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1、第第 7 课时动能定理机械能守恒能量守恒课时动能定理机械能守恒能量守恒命题规律 1.命题角度：(1)动能定理的综合应用；(2)机械能守恒定律及应用；(3)能量守恒定律.2.常考题型：计算题高考题型高考题型 1动能定理的综合应用动能定理的综合应用1应用动能定理解题的步骤图解：2应用动能定理的四点提醒：(1)动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学方法要简捷(2)动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理是没有依据的(3)物体在某个运动过程中包含几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程)，对全过程应用动能定理，往往能使问题简化(4)多过程往复运动问题一般应
2、用动能定理求解例 1(2019全国卷17)从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用距地面高度 h 在 3 m 以内时，物体上升、下落过程中动能 Ek随 h 的变化如图 1 所示重力加速度取 10 m/s2.该物体的质量为()图 1A2 kg B1.5 kg C1 kg D0.5 kg答案C解析设物体的质量为 m，则物体在上升过程中，受到竖直向下的重力 mg 和竖直向下的恒定外力 F，当 h3 m 时，由动能定理结合题图可得(mgF)h(3672)J；物体在下落过程中，受到竖直向下的重力 mg 和竖直向上的恒定外力 F，当 h3
3、m 时，再由动能定理结合题图可得(mgF)h(4824)J，联立解得 m1 kg、F2 N，选项 C 正确，A、B、D均错误例 2如图 2 所示，AB 为一固定在水平面上的半圆形细圆管轨道，轨道内壁粗糙，其半径为R 且远大于细管的内径，轨道底端与水平轨道 BC 相切于 B 点水平轨道 BC 长为 2R，动摩擦因数为 10.5，右侧为一固定在水平面上的粗糙斜面斜面 CD 足够长，倾角为 37，动摩擦因数为 20.8.一质量为 m，可视为质点的物块从圆管轨道顶端 A 点以初速度 v0gR2水平射入圆管轨道，运动到 B 点时对轨道的压力大小为自身重力的 5 倍，物块经过 C 点时速度大小不发生变化，
4、sin 370.6，cos 370.8，重力加速度为 g，求：图 2(1)物块从 A 点运动到 B 点的过程中，阻力所做的功；(2)物块最终停留的位置答案(1)14mgR(2)斜面上距 C 点2531R 处解析(1)物块运动到 B 点时，设轨道对其支持力大小为 FN，由牛顿第三定律知 FNFN5mg，由牛顿第二定律有 FNmgmvB2R，解得 vB2 gR物块从 A 点运动到 B 点的过程，由动能定理有 2mgRWf12mvB212mv02，得 Wf14mgR(2)设物块沿斜面上升的最大位移为 x，由动能定理有1mg2Rmgxsin Ffx012mvB2其中 Ff2mgcos，解得 x2531
5、R因 2mgcos mgsin，故物块在速度减为零之后不会下滑，物块最终会静止在斜面上距离 C点2531R 处高考题型高考题型 2机械能守恒定律的应用机械能守恒定律的应用1判断物体或系统机械能是否守恒的三种方法定义判断法看动能与重力(或弹性)势能之和是否变化能量转化判断法没有与机械能以外的其他形式的能转化时，系统机械能守恒做功判断法只有重力(或弹簧的弹力)做功时，系统机械能守恒2.机械能守恒定律的表达式3连接体的机械能守恒问题轻绳模型分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系轻杆模型平动时两物体速度相等，转动时两物体角速度相等沿杆方向
6、速度大小相等杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒轻弹簧模型含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体机械能不守恒同一根弹簧弹性势能大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零).考向一单个物体机械能守恒例 3(2021安徽高三联考)如图 3 甲所示，在竖直平面内固定一光滑的
7、半圆形轨道 ABC，小球以一定的初速度从最低点 A 冲上轨道，图乙是小球在半圆形轨道上从 A 运动到 C 的过程中，其速度平方与其对应高度的关系图像已知小球在最高点 C 受到轨道的作用力为 2.5 N，空气阻力不计，B 点为 AC 轨道中点，g10 m/s2，求：图 3(1)图乙中 b 的值；(结果不用带单位)(2)小球在 B 点受到轨道作用力的大小答案(1)25(2)8.5 N解析(1)小球在光滑轨道上运动，只有重力做功，故机械能守恒，所以有：12mvA212mv2mgh解得：vA2v22gh即为：b(92100.8)m2/s225 m2/s2(2)由题图乙可知，轨道半径 R0.4 m，小球
8、在 C 点的速度为 3 m/s，在 A 点的速度为 5 m/s，在 C 点由牛顿第二定律可得：FmgmvC2R解得：mFvC2Rg0.2 kg小球从 A 到 B，由机械能守恒可得12mvA2mgR12mvB2解得 vB vA22gR 252 10 0.4 m/s 17 m/s所以小球在 B 点受到的水平方向上的合外力提供向心力：FmvB2R0.2 170.4 N8.5 N所以小球在 B 点受到轨道作用力的大小为 8.5 N.考向二关联物体机械能守恒例 4(多选)(2021黑龙江省哈尔滨实验中学模拟)如图 4 所示，滑块 A、B 的质量均为 m，A套在倾斜固定的直杆上，倾斜杆与水平面成 45角，
9、B 套在水平固定的直杆上，两杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计，两直杆足够长，A、B 通过铰链用长度为 L 的刚性轻杆(初始时轻杆与水平面成 30角)连接，A、B 从静止释放，B 开始沿水平杆向右运动，不计一切摩擦，滑块 A、B 可视为质点，重力加速度为 g，下列说法正确的是()图 4AA、B 及轻杆组成的系统机械能守恒B当 A 到达 B 所在的水平面时，A 的速度为 gLCB 到达最右端时，A 的速度大于 2gLDB 的最大速度为 2gL答案AC解析不计一切摩擦，在运动的过程中，A、B 及轻杆组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，A 正确；从开始到 A 到达与 B 在同一水平面的过程，由
10、系统的机械能守恒得 mgLsin 3012mvA212mvB2，其中 vAcos 45vB，解得 A 的速度为 vA6gL3，B 错误；B 滑块到达最右端时，速度为零，此时轻杆与斜杆垂直，由系统的机械能守恒得 mg(Lsin 30Lsin 45)12mvA12，解得 A 的速度为 vA1 1 2gL 2gL，C 正确；当轻杆与水平杆垂直时 B 的速度最大，此时 A 的速度为零，由系统的机械能守恒得 mg(Lsin 30L)12mvBmax2，解得 B 的最大速度为 vBmax 3gL，D 错误考向三含弹簧的系统机械能守恒例 5(2021福建三明市高三三模)如图 5 甲为某种鱼饵自动投放器中的投
11、饵管装置示意图，其下半部 AB 是一长为 d0.8 m 的竖直细管，管底部与水面距离 h0.6 m，上半部 BC 是半径 R0.4 m 的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB 管内有原长为 L00.4 m、下端固定的轻质弹簧 投饵时，每次总将弹簧长度压缩到 L0.2 m 后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去设某一质量的鱼饵到达管口 C 时，对上管壁的作用力大小为其重力的 3 倍不计鱼饵的大小和运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能重力加速度 g 取 10 m/s2，不计空气阻力，求：图 5(1)此鱼饵到达管口 C 时的速度大小 v；(2)
12、此鱼饵落到水面时水平射程 x；(3)若每次弹射时只放置一粒鱼饵，持续投放质量不同的鱼饵，且均能落到水面测得鱼饵弹射出去的水平射程 x 随鱼饵质量 m 的变化规律如图乙所示，则弹簧压缩到 0.2 m 时的弹性势能为多少？答案(1)4 m/s(2)2.4 m(3)10 J解析(1)设鱼饵的质量为 m，到达管口 C 时上管壁对鱼饵的作用力大小为 FN，由牛顿第二定律有mgFNmv2RFNFN3mg联立得 v4 m/s(2)鱼饵从 C 点落至水面过程做平抛运动，有xvthdR12gt2联立得 x2.4 m(3)设弹簧压缩到 0.2 m 时的弹性势能为 Ep，则由机械能守恒定律得：Epmg(dLR)12
13、mv2联立得1m10Ep2518Epx2结合题图乙的纵截距解得 Ep10 J.高考题型高考题型 3能量守恒定律的应用能量守恒定律的应用1含摩擦生热、焦耳热、电势能等多种形式能量转化的系统，优先选用能量守恒定律2应用能量守恒定律的基本思路(1)系统初状态的总能量等于系统末状态的总能量 E总初E总末(2)系统只有 A、B 时，A 的能量减少量等于 B 的能量增加量，表达式为 EA 减EB 增，不必区分物体或能量形式3系统机械能守恒可以看成是系统能量守恒的特殊情况例 6(2021安徽安庆市高三月考)缓冲器是一种吸收相撞能量的装置，起到安全保护作用，在生产和生活中有着广泛的应用，如常用弹性缓冲器和液压
14、缓冲器等装置来保护车辆、电梯等安全，如图 6 所示是一种弹性缓冲器的理想模型劲度系数足够大的水平轻质弹簧与水平轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力为定值 Ff.轻杆向右移动不超过 L时，装置可安全工作现用一质量为 m 的小车以速度 v0向右撞击弹簧，撞击后将导致轻杆能向右移动L4，已知轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面间的摩擦求：图 6(1)该小车与弹簧分离时的速度大小；(2)改变小车的速度，保证装置安全工作前提下，轻杆向右运动的最长时间；(3)该小车撞击弹簧的最大动能满足什么条件时，能够保证装置安全工作答案(1)v02FfL2m(2)2LmFf(3)Ek
15、m12mv0234FfL解析(1)从开始压缩到分离，由能量守恒得12mv0212mv12FfL4则 v1v02FfL2m(2)小车与轻杆整体减速的加速度 aFfm轻杆向右运动 L，刚好减速为零时运动时间最长，有 L12at2解得最长时间 t2LmFf(3)轻杆开始移动后，弹簧压缩量 x 不再变化，弹性势能一定，速度为 v0时，则由系统能量关系有12mv02EpFfL4速度最大为 vm时，则由系统能量关系有12mvm2EpFfL得12mvm212mv0234FfL最大动能 Ekm12mv0234FfL.1.(2021广东江门市台师高级中学高三期末)如图 7 所示，半径为 R 的光滑圆环竖直放置，
16、N为圆环的最低点，在环上套有两个小球 A 和 B，A、B 之间用一根长为3R 的轻杆相连，使两小球能在环上自由滑动已知 A 球质量为 4m，B 球质量为 m，重力加速度为 g.现将杆从图示的水平位置由静止释放，在 A 球滑到 N 点的过程中，轻杆对 B 球做的功为()图 7AmgR B1.2mgRC1.4mgR D1.6mgR答案B解析根据几何知识可得：AO 与竖直方向的夹角为 60.在 A 球滑到 N 点时，由 A、B、轻杆组成的系统机械能守恒得：4mgR(1cos 60)mgR124mvA212mvB2，其中 vAvB；对 B，运用动能定理得：mgRW12mvB2，联立以上各式得轻杆对 B
17、 球做的功 W1.2mgR.2.(多选)(2021吉林长春市高三期末)如图 8 所示，质量为 m 的物体 P 套在固定的光滑水平杆上轻绳跨过光滑轻质滑轮 O 和 O，一端与物体 P 相连，另一端与质量同为 m 的物体 Q相连用手托住物体 Q 使整个系统处于静止状态，此时轻绳刚好拉直，且 AOL，OBh，ABa下，由于上滑过程中的末速度为零，下滑过程中的初速度为零，且通过大小相同的位移，根据位移公式 l12at2，则可得出 t上t下，D 错误3.(多选)如图 2，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于 O 点，另一端与小球相连现将小球从 M 点由静止释放，它在下降的过程中经过了 N 点已知在
18、M、N 两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且ONMOMN2，弹簧始终在弹性限度内，在小球从 M 点运动到 N点的过程中()图 2A弹力对小球先做正功后做负功B有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D小球到达 N 点时的动能等于其在 M、N 两点的重力势能差答案BCD解析因在 M 和 N 两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且ONMOMN2，知在 M 处时弹簧处于压缩状态，在 N 处时弹簧处于伸长状态，则弹簧的弹力对小球先做负功后做正功再做负功，选项 A 错误；当弹簧水平时，竖直方向的力只有重力，加速度为 g；当弹簧处于原长位置时，小球只受重力，加速度为 g，
19、则有两个时刻的加速度大小等于 g，选项 B 正确；弹簧长度最短时，即弹簧水平，弹力与速度垂直，弹力对小球做功的功率为零，选项 C 正确；由动能定理得，WFWGEk，因 M 和 N 两点处弹簧对小球的弹力大小相等，弹性势能相等，则由弹力做功特点知 WF0，即 WGEk，选项 D 正确争分提能练4(多选)如图 3 所示，将质量为 2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为 m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑轻质定滑轮与直杆的距离为 d.杆上的 A 点与定滑轮等高，杆上的 B 点在 A 点正下方距离为 d 处现将环从 A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，轻绳足够长，下列说法正确的是(
20、)图 3A环到达 B 处时，重物上升的高度 hd2B环到达 B 处时，环与重物的速度大小相等C环从 A 到 B，环减少的机械能等于重物增加的机械能D环能下降的最大高度为4d3答案CD解析环到达 B 处时，对环的速度进行分解，如图所示，可得 v环cos v物，由题图中几何关系可知 45，则 v环 2v物，B 错误；因环从 A 到 B，环与重物组成的系统机械能守恒，则环减少的机械能等于重物增加的机械能，C 正确；当环到达 B 处时，由题图中几何关系可得重物上升的高度 h(21)d，A 错误；当环下落到最低点时，设环下落高度为 H，由机械能守恒有 mgH2mg(H2d2d)，解得 H43d，故 D
21、正确5.如图 4 所示，AB 为倾角 37的斜面轨道，轨道的 AC 部分光滑，CB 部分粗糙BP 为圆心角等于 143，半径 R1 m 的竖直光滑圆弧形轨道，两轨道相切于 B 点，P、O 两点在同一竖直线上，轻弹簧一端固定在 A 点，另一自由端在斜面上 C 点处，现有一质量 m2 kg 的物块在外力作用下将弹簧缓慢压缩到 D 点后(不拴接)静止释放，物块经过 C 点后，从 C 点运动到 B 点过程中的位移与时间的关系为 x12t4t2(式中 x 单位是 m，t 单位是 s)，假设物块第一次经过 B 点后恰能到达 P 点，(sin 370.6，cos 370.8，g 取 10 m/s2)求：图
22、4(1)若 CD1 m，物块从 D 点运动到 C 点的过程中，弹簧对物块所做的功；(2)B、C 两点间的距离 s；(3)若 BC 部分光滑，把物块仍然压缩到 D 点静止释放，求物块运动到 P 点时受到轨道的压力大小答案(1)156 J(2)6.125 m(3)49 N解析(1)由 x12t4t2知，物块在 C 点速度为 v012 m/s，加速度大小 a8 m/s2设物块从 D 点运动到 C 点的过程中，弹簧对物块所做的功为 W，由动能定理得 Wmgsin 37CD12mv02代入数据得 W12mv02mgsin 37CD156 J.(2)物块在 CB 段，根据牛顿第二定律，物块所受合力 Fma
23、16 N物块在 P 点的速度满足 mgmvP2RC 到 P 的过程，由动能定理得FsmgR(1cos 37)12mvP212mv02解得 s498 m6.125 m.(3)物块从 C 到 P 的过程中，由动能定理得mgssin 37mgR(1cos 37)12mvP212mv02物块在 P 点时满足 FNmgmvP2R联立以上两式得 FN49 N.6.(2020九师联盟模拟卷)如图 5 所示，光滑水平面上的质量为 M1.0 kg 的长板车，其右端 B点平滑连接一半圆形光滑轨道 BC，左端 A 点放置一质量为 m1.0 kg 的小物块，随车一起以速度 v05.0 m/s 水平向右匀速运动 长板车
24、正前方一定距离的竖直墙上固定一水平轻质弹簧，当车压缩弹簧到最短时，弹簧及长板车立即被锁定，此时，小物块恰好在小车的右端 B 点处，此后物块恰能沿圆弧轨道运动到最高点 C.已知轻质弹簧被压缩至最短时具有的弹性势能大小为 Ep13 J，半圆形轨道半径为 R0.4 m，物块与长板车间的动摩擦因数为 0.2.重力加速度 g 取 10 m/s2.求：图 5(1)小物块在 B 点处的速度大小 vB；(2)长板车的长度 L；(3)通过计算判断小物块能否落到长板车上答案(1)2 5 m/s(2)1 m(3)见解析解析(1)物块恰能运动到最高点 C，有 mgmvC2R又 mg2R12mvB212mvC2联立解得
25、 vB2 5 m/s(2)由能量守恒关系式有Ep12(Mm)v0212mvB2mgL，解得 L1 m(3)由平抛运动知识，有 2R12gt2，xvCt解得 x0.8 m1 m，故小物块落在长板车上7.(2021山东泰安市高三一模)如图 6，用光滑细杆弯成半径为 R 的四分之三圆弧 ABCDE，固定在竖直面内，C、E 与圆心 O 在同一水平线上，D 为最低点质量为 m 的小环 P(可视为质点)穿在圆弧细杆上，通过轻质细绳与相同的小环 Q 相连，细绳绕过固定在 E 处的轻小光滑定滑轮开始小环 P 处于圆弧细杆上 B 点，小环 Q 与 D 点等高，两环均处于静止状态给小环微小扰动，使 P 沿圆弧向下
26、运动已知重力加速度为 g.求：图 6(1)小环 P 在 B 点静止时对细杆的压力大小；(2)小环 P 下滑到 C 点时，小环 P 的速度大小；(3)小环 P 经过 D 点时，小环 Q 重力的瞬时功率答案(1)3mg(2)(3 34)gR(3)mg3 32 223gR解析(1)小环 P 在 B 点静止时，受到重力 mg、细绳的拉力 FTmg、杆的支持力 FN作用，由平衡条件知，OB 连线与 P 的重力、细绳 BE 的夹角相等由几何关系知 BE 与 CE 间的夹角为 30，EBO30，所以 FN2mgcos 30，解得 FN3mg.(2)由几何关系可得 BE2Rcos 小环 P 下滑到 C 点时，
27、Q 的速度为 0，设此时小环 P 的速度为 v，根据机械能守恒定律可得mg(2Rcos sin)mg(2R2Rcos)12mv2整理得 v(3 34)gR.(3)小环 P 经过 D 点时，细绳 DE 部分与水平方向的夹角为 45，长度为 DE 2R，此时小环 P 的速度 vP与 Q 的速度 vQ的关系为 vPcos vQ根据机械能守恒定律可得mg(2Rcos sin R)mg(2Rcos 2R)12mvP212mvQ2，整理得 vQ3 32 223gR故小环 Q 重力的瞬时功率为 PmgvQmg3 32 223gR.8.如图 7 所示，在倾角为 的斜面上，一物块(可视为质点)通过轻绳牵拉压紧轻
28、质弹簧，弹簧与斜面平行，现将轻绳烧断，物块被弹出，与弹簧分离后立即进入斜面上足够长的粗糙部分NN(虚线下方的摩擦不计)沿斜面上滑达到的最远位置离 N 的距离为 s，此后下滑，第一次回到 N 处压缩弹簧后又被弹簧弹离，物块第二次上滑的最远位置离 N 的距离为s2.重力加速度为 g.图 7(1)求物块与粗糙斜面 NN间的动摩擦因数；(2)若已知物块的质量为 m，弹簧第二次被压缩到最短时的弹性势能为 Ep，求第二次物块从弹簧被压缩最短到运动到 N 点的距离 L.答案(1)13tan(2)Epmgsin 23s解析(1)取物块两次被弹簧推到的最高点为全过程的初、末状态，由动能定理得 mgsin s2mgcos(ss2)0，解得 13tan(2)第二次物块从弹簧被压缩最短到运动到最高点的过程，根据能量守恒定律得 EpmgLsin mgsin s2mgcos s2，解得 LEpmgsin 23s.