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1、抛物线定义和性质期末复习专用 平面内到一个定点平面内到一个定点F F和一条定和一条定直线直线l l的距离相等的点的轨迹叫的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。做抛物线。一、定义oLF注：如果定点注：如果定点F在定直线在定直线l上，所求的轨迹是？上，所求的轨迹是？定点定点F F 叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点。定直线定直线l l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线过定点过定点F垂直于直线垂直于直线l的一条直线的一条直线x求标准方程求标准方程FMlN如何建立直角坐标系？如何建立直角坐标系？想想一一想想设设KF=p则则F（，0），），l：x=-p2p2设动点设动点M的坐标为（的坐标为（x，y），），由定义
2、可知，由定义可知，化简得化简得 y2=2px（p0）xyoFMlNK过过F做直线做直线FK垂直于直线垂直于直线l，垂足为，垂足为K。以直线。以直线KF为为x轴，线段轴，线段KF的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直轴，建立如图所示的直角坐标系角坐标系xOy。方程方程 y2=2px（p0）叫做叫做抛物线的标准方程。抛物线的标准方程。其中其中 p 为正常数，它的几何意义是为正常数，它的几何意义是:焦焦 点点 到到 准准 线线 的的 距距 离离一，砍头其实孟婆汤不单单有忘记前世的功效，还有一种很厉害的修复一，砍头其实孟婆汤不单单有忘记前世的功效，还有一种很厉害的修复功能。比如有一个人，他
3、生前是被绳子勒死的，那么他所喝的孟婆汤里就会功能。比如有一个人，他生前是被绳子勒死的，那么他所喝的孟婆汤里就会加入能抹去勒痕的药剂，假如一个人是被车撞死的，那么孟婆汤里面一定会有修加入能抹去勒痕的药剂，假如一个人是被车撞死的，那么孟婆汤里面一定会有修复五脏六腑的药物。以帮助他他们来世投胎之后能拥有一副完好如初的皮囊。复五脏六腑的药物。以帮助他他们来世投胎之后能拥有一副完好如初的皮囊。所以一般每当鬼差把死者的灵魂待到阎王殿的时候，阎王大人总会耐心的询问他所以一般每当鬼差把死者的灵魂待到阎王殿的时候，阎王大人总会耐心的询问他们究竟是怎么死的，或者死的时候有没有缺胳膊少腿什么的。这一天鬼差带们究竟是
4、怎么死的，或者死的时候有没有缺胳膊少腿什么的。这一天鬼差带进来一个五大三粗的汉子，但是外表却有些女儿态。阎王问了，你这厮是怎进来一个五大三粗的汉子，但是外表却有些女儿态。阎王问了，你这厮是怎么死的啊。汉子听此话后脸一红，竟扭捏的低头摆弄起手指来。么死的啊。汉子听此话后脸一红，竟扭捏的低头摆弄起手指来。“你到你到底怎么死的啊！底怎么死的啊！”阎王有些不耐烦了。阎王有些不耐烦了。“我我 我是因为砍头死的。我是因为砍头死的。”汉子汉子吞吞吐吐地说。吞吞吐吐地说。“哎呦，这年头因为这个死的可不多了，脑袋砍掉了吗？哎呦，这年头因为这个死的可不多了，脑袋砍掉了吗？”阎王有些吃惊地问。阎王有些吃惊地问。“掉
5、了啊，一颗头咕噜就落地了！掉了啊，一颗头咕噜就落地了！”汉子说这话几乎是汉子说这话几乎是带着哭腔的。阎王听后，吩咐孟婆去取补头药。之后给汉子灌下让就让他投带着哭腔的。阎王听后，吩咐孟婆去取补头药。之后给汉子灌下让就让他投胎去了。若干年后。一个长着两个脑袋的连体鬼闹进了阎王殿。他大吵胎去了。若干年后。一个长着两个脑袋的连体鬼闹进了阎王殿。他大吵大闹：大闹：“你们怎么让我投地胎，凭什么别人一个脑袋一副身躯，而偏偏我两个脑你们怎么让我投地胎，凭什么别人一个脑袋一副身躯，而偏偏我两个脑袋用一个袋用一个yxoyxoyxoyxo 图图 形形 焦焦 点点 准准 线线 标准方程标准方程例例1 求下列抛物线的焦
6、点坐标和准线求下列抛物线的焦点坐标和准线.1、2、练习练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：.例例2 根据下列条件写出抛物线的标准方程：根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点是焦点是F(0,-2)；(2)准线方程是准线方程是 ；(3)焦点到准线的距离是焦点到准线的距离是2.(2)抛物线抛物线 上与焦点的距离等于上与焦点的距离等于9的点的的点的坐标是坐标是_；例例3(1)抛物线抛物线上一点上一点M到焦点的距离是到焦点的距离是,则点则点M到准线的距离是到准线的距离是_,点点M的横坐标是的横坐标是_.a如图如图,M点是抛物线点是抛物线 上一点上一点,F是抛
7、物线是抛物线的焦点的焦点,以以Fx为始边为始边,FM为终边的角为终边的角 ,求求 .练习练习24 例例4.4.点点M M与点与点F(4,0)F(4,0)的距离比它到直线的距离比它到直线l:x+5=0l:x+5=0的距离小的距离小1,1,求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程.分析：分析：如图可知如图可知原原条条件件等等价价于于M M点点到到F F（4 4，0 0）和和到到x x4 4距离相等，距离相等，-4-4由抛物线的定义，点由抛物线的定义，点M M的的轨迹是以轨迹是以F F（4 4，0 0）为焦点，为焦点，x x4 4为准线为准线的抛物线所求方程是的抛物线所求方程是y y2 21616x x二
8、、抛物线的性质二、抛物线的性质抛物线抛物线 的几何性质：的几何性质：(p0)它在它在 轴的右边，向右上方轴的右边，向右上方和右下方无限伸展。和右下方无限伸展。1 1、抛物线的范围、抛物线的范围、抛物线的范围、抛物线的范围2 2、抛物线的对称性：、抛物线的对称性：、抛物线的对称性：、抛物线的对称性：关于关于 轴对称轴对称这条对称轴叫抛物线的轴这条对称轴叫抛物线的轴注意：注意：抛物线只有一条对称轴；抛物线只有一条对称轴；没有对称中心没有对称中心.FOxy3 3、抛物线的顶点：、抛物线的顶点：、抛物线的顶点：、抛物线的顶点：抛物线和轴的交点。原点抛物线和轴的交点。原点O（0，0）4、抛物线的离心率、
9、抛物线的离心率 y2=2px离心率都是离心率都是 1图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴轴y轴轴1例题与练习：例题与练习：例例例例1 1、已知抛物、已知抛物、已知抛物、已知抛物线线线线关于关于关于关于x x轴对轴对轴对轴对称，它的称，它的称，它的称，它的顶顶顶顶点在原点，点在原点，点在原点，点在原点，并且并且并且并且经过经过经过经过点点点点M(2,-2M(2,-2)，求它的，求它的，求它
10、的，求它的标标标标准方程，准方程，准方程，准方程，并用描点法画出并用描点法画出并用描点法画出并用描点法画出图图图图形。形。形。形。因因为为抛物抛物线线关于关于x轴对轴对称，它的称，它的顶顶点在原点点在原点,),因因为为点点M在抛物在抛物线线上，所以上，所以即即因此所求方程是因此所求方程是解：解：并且并且经过经过点点M(2,-2所以抛物所以抛物线线开口向右，可开口向右，可设设它的它的标标准方程准方程为为：Oxy.引申引申.顶点在坐标原点顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2,)的抛物线有几条的抛物线有几条,求它的标准方程求它的标准方程,当焦点在当焦点在x(y)轴上轴
11、上,开口方向不定时开口方向不定时,设为设为y2=ax(a 0)(x2=by(b0),可避免讨论可避免讨论例例例例3 3：一条隧道的：一条隧道的：一条隧道的：一条隧道的顶顶顶顶部的部的部的部的纵纵纵纵截面是抛物拱形，拱高截面是抛物拱形，拱高截面是抛物拱形，拱高截面是抛物拱形，拱高 是是是是2 2米，跨度是米，跨度是米，跨度是米，跨度是4 4米，求拱形的抛物米，求拱形的抛物米，求拱形的抛物米，求拱形的抛物线线线线方程。方程。方程。方程。如如图图，建立直角坐，建立直角坐标标系，系，可可设设抛物抛物线线的方程的方程为为：解：解：(p0)由已知条件，可知抛物由已知条件，可知抛物线线经过经过点（点（2，-
12、2），所以有：），所以有：解得：解得：所以拱形的抛物所以拱形的抛物线线方程方程为为：（-2，-2）（2，-2）-22Oxy.2、通径：、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度通径的长度：2PP越大越大,开口越开阔开口越开阔3、焦半径：、焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的叫做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：下面请大家推导出其余三种标准方程下面请大家推导出其余三种标准方
13、程抛物线的抛物线的焦半径公式。焦半径公式。例例1、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于，且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。8例例2、已知过抛物线、已知过抛物线 的焦点的焦点F的的直线交抛物线于直线交抛物线于 两点。两点。（1）是否为定值？是否为定值？呢？呢？（2）是否为定值？是否为定值？xOyFAB这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.巩固练习巩固练习1.1.已知已知M M为抛物线为抛物线 上一动点，上一动点，F F为抛物线的焦点，为抛物线的焦点，定点定点P(3,1)P(3,1),则则 的最小值为（的最小值为（）(
14、A)3 (B)4 (C)5 (D)6(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 2.2.过点过点(0,2)(0,2)与抛物线与抛物线 只有一个公共点的直线有只有一个公共点的直线有（）（A A）1 1条条 (B)2(B)2条条 (C)3(C)3条条 (D)(D)无数多条无数多条 B BC CM M.N N.M M.P P.P P5 5、在抛物线、在抛物线y y2 2=64x=64x上求一点，使它到直线：上求一点，使它到直线：4x+3y+46=04x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。的距离最短，并求此距离。分析：分析：抛物线上到直线距离最短的点，是和此直抛物线上到直线距离最短的点，是和此直线平行
15、的切线的切点。线平行的切线的切点。yx y2=64x 4x+3y+46=0解解：无实根直线与抛物线相离设与4x+3y+46=0平行且与y2=64x相切的直线方程为y=-4/3 x+bLP则由y=-4/3 x+by2=64x消x化简得y2+48y-48b=0=482-4(-48b)=0b=-12切线方程为：y=-4/3 x-12y=-4/3 x-12 y2=64x解方程组得 x=9 y=-24切点为P（9，-24）切点P到的距离d=抛物线y2=64x到直线：4x+3y+46=0有最短距离的点为P（9，-24），最短距离为2。抛物线定义和性质法二；函数法（见板书）一、直线与抛物线位置关系种类一、直
16、线与抛物线位置关系种类xyO1、相离；、相离；2、相切；、相切；3、相交（一个交点，、相交（一个交点，两个交点）两个交点）与双曲线的与双曲线的情况一样情况一样xyO二、判断方法探讨二、判断方法探讨1、直线与抛物线相离，无交点。、直线与抛物线相离，无交点。例：判断直线例：判断直线 y=x+2与与抛物线抛物线 y2=4x 的位置关系的位置关系计算结果：得计算结果：得到一元二次方到一元二次方程，需计算判程，需计算判别式。相离。别式。相离。xyO2、直线与抛物线相切，交与一点。、直线与抛物线相切，交与一点。例：判断直线例：判断直线 y=x+1与与抛物线抛物线 y2=4x 的位置关系的位置关系计算结果：
17、得计算结果：得到一元二次方到一元二次方程，需计算判程，需计算判别式。相切。别式。相切。二、判断方法探讨二、判断方法探讨xyO3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。一点。例：判断直线例：判断直线 y=6与抛物线与抛物线 y2=4x 的的位置关系位置关系计算结果：得到一计算结果：得到一元一次方程，容易元一次方程，容易解出交点坐标解出交点坐标二、判断方法探讨二、判断方法探讨xyO例：判断直线例：判断直线 y=x-1与与抛物线抛物线 y2=4x 的位置关系的位置关系计算结果：得到一计算结果：得到一元二次方程，需计元二次方程，需计算判别式。相交。算判别式。相交。4、
18、直线与抛物线的对称轴不平行，相交、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。与两点。二、判断方法探讨二、判断方法探讨三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行（重合）对称轴平行（重合）相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00=00相交相交相切相切相离相离析：当直线斜率存在时：析：当直线斜率存在时：1：斜率不存在时的情况：斜率不存在时的情况2：二次项系数为零的情况：二次项系数为
19、零的情况课堂练习课堂练习2：在抛物线：在抛物线y2=8x中，以（中，以（1，-1）为中点）为中点的弦的方程是（的弦的方程是（）A x-4y-3=0 B.x+4y+3=0 C.4x+y-3=0 D.4x+y+3=0C析：（点差法）析：（点差法）设交点为（设交点为（x1,y1）(x2,y2)作差作差（y1-y2）(y1+y2)=8(x1-x2)K=思考思考3：（：（2007年四川卷）已知抛物线年四川卷）已知抛物线y=-x2+3 上存在关于直线上存在关于直线x+y=0对称的相异两点对称的相异两点A、B，则，则等于（等于（）A.3 B.4 C.D.c析：设析：设A（x1,y1）B(x2,y2)由题意知由题意知AB的斜率为的斜率为1，可设，可设AB为为y=x+b联立联立x2+x+b-3=0由根与系数的关系得由根与系数的关系得AB的中点为（的中点为（，+b）应在应在x+y=0上，所以上，所以b=1