O是坐标原点，则|的最大值为()A1B2C3D416答案B解析因为点G是ABC的外心，且20，所以点G是BC的中点，ABC是直角三角形，且BAC是直角又，是三个单位向量，所以BC2，又ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，在RtBOC中，OG是斜边BC上的中线，则|OG|BC|1，所以点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧又|1，所以当OA经过BC的中点G时，|取得最大值，且最大值为2|217在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为ABC的外接圆的圆心，A，且，则的最大值为_17答案解析ABC是锐角三角形，O在ABC的内部，01,01由()()，得(1)，两边平方后得，(1)22()222222，A，BOC，又|(1)222，132()，0