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1、第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 1.3 1.3 频率与概率频率与概率上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 1.3 1.3 频率与概率频率与概率 内容简介内容简介:通过借助于熟悉的频率及通过借助于熟悉的频率及其性质其性质,引出概率的统计定义引出概率的统计定义,建立概率的建立概率的公理化定义公理化定义,在此概念基础上在此概念基础上,研究概率的研究概率的有限可加性、差事件和对立事件的概率计有限可加性、差事件和对立事件的概率计算公式、概率加法公式等重要理论。算公式、概率加法公式等重要理论。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回
2、1.3.1 1.3.1 提出问题提出问题 1.1.大量的重复试验后大量的重复试验后,事件发生事件发生的可能性有大有小的可能性有大有小,怎样来认识和刻怎样来认识和刻画它？画它？2.2.频率，我们比较熟悉。它和概率有关频率，我们比较熟悉。它和概率有关系吗系吗?可以给我们哪些启示呢？可以给我们哪些启示呢？1.3.3 1.3.3 预备知识预备知识 1.1.频数频数,频率频率,掷币试验的频率掷币试验的频率.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 我们观察一项随机试验所发生我们观察一项随机试验所发生的各个事件的各个事件,就其一次具体的试验就其一次具体的试验而言而言,每一事件出现与否都带有很每一事
3、件出现与否都带有很大的偶然性大的偶然性,似乎没有规律可言似乎没有规律可言.但是在但是在大量的重复试验大量的重复试验后后,就会发现就会发现:某某些事件发生的可能性大些些事件发生的可能性大些,另外一些事件发生另外一些事件发生的可能性小些的可能性小些,而有些事件发生的可能性大致而有些事件发生的可能性大致相同相同.1.3.3 1.3.3 问题分析问题分析 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 比如比如,一个箱子中装有一个箱子中装有100100只产品只产品,其中其中9595只是合格品只是合格品,5,5只是次品只是次品.从其中任意从其中任意拿出一只拿出一只,则拿到合格品的可能性就比拿到则拿到合
4、格品的可能性就比拿到次品的可能性大次品的可能性大.假如这假如这100100只产品中的合只产品中的合格品与次品都是格品与次品都是5050只只,则拿到合格品与拿到则拿到合格品与拿到次品的可能性就大致相同次品的可能性就大致相同.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 所以所以,一个事件发生的可能性大小是它一个事件发生的可能性大小是它本身所固有的一种客观的度量本身所固有的一种客观的度量.很自然很自然,人们希望用一个数来描述事件发生的可能性人们希望用一个数来描述事件发生的可能性大小大小,而且而且事件发生可能性大的事件发生可能性大的,这个数就大这个数就大;事件发生可能性小的事件发生可能性小的,这
5、个数就小这个数就小.为此为此,我们引入熟悉的我们引入熟悉的“频率频率”的概念的概念,它描述了事件在它描述了事件在多次多次试验中发生的频繁程度试验中发生的频繁程度,进而引出表征事件在进而引出表征事件在一次一次试验中发生的可能试验中发生的可能性大小的数量指标性大小的数量指标概率概率.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 定义定义1 1 在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n次试验次试验,在这在这n次试验中，事件次试验中，事件A发生的次数发生的次数nA称为事称为事件件A发生的发生的频数频数；比值；比值 称为事件称为事件A A发生的发生的频率频率,并记为并记为fn(A).1.1.频
6、率频率上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 引例引例 在同样条件下在同样条件下,多次抛一枚质地均匀的多次抛一枚质地均匀的硬币硬币,考察考察“正面朝上正面朝上”的次数的次数,这个试验在这个试验在历史上曾经有多人做过历史上曾经有多人做过,得到如表得到如表1-2所示的数据所示的数据.表表1-2 掷硬币试验数据掷硬币试验数据 频率频率0.50774096180640罗曼诺夫斯基罗曼诺夫斯基0.50051201224000皮尔逊皮尔逊0.5016601912000皮尔逊皮尔逊0.508020484040蒲蒲 丰丰出现正面次数出现正面次数nA(频数频数)投掷次数投掷次数n实验者实验者 上例中频
7、率在上例中频率在0.50.5附近摆动附近摆动,n增大时增大时,逐渐逐渐稳定于稳定于0.50.5.实验者实验者 资料资料上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 频率具有下列性质：频率具有下列性质：性质性质1 1 非负性非负性:0fn(A)1.性质性质2 2 规范性规范性:设设为必然事件为必然事件,则则fn()=1.经验表明：虽然经验表明：虽然n次试验中次试验中,事件事件A出现出现的次数的次数nA不确定不确定,事件事件A的频率不确定的频率不确定,但当但当试验次数充分多时试验次数充分多时,事件事件A出现的出现的频率在一个频率在一个常数附近摆动常数附近摆动.用这个常数来表示事件用这个常数来表
8、示事件A发发生的可能性大小比较恰当生的可能性大小比较恰当.这是我们下面将这是我们下面将给出概率统计定义的客观基础给出概率统计定义的客观基础.性质性质3 3 可加性可加性:若若A,B互不相容互不相容,则则 fn(AB)=fn(A)+fn(B).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 2.2.概率的统计定义概率的统计定义 定义定义2 2 在试验条件不变的情况下，重复作在试验条件不变的情况下，重复作n次试验，事件次试验，事件A发生的频率稳定在某一常数发生的频率稳定在某一常数p附近摆动，则称这个常数附近摆动，则称这个常数p为事件为事件A在一次试验在一次试验中发生的中发生的概率概率，记作，记作
9、P(A).即即P(A)=p.数数P(A)就是在就是在一次试验一次试验中对事件中对事件A发生的发生的可能性大小的一种数量描述可能性大小的一种数量描述.我们习惯称我们习惯称定义定义2 2是概率的统计定义是概率的统计定义.例如例如,在引例中就可以用在引例中就可以用0.50.5来描述掷一枚匀质硬币来描述掷一枚匀质硬币“正面朝上正面朝上”出现出现的的可能性大小可能性大小.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 用概率的统计定义来估计概率的方法用概率的统计定义来估计概率的方法,在过去和现在解决了不少问题在过去和现在解决了不少问题,但它们但它们在理论上存在缺陷在理论上存在缺陷,在应用上也有局限性在
10、应用上也有局限性.例如例如,在实际问题中往往无法满足概率在实际问题中往往无法满足概率统计定义中要求的试验次数的统计定义中要求的试验次数的“充分大充分大”,也也不清楚试验次数应该大到什么程度不清楚试验次数应该大到什么程度,因此因此概率概率的统计定义不能作为数学意义上的定义的统计定义不能作为数学意义上的定义.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回讲评讲评 “频率频率”与与“概率概率”的区别：的区别：(1)(1)事件的频率与概率有着本质区别事件的频率与概率有着本质区别:频率具有随机波动性频率具有随机波动性,是一个变数是一个变数;而概率是而概率是一个常数一个常数,具有客观性具有客观性.(2)
11、2)概率的统计定义只是一种描述概率的统计定义只是一种描述,它指它指出了事件的概率是客观存在的出了事件的概率是客观存在的,随着试验次数随着试验次数的增加的增加,频率在概率附近摆动频率在概率附近摆动.因此因此,在实际问在实际问题中题中,当试验的次数当试验的次数n很大时很大时,频率通常作为概频率通常作为概率的近似值率的近似值.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回1.3.4 1.3.4 建立理论建立理论 定义定义3 3 设设E是随机试验是随机试验,是是E的样本空间的样本空间,若对于若对于E的每一随机事件的每一随机事件A,有确定的实数有确定的实数P(A)与之对应与之对应,如果集合函数如果集合
12、函数P()满足下列条件：满足下列条件：(1)(1)非负性：非负性：对于每一事件对于每一事件A,有有0P(A)；(2)2)规范性：规范性：对必然事件对必然事件,有有P()=1；(3)(3)可列可加性：可列可加性：对于两两互不相容的可列对于两两互不相容的可列无穷多个事件无穷多个事件A1,A2,An,有有 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)+(1.3.1)则则实数实数P(A)称为事件称为事件A的的概率概率.1.1.概率的公理化定概率的公理化定义义上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 对上面讲过的对上面讲过的“频率频率”定义、定义、“概率统计概率统计”定义都满足这个定义
13、中的条件定义都满足这个定义中的条件要求要求,它们都是这个一般定义范围内的特殊情它们都是这个一般定义范围内的特殊情形形.在第五章中将证明在第五章中将证明,当试验次数当试验次数n时频时频率率fn(A)在一定的意义下接近于概率在一定的意义下接近于概率P(A).因此因此,我们更我们更有理由将概率有理由将概率P(A)用来表征事件用来表征事件A在一在一次试验中发生的可能性的大小次试验中发生的可能性的大小.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回令An=,n=1,2,则则 概率的一些重要性质概率的一些重要性质:证证2.2.概率重要性质概率重要性质 =并且并且AiAj=(ij,i,j=1,2,).).
14、由概率的可列可由概率的可列可加性得加性得 P()=由概率的非负性知由概率的非负性知P()0,因此因此,由上式得到由上式得到 P()=0.性质性质4 P()=0.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 性质性质5 5(加法公式加法公式)对于两两互不相容的对于两两互不相容的n个事件个事件A1,A2,An,则有则有 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)(1.3.2)证证令An+1=An+2=,由假设即得由假设即得 AiAj=(ij,i,j=1,2,).P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An),(1.3.2)(1.3.2)式得证式得证.讲评讲评:关键词是关键词
15、是两两互不相容两两互不相容.一般情形见一般情形见(1.3.10)(1.3.10)式式.由概率的可列可加性由概率的可列可加性(1.3.1)得得上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 性质性质6 6(差事件概率差事件概率)设设A,B为两个事件为两个事件,若若A B,则有则有P(BA)=P(B)P(A).(1.3.6)(1.3.6)讲评讲评:关键词是关键词是A B.否则不成立否则不成立.这里隐含这里隐含 P(A)P(B).如若如若P(A)=,P(B)=,则则 P(B)-P(A)=一般情形一般情形是是概率减法公式概率减法公式 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB).上页上页下页下
16、页返回返回上页上页下页下页返回返回 由由A B知知B=A(BA),且且A(BA)=,由概率的有限可加性由概率的有限可加性(1.3.2)(1.3.2)得到得到 P(B)=P(A)+P(BA),移项移项,(1.3.6)(1.3.6)式得证式得证.证证 推论推论1 1(保序性保序性)若若A B,则则 P(A)P(B).证证 由概率的非负性由概率的非负性,得得P(BA)0.由由(1.3.6)(1.3.6)式得到式得到 P(A)P(B).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回性质性质7 7 对于任意事件对于任意事件A,都有都有P(A)1.证证 因为对于任意事件因为对于任意事件A,都有都有A ,
17、由概率由概率的保序性和规范性的保序性和规范性,得得P(A)P()=1.1.可见可见,对于任意事件对于任意事件A,概率的概率的有界关系有界关系为为 0P(A)1.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评:在计算用在计算用“至少至少”或或“至多至多”描述的描述的事件事件A的概率的概率P(A)时时,常常考虑事件常常考虑事件A的对立事件的对立事件 ,利用公式利用公式P(A)=1P()计算计算P(A).推广至推广至 P(A1A2An)=因为因为A =,由规范性和有限可加由规范性和有限可加性性(3.2)(3.2)得到得到 1=P()=P(A )=P(A)+P().移移项项,得到所证等式得
18、到所证等式.性质性质8 8(对立事件的概率对立事件的概率)设设 是是A的对立的对立 事件事件,则有则有 P()=1P(A).(1.3.8)证证 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 性质性质9 9(概率加法公式概率加法公式)对于任意的事件对于任意的事件A,B,有有 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).(1.3.9)证证 因为因为AB=A(BAB),且且A(BAB)=,及及AB B,由有限可加性由有限可加性(1.3.3)(1.3.3)和概率和概率减法公式减法公式(1.3.5)(1.3.5)得到得到 P(AB)=P(A)+P(BAB)=P(A)+P(B)P(AB).上页上页下页下
19、页返回返回上页上页下页下页返回返回 推论推论2 2 对任意的对任意的事件事件A,B,有有 P(AB)P(A)+P(B).证证 注意注意 加法公式加法公式在计算两个事件和的概率在计算两个事件和的概率时经常使用时经常使用.两个事件的加法公式面积解释两个事件的加法公式面积解释由性质由性质9 9 (1.3.9)(1.3.9)式得证式得证.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回对于对于n个事件个事件A1,A2,An有关系式有关系式P(A1A2A3An)+(-1)n+1 P(A1A2An).(1.3.10)推广推广：n个事件个事件A1,A2,An有关系式有关系式上页上页下页下页返回返回上页上页下
20、页下页返回返回 特别地特别地,设设A1,A2,A3是三个是三个事件事件,P(A1A2A3)P(A1A2)P(A1 A3)P(A2 A3)+P(A1 A2 A3)(1.3.11)式式(1.3.11)(1.3.11)是三个事件和的是三个事件和的概率加法公式概率加法公式.则有则有=P(A1)+P(A2)+P(A3)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 如果如果A1,A2,A3两两互斥两两互斥,则得到三个事件则得到三个事件和的和的加法公式加法公式 P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3).讲评讲评:对于一般情形对于一般情形,当事件当事件A1,A2,An两两两互斥时两互斥时,有
21、有加法公式加法公式(1.3.2),(1.3.2),即即 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评:本题的作用是训练用概率的性质本题的作用是训练用概率的性质计算概率计算概率.常用公式有常用公式有:(1)(1)对立事件概率公式对立事件概率公式(2)(2)加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).例例2 2 已知已知P(AB)=0.5,P(C)=0.2,P =0.4,求求 解解=1-0.5+(1-0.2)-0.4=0.1.=1-0.5+(1-0.2)-0.4=0.1.1.3.5 1.3.5 方法应用方法应用上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 设设A,
22、B,C分别表示分别表示居民订购居民订购A,B,C 报报事件事件,由题设知由题设知(1)(1)P(只订只订A及及B报的报的)=P(AB-C)=P(AB-ABC)=P(AB)-P(ABC)=0.1-0.03=0.07.例例1.3.1 某城市共发行某城市共发行A,B,C三种报纸三种报纸.调查表明调查表明,居民家庭中订购居民家庭中订购C报的占报的占30%,同时订购同时订购A,B两报的占两报的占10%,同时订购同时订购A报和报和C报或者报或者B报和报和C报的各占报的各占8%,5%,三种报纸都三种报纸都订的占订的占3%.今在该城中任找一户今在该城中任找一户,问问:(1):(1)该户该户只订只订A和和B两种
23、报纸的概率是多少两种报纸的概率是多少?(2)(2)该户只该户只订订C报的概率为多少报的概率为多少?解解 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 讲评讲评:易混点是易混点是“同时订购同时订购A报和报和B报报”与与“只订只订A报和报和B报报”.常用性质常用性质 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB),而不是而不是 P(A-B)=P(A)-P(B).(2)(2)P(只订只订C报的报的)=P(C-(AB)=P(C-C(AB)=P(C)-P(ACBC)=P(C)-P(AC)+P(BC)-P(ABC)=0.3-(0.08+0.05-0.03)=0.2.上页上页下页下页返回返回上页上页
24、下页下页返回返回1.3.6 内容小结内容小结提出问题提出问题 1.1.大量的重复试验后大量的重复试验后,事件发生的可能性事件发生的可能性有大有小有大有小,怎样来认识和描述它？怎样来认识和描述它？2.2.频率频率,我们比较熟悉我们比较熟悉.它和概率有关系它和概率有关系吗？可以为我们提示哪些启示呢？吗？可以为我们提示哪些启示呢？解决问题解决问题 1.1.用频率的稳定值，用概率来刻画用频率的稳定值，用概率来刻画.2.2.频率是概率的实际来源，概率是频率频率是概率的实际来源，概率是频率的理论提升的理论提升.概率是频率的稳定值，频率可以概率是频率的稳定值，频率可以作为概率的近似值作为概率的近似值.1.3
25、.7 1.3.7 习题布置习题布置 习题习题1.3 2、3、5.参考文献与联系方式参考文献与联系方式1 郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝成冯宝成.概率论与数理统计概率论与数理统计.大连大连理理 工大学出版社，工大学出版社，2015年年8月月.2 郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏.概率论与数理统计学习指概率论与数理统计学习指 导书导书.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.3 郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健.光盘：概率论与数光盘：概率论与数理理 统计教案统计教案 作业与试卷及答案作业与试卷及答案 数学实验视频数学实验视频.大大 连理工大学出版社，连理工大学出
26、版社，2015年年8月月.4 王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强.概率论与数理统计教学实验概率论与数理统计教学实验 教材教材.中国科学技术出版社，中国科学技术出版社，2007年年7月月.联系方式联系方式： 蒲丰蒲丰（G.L.L.Buffon,1707G.L.L.Buffon,170717881788），），英国博物学家，著有自然史（英国博物学家，著有自然史（1 13636卷）；卷）；皮尔逊皮尔逊（K.Pearson,1857K.Pearson,185719361936），英国），英国统计学家，现代统计学的创始人之一；统计学家，现代统计学的创始人之一；罗曼诺夫斯罗曼诺夫斯（W.Y.Romanovski,1879W.Y.Romanovski,187919541954），乌兹别克统计学家），乌兹别克统计学家.柯尔莫戈洛夫柯尔莫戈洛夫（.,1903.,190319871987），），著名俄罗斯数学家，莫斯科大学教授，前苏联科学著名俄罗斯数学家，莫斯科大学教授，前苏联科学院院士，概率论和函数论一个学派的奠基人院院士，概率论和函数论一个学派的奠基人.