矩阵分析(第三章)..ppt

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1、矩阵分析矩阵分析主讲教师：魏丰北京理工大学高数教研室 第三章第三章 内积空间，正规矩阵与内积空间，正规矩阵与H-阵阵定义：定义：设设 是实数域是实数域 上的上的 维线性空间，维线性空间，对于对于 中的任意两个向量中的任意两个向量 按照某一确按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为定法则对应着一个实数，这个实数称为 与与 的的内积内积，记为，记为 ，并且要求，并且要求内积满足下列运算条件：内积满足下列运算条件：北京理工大学高数教研室这里这里 是是 中任意向量，中任意向量，为任意实数为任意实数，只有当，只有当 时时 ，我们称带有，我们称带有这样内积的这样内积的 维线性空间维线性空间 为为欧氏空

2、间。欧氏空间。例例 1 在在 中，对于中，对于规定规定容易验证容易验证 是是 上的一个内积，从上的一个内积，从而而 成为一个欧氏空间。如果规定成为一个欧氏空间。如果规定北京理工大学高数教研室容易验证容易验证 也是也是 上的一个内积上的一个内积，这样，这样 又成为另外一个欧氏空间。又成为另外一个欧氏空间。例例 2 在在 维线性空间维线性空间 中，规定中，规定容易验证这是容易验证这是 上的一个内积，这样上的一个内积，这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。对于这个内积成为一个欧氏空间。例例 3 在线性空间在线性空间 中，规定中，规定北京理工大学高数教研室容易验证容易验证 是是 上的一个内积，上的一个内

3、积，这样这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。对于这个内积成为一个欧氏空间。定义：定义：设设 是复数域是复数域 上的上的 维线性空间，维线性空间，对于对于 中的任意两个向量中的任意两个向量 按照某一确定按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为法则对应着一个复数，这个复数称为 与与 的的内积内积，记为，记为 ，并且要求内积满足下，并且要求内积满足下列运算条件：列运算条件：北京理工大学高数教研室这里这里 是是 中任意向量，中任意向量，为任意复数为任意复数，只有当，只有当 时时 ，我们称带有，我们称带有这样内积的这样内积的 维线性空间维线性空间 为为酉空间。酉空间。欧氏欧氏空间与酉空间通称为空间与

4、酉空间通称为内积空间。内积空间。例例 1 设设 是是 维复向量空间，任取维复向量空间，任取北京理工大学高数教研室规定规定容易验证容易验证 是是 上的一个内积，从上的一个内积，从而而 成为一个酉空间。成为一个酉空间。例例 2 设设 表示闭区间表示闭区间 上的所有上的所有连续复值函数组成的线性空间，定义连续复值函数组成的线性空间，定义北京理工大学高数教研室容易验证容易验证 是是 上的一个内上的一个内积，于是积，于是 便成为一个酉空间。便成为一个酉空间。例例 3 在在 维线性空间维线性空间 中，规定中，规定其中其中 表示表示 中所有元素取共轭复数后再中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证转置，容易验

5、证 是是 上的一上的一个内积，从而个内积，从而 连同这个内积一起成为连同这个内积一起成为酉空间。酉空间。内积空间的基本性质内积空间的基本性质：北京理工大学高数教研室欧氏空间的性质：欧氏空间的性质：北京理工大学高数教研室酉空间的性质：酉空间的性质：北京理工大学高数教研室定义：设定义：设 是是 维酉空间，维酉空间，为其一组为其一组基底，对于基底，对于 中的任意两个向量中的任意两个向量那么那么 与与 的内积的内积令令北京理工大学高数教研室称称 为基底为基底 的的度量矩阵度量矩阵，而且，而且定义定义：设：设 ，用，用 表示以表示以 的元素的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，记的共轭复数为元素组成的矩阵，

6、记北京理工大学高数教研室则称则称 为为 的的复共轭转置矩阵复共轭转置矩阵。不难验证。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质：复共轭转置矩阵满足下列性质：北京理工大学高数教研室定义定义：设：设 ,如果如果 ，那么称，那么称 为为Hermite矩阵；如果矩阵；如果 ，那么，那么称称 为反为反Hermite矩阵。矩阵。例例 判断下列矩阵是判断下列矩阵是H-阵还是反阵还是反H-阵。阵。北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室（5）实对称矩阵实对称矩阵（6）反实对称矩阵反实对称矩阵（7）欧氏空间的度量矩阵欧氏空间的度量矩阵（8）酉空间的度量矩阵酉空间的度量矩阵内积空间的度量内积空间

7、的度量定义：定义：设设 为酉（欧氏）空间，向量为酉（欧氏）空间，向量 的的长度长度定义为非负实数定义为非负实数例例 在在 中求下列向量的长度中求下列向量的长度北京理工大学高数教研室解解：根据上面的公式可知根据上面的公式可知一般地，我们有一般地，我们有:对于对于 中的任意向量中的任意向量其长度为其长度为北京理工大学高数教研室这里这里 表示复数表示复数 的模。的模。定理定理：向量长度具有如下性质：向量长度具有如下性质 当且仅当当且仅当 时，时，北京理工大学高数教研室例例 1：在线性空间在线性空间 中，证明中，证明例例 2 设设 表示闭区间表示闭区间 上的所有上的所有连续复值函数组成的线性空间，证明

8、：对于连续复值函数组成的线性空间，证明：对于任意的任意的 ，我们有，我们有北京理工大学高数教研室定义：定义：设设 为欧氏空间，两个非零向量为欧氏空间，两个非零向量 的的夹角夹角定义为定义为于是有于是有定理定理：北京理工大学高数教研室因此我们引入下面的概念因此我们引入下面的概念;定义定义：在酉空间：在酉空间 中，如果中，如果 ，则，则称称 与与 正交。正交。定义定义：长度为长度为1的向量称为单位向量，对于任的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量何一个非零的向量 ，向量，向量总是单位向量，称此过程为总是单位向量，称此过程为单位化单位化。北京理工大学高数教研室标准正交基底与标准正交基底与Schm

9、idt正交化方法正交化方法定义：设定义：设 为一组不含有零向量的向量组，为一组不含有零向量的向量组，如果如果 内的任意两个向量彼此正交，则称内的任意两个向量彼此正交，则称其为其为正交的向量组。正交的向量组。定义：如果一个正交向量组中任何一个向量都定义：如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量标准的正交向量组。组。例例 在在 中向量组中向量组北京理工大学高数教研室与向量组与向量组都是标准正交向量组。都是标准正交向量组。北京理工大学高数教研室定义：在定义：在 维内积空间中，由维内积空间中，由 个正交向个正交向量组成的基底称为量组成的基底称

10、为正交基底正交基底；由；由 个标准的个标准的正交向量组成的基底称为正交向量组成的基底称为标准正交基底。标准正交基底。注意：注意：标准正交基底不唯一。在上面的例题标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。中可以发现这一问题。定理定理：向量组：向量组 为正交向量组的充分必要为正交向量组的充分必要条件是条件是;向量组向量组 为标准正交向量组的充分必要为标准正交向量组的充分必要条件是条件是北京理工大学高数教研室定理定理：正交的向量组是一个线性无关的向量：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个

11、标准正以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。交向量组。Schmidt正交化与单位化过程正交化与单位化过程:设设 为为 维内积空间维内积空间 中中的的 个线性无关的向量，利用这个线性无关的向量，利用这 个向量完个向量完全可以构造一个标准正交向量组。全可以构造一个标准正交向量组。北京理工大学高数教研室第一步第一步 正交化正交化容易验证容易验证 是一个正交向量组。是一个正交向量组。北京理工大学高数教研室第二步第二步 单位化单位化显然显然 是一个标准的正交向量组。是一个标准的正交向量组。例例 1 运用正交化与单位化过程将向量组运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组化为标准正交向量组

12、。解解：先正交化：先正交化 北京理工大学高数教研室再单位化再单位化 北京理工大学高数教研室那么那么 即为所求的标准正交向量组。即为所求的标准正交向量组。例例 2 求下面齐次线性方程组求下面齐次线性方程组北京理工大学高数教研室其解其解空间的一个标准正交基底。空间的一个标准正交基底。解解：先求出其一个基础解系先求出其一个基础解系下面对下面对 进行正交化与单位化：进行正交化与单位化：北京理工大学高数教研室即为其解空间的一个标准正交基底。即为其解空间的一个标准正交基底。北京理工大学高数教研室 酉变换与正交变换酉变换与正交变换定义：定义：设设 为一个为一个 阶复矩阵，如果其满阶复矩阵，如果其满足足则称则

13、称 是是酉矩阵酉矩阵，一般记为，一般记为 设设 为一个为一个 阶实矩阵，如果其满阶实矩阵，如果其满足足则称则称 是是正交矩阵正交矩阵，一般记为，一般记为 北京理工大学高数教研室例：例：是是一个正交矩阵一个正交矩阵北京理工大学高数教研室是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵北京理工大学高数教研室（5）设）设 且且 ，如果，如果 则则 是一个酉矩阵。通常称为是一个酉矩阵。通常称为Householder矩阵矩阵。是一个酉矩阵是一个酉矩阵北京理工大学高数教研室酉矩阵与正交矩阵的性质酉矩阵与正交矩阵的性质：设设 ，那么，那么设设 ，那么，那么北京理工大学高数教研室定理：定理：设设 ，是

14、一个酉矩阵的充分是一个酉矩阵的充分必要条件为必要条件为 的的 个列（或行）向量组是个列（或行）向量组是标准正交向量组。标准正交向量组。定义定义：设设 是一个是一个 维酉空间，维酉空间，是是 的的一个线性变换，如果对任意的一个线性变换，如果对任意的 都都有有北京理工大学高数教研室则称则称 是是 的一个的一个酉变换酉变换。定理定理：设：设 是一个是一个 维酉空间，维酉空间，是是 的的一个线性变换，那么下列陈述等价：一个线性变换，那么下列陈述等价：（1）是酉变换；是酉变换；（3）将）将 的标准正交基底变成标准正交基的标准正交基底变成标准正交基底；底；（4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉）酉变换在

15、标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。矩阵。注意注意：关于：关于正交变换正交变换也有类似的刻划。也有类似的刻划。北京理工大学高数教研室 幂等矩阵幂等矩阵定义：设定义：设 ，如果，如果 满足满足则称则称 是一个是一个幂等矩阵幂等矩阵。例例是一个分块幂等矩阵。是一个分块幂等矩阵。北京理工大学高数教研室幂等矩阵的一些性质幂等矩阵的一些性质：设：设 是幂等矩阵，那是幂等矩阵，那么有么有（1）都是幂都是幂等矩阵；等矩阵；（2）（3）（4）的充分必要条件是的充分必要条件是（5）北京理工大学高数教研室定理：定理：设设 是一个秩为是一个秩为 的的 阶矩阵，那阶矩阵，那么么 为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在为一个幂

16、等矩阵的充分必要条件是存在 使得使得推论推论：设：设 是一个是一个 阶幂等矩阵，则有阶幂等矩阵，则有定义定义：设：设 为一个为一个 维标准正维标准正交列向量组，那么称交列向量组，那么称 型矩阵型矩阵 北京理工大学高数教研室为一个为一个次酉矩阵次酉矩阵。一般地将其记为。一般地将其记为定理定理：设设 为一个为一个 阶矩阵，则阶矩阵，则 的充分必要条件是存在一个的充分必要条件是存在一个 型次酉矩型次酉矩阵阵 使得使得其中其中 。北京理工大学高数教研室引理引理：的充分必要条件是的充分必要条件是证明证明：设：设 ，那么，那么北京理工大学高数教研室必要性：如果必要性：如果 为一个为一个 维维标准正交列向量

17、组，那么标准正交列向量组，那么北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室充分性：设充分性：设 ，那么由那么由 ，可得，可得北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室即这表明 是一个 维标准正交列向量组。定理的证明定理的证明：必要性：因 ，故 有 个线性无关的列向量，将这 个列向量用Schmidt方法得出 个两两正交的单位向量，以这 个向量为列构成一个 型次酉矩阵北京理工大学高数教研室 。注意到 的 个列向量都可以由 的 个列向量线性表出。即如果那么可得北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室其中，由于向量组 的秩为 ，所以 的秩为 。北京理工大学高数教研室下面证明 。由 可得 ，即注意

18、到 ，所以即因为 ，所以 ，这样得到于是北京理工大学高数教研室充分性：若 ，则Schur引理与正规矩阵引理与正规矩阵定义：定义：设 ，若存在 ，使得则称 酉相似酉相似(或正交相似正交相似)于 定理定理(Schur引理引理)：任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上(下)三角矩阵。北京理工大学高数教研室证明：证明：用数学归纳法。的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑 的阶数为 时的情况。取 阶矩阵 的一个特征值 ，对应的单位特征向量为 ，构造以 为第一列的 阶酉矩阵 ，因为 构成 的一个标准正交基，故北京理工大学高数教研室，因此其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足(

19、上三角矩阵)北京理工大学高数教研室令那么北京理工大学高数教研室注意注意:等号右端的三角矩阵主对角线上的元等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵素为矩阵 的全部特征值的全部特征值.定理定理(Schur不等式不等式):设设 为矩阵为矩阵 的的特征值特征值,那么那么例例:已知矩阵已知矩阵 北京理工大学高数教研室试求酉矩阵试求酉矩阵 使得使得 为上三角矩阵为上三角矩阵.解解:首先求矩阵首先求矩阵 的特征值的特征值北京理工大学高数教研室所以所以 为矩阵为矩阵 的三重特征值的三重特征值.当当 时时,有单位特征向量有单位特征向量再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量求得一个单位解向

20、量北京理工大学高数教研室再解与再解与 内积为零的方程组内积为零的方程组求得一个单位解向量求得一个单位解向量取取北京理工大学高数教研室计算可得计算可得北京理工大学高数教研室令令北京理工大学高数教研室再求矩阵再求矩阵 的特征值的特征值所以所以 为矩阵为矩阵 的二重特征值的二重特征值.当当 时时,有单位特征向量有单位特征向量北京理工大学高数教研室再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量求得一个单位解向量北京理工大学高数教研室取取计算可得计算可得北京理工大学高数教研室令令于是有于是有北京理工大学高数教研室则则北京理工大学高数教研室矩阵矩阵 即为所求的酉矩阵即为所求的酉矩阵.正规矩

21、阵正规矩阵定义定义:设设 ,如果如果 满足满足北京理工大学高数教研室那么称矩阵那么称矩阵 为一个为一个正规矩阵正规矩阵.设设 ,如果如果 同样满足同样满足那么称矩阵那么称矩阵 为一个为一个实正规矩阵实正规矩阵.例例:(1)为实正规矩阵为实正规矩阵 北京理工大学高数教研室 (2)其中其中 是不全为零的实数是不全为零的实数,容易验证容易验证这是一个实正规矩阵这是一个实正规矩阵.北京理工大学高数教研室 (3)这是一个正规矩阵这是一个正规矩阵.(4)H-阵阵,反反H-阵阵,正交矩阵正交矩阵,酉矩阵酉矩阵,对角矩阵都是正规矩阵对角矩阵都是正规矩阵.正规矩阵的性质与结构定理正规矩阵的性质与结构定理北京理工

22、大学高数教研室引理引理 1:设设 是一个正规矩阵是一个正规矩阵,则与则与 酉相似的矩阵一定是正规矩阵酉相似的矩阵一定是正规矩阵.引理引理 2:设设 是一个正规矩阵是一个正规矩阵,且又是三且又是三角矩阵角矩阵,则则 必为对角矩阵必为对角矩阵.由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理定理 :设设 ,则则 是正规矩是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵阵的充要条件是存在一个酉矩阵 使得使得北京理工大学高数教研室其中其中 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值.推论推论 1:阶正规矩阵有阶正规矩阵有 个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量.北京理工大学高数教研室推论推论 2

23、:正规矩阵属于不同特征值的征向量正规矩阵属于不同特征值的征向量 彼此正交彼此正交.例例 1:设设求正交矩阵求正交矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.解解:先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值北京理工大学高数教研室其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系现在将现在将 单位化并正交化单位化并正交化,得到两个标得到两个标准正交向量准正交向量北京理工大学高数教研室对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量北京理工大学高数教研室将这三个标准正交向量组

24、成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵北京理工大学高数教研室则矩阵则矩阵 即为所求正交矩阵且有即为所求正交矩阵且有例例 2:设设北京理工大学高数教研室求酉矩阵求酉矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.北京理工大学高数教研室解解:先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系北京理工大学高数教研室现在将现在将 单位化单位化,得到一个单位向量得到一个单位向量对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量北京理工大学高数教研室

25、对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量北京理工大学高数教研室将这三个标准正交向量组成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵则矩阵 即为所求酉矩阵且有即为所求酉矩阵且有北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室例例 3 证明证明:(1)H-矩阵的特征值为实数矩阵的特征值为实数;H-矩阵属矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的于不同特征值的特征向量是正交的.(2)反反H-矩阵的特征值为零或纯虚数矩阵的特征值为零或纯虚数.(3)酉矩阵的特征值模长为酉矩阵的特征值模长为1.定理定理:设设 是正规矩阵是正规矩

26、阵,则则 (1)是是H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征的特征值为实数值为实数 .北京理工大学高数教研室 (2)是反是反H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征的特征值的实部为零值的实部为零 .(3)是是U-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征值的的特征值的模长为模长为1 .注意注意:正规矩阵绝不仅此三类正规矩阵绝不仅此三类.例例 4 :设设 是一个反是一个反H-阵阵,证明证明:是是U-阵阵.证明证明:根据根据U-阵的定义阵的定义北京理工大学高数教研室由于由于 是反是反H-阵阵,所以所以,这样这样于是可得于是可得 北京理工大学高数教研室这这说明说明 为酉矩阵为酉矩阵.北京理工大学高数教研室

27、例例 5 :设设 是一个是一个 阶阶H-阵且存在自然数阵且存在自然数 使得使得 ,证明证明:.证明证明:由于由于 是正规矩阵是正规矩阵,所以存在一个所以存在一个酉矩阵酉矩阵 使得使得北京理工大学高数教研室于是可得于是可得从而从而这样这样北京理工大学高数教研室即即 Hermite二次型二次型(Hermite二次齐次多项式二次齐次多项式)Hermite矩阵的基本性质矩阵的基本性质引理引理:设设 ,则则 (1)都是都是H-阵阵.北京理工大学高数教研室 (2)是反是反H-阵阵.(3)如果如果 是是H-阵阵,那么那么 也是也是H-阵阵,为任意正整数为任意正整数.(4)如果如果 是可逆的是可逆的H-阵阵,

28、那么那么 也也是可逆的是可逆的H-阵阵.(5)如果如果 是是H-阵阵(反反H-阵阵),那么那么 是反是反H-矩阵矩阵(H-阵阵),这里这里 为虚数单位为虚数单位.(6)如果如果 都是都是H-阵阵,那么那么也是也是H-阵阵,这里这里 均为实数均为实数.(7)如果如果 都是都是H-阵阵,那么那么 也也是是H-阵的阵的充分必要条件是充分必要条件是北京理工大学高数教研室定理定理:设设 ,则则 (1)是是H-阵的充分必要条件是对于阵的充分必要条件是对于任意的任意的 是实数是实数.(2)是是H-阵的充分必要条件是对于阵的充分必要条件是对于任意的任意的 阶方阵阶方阵 为为H-阵阵.H-阵的结构定理阵的结构定

29、理定理定理:设设 ,则则 是是H-阵的充分阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵必要条件是存在一个酉矩阵 使使得得北京理工大学高数教研室其中其中 ,此定理经常叙述此定理经常叙述为为:H-阵酉相似于实对角矩阵阵酉相似于实对角矩阵.推论推论:实对称阵正交相似于实对角矩阵实对称阵正交相似于实对角矩阵.北京理工大学高数教研室例例 :设设 为一个幂等为一个幂等H-阵阵,则存在酉矩则存在酉矩阵阵 使得使得证明证明:由于由于 为一个为一个H-阵阵,所以存在酉所以存在酉矩阵矩阵 使得使得北京理工大学高数教研室又由于又由于 为一个幂等为一个幂等H-阵阵,从而从而 或或将将1放在一起放在一起,将将0放在一起放在一起,那

30、么可找到一那么可找到一个酉矩阵个酉矩阵 使得使得北京理工大学高数教研室这里这里 为矩阵为矩阵 的秩的秩.Hermite二次型二次型 (Hermite二次齐次多项式二次齐次多项式)定义定义:由由 个复变量个复变量 ,系系数为复数的二次齐次多项式数为复数的二次齐次多项式北京理工大学高数教研室称为称为Hermite二次型二次型,这里这里如果记如果记 北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室那么上面的那么上面的Hermite二次型可以记为二次型可以记为称为称为Hermite二次型对应的矩阵二次型对应的矩阵,并称并称 的的秩为秩为Hermite二次型的秩二次型的秩.对于对于Hermite二次型作可逆

31、的线性替换二次型作可逆的线性替换则则北京理工大学高数教研室这里这里Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉项的二次型的平方项无交叉项的二次型我们称这种形状的我们称这种形状的Hermite二次型为二次型为标准形标准形的的Hermite二次型二次型.定理定理:对于任意一个对于任意一个Hermite二次型二次型 北京理工大学高数教研室必存在酉线性替换必存在酉线性替换可以将可以将Hermite二次型二次型 化为标准形化为标准形其中其中 是是H-矩阵矩阵 的特征值的特征值.进一步进一步,我们有我们有定理定理:对于对于Hermite二次型二次型 北京理工大学

32、高数教研室必存在可逆的线性替换必存在可逆的线性替换可以将可以将Hermite二次型二次型 化为化为其中其中 .我们称上面的标准形为我们称上面的标准形为Hermite二次型二次型的的规范形规范形.例例:写出下面写出下面Hermite二次型的矩阵表达式二次型的矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形并用酉线性替换将其化为标准形.北京理工大学高数教研室解解:北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室 正定正定Hermite二次型与正定二次型与正定Hermite矩阵矩阵定义定义:对于给定的对于给定的Hermite二次形二次形如果对于任意一组不全为零复数如果对于任意一组不全为零复数 都有都有北京理工大

33、学高数教研室则称该则称该Hermite二次形为二次形为正定的正定的(半正定的半正定的),并称相应的并称相应的H-矩阵矩阵 为为正定的正定的(半正定的半正定的).例例:判断下列判断下列Hermite二次形的类别二次形的类别 北京理工大学高数教研室与正定的实二次形一样与正定的实二次形一样,关于正定的关于正定的Hermite二次形我们有二次形我们有定理定理:对于给定的对于给定的Hermite二次形二次形下列叙述是等价的下列叙述是等价的 北京理工大学高数教研室 (1)是正定的是正定的 (2)对于任何对于任何 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 都有都有为正定矩阵为正定矩阵 (3)的的 个特征值都大于零个特征值都大于

34、零 (4)存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得 (5)存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得 (6)存在正线上三角矩阵存在正线上三角矩阵 使得使得,且此分解是唯一的且此分解是唯一的.例例 1 :设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵,且又是酉矩且又是酉矩阵阵,则则证明证明:由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵,所以必存在所以必存在北京理工大学高数教研室酉矩阵酉矩阵 使得使得由于由于 又是酉矩阵又是酉矩阵,所以所以北京理工大学高数教研室这样必有这样必有 ,从而从而例例 2 :设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵,是一是一个反个反H-阵阵,证明证明:与与 的特征值实的特征值实部为零部为零

35、.证明证明:设设 为矩阵的任意一个特征值为矩阵的任意一个特征值,那那么有么有 .由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵,所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 使得使得将其代入上面的特征多项式有将其代入上面的特征多项式有北京理工大学高数教研室这说明这说明 也是矩阵也是矩阵 的特征值的特征值.另一另一方面注意矩阵方面注意矩阵 为为H-反阵反阵,从而从而 实实部为零部为零.同样可以证明另一问同样可以证明另一问.北京理工大学高数教研室例例 3 :设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵,是一个是一个反反H-阵阵,证明证明:是可逆矩阵是可逆矩阵.证明证明:由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵,所以存在可所以

36、存在可逆矩阵逆矩阵 使得使得这表明这表明 是可逆的是可逆的.于是于是另一方面注意矩阵另一方面注意矩阵 仍然为正定仍然为正定H-阵阵,而矩阵而矩阵 为为H-反阵反阵,由上面的例题结论可知由上面的例题结论可知北京理工大学高数教研室矩阵矩阵 的特征值实部为零的特征值实部为零,那么矩阵那么矩阵的特征值中不可能有零的特征值中不可能有零,从而从而定理定理:对于给定的对于给定的Hermite二次形二次形下列叙述是等价的下列叙述是等价的:(1)是半正定的是半正定的北京理工大学高数教研室(2)对于任何对于任何 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 都有都有为半正定矩阵为半正定矩阵(3)的的 个特征值全是非负的个特征值全是非负的

37、(4)存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 使得使得(5)存在秩为存在秩为 的的 阶矩阵阶矩阵 使得使得北京理工大学高数教研室定理定理:设设 是正定是正定(半正定半正定)Hermite矩阵矩阵,那么存在正定那么存在正定(半正定半正定)Hermite矩阵矩阵 使得使得例例 1 :设设 是一个半正定的是一个半正定的H-阵且阵且 证明证明:证明证明:设设 为为 的全部特征值的全部特征值,由于由于 是半正定的是半正定的,所以所以 .于是有于是有 北京理工大学高数教研室例例 2 :设设 是一个半正定的是一个半正定的H-阵且阵且 是一个正定的是一个正定的H-阵阵,证明证明:证明证明:由于由于 是一个正定的是一个

38、正定的H-阵阵,所以存在所以存在可逆矩阵可逆矩阵 使得使得这样有这样有北京理工大学高数教研室注意矩阵注意矩阵仍然是一个半正定的仍然是一个半正定的H-阵阵,有上面的例题可有上面的例题可知知从而从而北京理工大学高数教研室例例 3 :证明：证明：（1）半正定半正定H-矩阵之和仍然是半正定矩阵之和仍然是半正定的的;（2）半正定半正定H-矩阵与正定矩阵与正定H-阵之和和阵之和和是正定的是正定的;证明证明：设：设 都是半正定都是半正定H-阵，那么二阵，那么二者之和者之和 仍然是一个仍然是一个H-阵，其对应的阵，其对应的Hermite二次型为二次型为 其中其中北京理工大学高数教研室由于由于 都是半正定都是半

39、正定H-矩阵，所以对于矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数任意一组不全为零的复数我们有我们有这说明这说明 为一个半正定为一个半正定H-阵。阵。类似地，可以证明另外一问。类似地，可以证明另外一问。北京理工大学高数教研室例例 4 :设设 都是都是 阶正定阶正定H-阵，则阵，则的根全为正实数。的根全为正实数。证明证明：因为：因为 是正定的，所以存在可逆矩阵是正定的，所以存在可逆矩阵 使得使得另一方面注意到另一方面注意到 是一个正定是一个正定H-阵，阵，从而有从而有北京理工大学高数教研室的根全为正实数。又由于的根全为正实数。又由于故故 的根全为正实数。的根全为正实数。定理定理 :设设 是一个（半）正定

40、是一个（半）正定H-阵，那么阵，那么必存在唯一的一个（半）正定必存在唯一的一个（半）正定H-阵阵 ，使得，使得北京理工大学高数教研室 Hermite矩阵偶在复合同（复相合）矩阵偶在复合同（复相合）下的标准形下的标准形例例 ：设设 均为均为 阶阶Hermite-阵阵,且且又是正定的，证明必存在又是正定的，证明必存在 使得使得北京理工大学高数教研室与与同时成立，其中同时成立，其中 是与是与 无关无关的实数。的实数。证明证明：由于由于 是正定是正定H-阵，所以存在阵，所以存在 使得使得又由于又由于 也是也是H-阵，那么存在阵，那么存在 使得使得北京理工大学高数教研室其中其中 是是H-阵阵 的的 个实

41、特征值。个实特征值。如果记如果记 ，则有，则有北京理工大学高数教研室下面证明下面证明 个实特征值个实特征值 与与 无无关。令关。令 ，那么，那么 是特征方程是特征方程北京理工大学高数教研室的特征根。又由于的特征根。又由于因此因此 是方程是方程的根。它完全是由的根。它完全是由 决定的与决定的与 无关无关。由此可以得到下面的由此可以得到下面的H-阵偶标准形定理：阵偶标准形定理：北京理工大学高数教研室定理定理：对于给定的两个二次型：对于给定的两个二次型其中其中 是正定的，则存在非退化的线性是正定的，则存在非退化的线性替换替换可以将可以将 同时化成标准形同时化成标准形北京理工大学高数教研室其中其中 是

42、方程是方程 的根，而且全为实数。的根，而且全为实数。定义定义：设：设 均为均为 阶阶Hermite-阵阵,且且又是正定的，求又是正定的，求 使得方程使得方程有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是北京理工大学高数教研室关于关于 的的 次代数方程方程次代数方程方程成立。我们称此方程是成立。我们称此方程是 相对于相对于 的的特征特征方程。方程。它的根它的根 称为称为 相对于相对于 的的 广义特征值广义特征值。将。将 代入到方程代入到方程中所得非零解向量中所得非零解向量 称为与称为与 相对应的相对应的广广义特征向量义特征向量。广义特征值与广义特征向量的性质广义特征值与广义特征向量的性质;北京理工大学高数教研室命题命题：（1）有）有 个广义特征值；个广义特征值；（2）有）有 个线性无关的广义特征向量个线性无关的广义特征向量 ，即，即 （3）这）这 个广义特征向量可以这样选个广义特征向量可以这样选取，使得其满足取，使得其满足北京理工大学高数教研室其中其中 为为Kronecker符号。符号。北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室