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1、第五章第五章 材料的力学性能材料的力学性能5.6 不同材料模型下的力学分析不同材料模型下的力学分析5.5 应力应力应变曲线的理想化模型应变曲线的理想化模型5.1 概述概述5.2 低碳钢拉伸应力低碳钢拉伸应力应变曲线应变曲线5.3 不同材料拉伸压缩时的机械性能不同材料拉伸压缩时的机械性能5.4 真应力、真应变真应力、真应变1返回返回第五章第五章 材料的力学性能材料的力学性能力的力的平衡平衡条件条件变形变形几何几何协调协调条件条件力与变力与变形间的形间的物理关物理关系系变形体力学变形体力学，研究主线，研究主线：5.1 概述概述回忆例：刚性梁回忆例：刚性梁回忆例：刚性梁回忆例：刚性梁ABABABAB
2、如图。受力如图。受力如图。受力如图。受力F F作用，求各杆内力作用，求各杆内力作用，求各杆内力作用，求各杆内力。aaaABF F12lF FA Ay yF F1 1F F2 2 l2 l1解解解解：1)1)1)1)力的平衡力的平衡力的平衡力的平衡 ：平衡方程为：平衡方程为：平衡方程为：平衡方程为：MMA A(F F)=)=F F1 1a a+2+2F F2 2a a-3-3FaFa=0=0 F Fy y=F FAyAy+F F1 1+F F2 2=0=03)3)力与变形间的物理关系力与变形间的物理关系力与变形间的物理关系力与变形间的物理关系：l l1 1=F F1 1l l/E/E1 1A A
3、1 1 ；l l2 2=F F2 2l l/E/E2 2A A2 2 l2 2=2=2 l1 1；2)2)变形几何协调条件变形几何协调条件变形几何协调条件变形几何协调条件:2返回返回材料变形直至破坏的行为？材料变形直至破坏的行为？材料变形直至破坏的行为？材料变形直至破坏的行为？什么条件下会发生破坏？什么条件下会发生破坏？什么条件下会发生破坏？什么条件下会发生破坏？如何控制设计才能如何控制设计才能如何控制设计才能如何控制设计才能保证构件有必要的保证构件有必要的保证构件有必要的保证构件有必要的强度强度强度强度和和和和刚度刚度刚度刚度？不同材料，在不同载荷作用下，力学性能不同。不同材料，在不同载荷作
4、用下，力学性能不同。不同材料，在不同载荷作用下，力学性能不同。不同材料，在不同载荷作用下，力学性能不同。构件必须构件必须构件必须构件必须“强强强强”，不发生破坏；，不发生破坏；，不发生破坏；，不发生破坏；必须必须必须必须“刚硬刚硬刚硬刚硬”，不因变形过大而影响正常工作。，不因变形过大而影响正常工作。，不因变形过大而影响正常工作。，不因变形过大而影响正常工作。平衡方程：平衡方程：平衡方程：平衡方程：MMA A(F F)=)=F F1 1a a+2+2F F2 2a a-3-3FaFa=0=0 F Fy y=F FAyAy+F F1 1+F F2 2=0=0力与变形间的物理关系力与变形间的物理关系
5、力与变形间的物理关系力与变形间的物理关系：l l1 1=F F1 1l l/E/E1 1A A1 1 ；l l2 2=F F2 2l l/E/E2 2A A2 2 l2 2=2=2 l1 1；变形几何协调条件变形几何协调条件变形几何协调条件变形几何协调条件:几何关系，几何关系，几何关系，几何关系，不涉及材料不涉及材料不涉及材料不涉及材料小变形下，小变形下，小变形下，小变形下，与材料无关与材料无关与材料无关与材料无关与材料有关与材料有关与材料有关与材料有关返回返回3返回返回5.2 5.2 低碳钢拉伸应力低碳钢拉伸应力应变曲线应变曲线常用拉伸试样常用拉伸试样(圆截面圆截面):标距长度标距长度：l=
6、10d 或或5d 施加拉伸载荷施加拉伸载荷F，记录记录 F l曲线曲线;或或(=F/A)(=l/l)曲线。曲线。低碳钢拉伸应力低碳钢拉伸应力低碳钢拉伸应力低碳钢拉伸应力应变曲线应变曲线应变曲线应变曲线:颈缩阶段颈缩阶段颈缩阶段颈缩阶段：到：到：到：到k k点发生断裂。点发生断裂。点发生断裂。点发生断裂。四个阶段：四个阶段：四个阶段：四个阶段：弹性弹性弹性弹性阶段：卸载后变形可恢复。阶段：卸载后变形可恢复。阶段：卸载后变形可恢复。阶段：卸载后变形可恢复。屈服阶段屈服阶段屈服阶段屈服阶段：变形迅速增大，材料：变形迅速增大，材料：变形迅速增大，材料：变形迅速增大，材料 似乎失去抵抗变形的能力。似乎失
7、去抵抗变形的能力。似乎失去抵抗变形的能力。似乎失去抵抗变形的能力。强化阶段：强化阶段：强化阶段：强化阶段：恢复抵抗变形的能力。恢复抵抗变形的能力。恢复抵抗变形的能力。恢复抵抗变形的能力。dlFF opesybk颈缩颈缩k 弹性弹性 屈服屈服 强化强化 颈缩颈缩4返回返回5返回返回“材料的力学性材料的力学性能实验室能实验室”电子拉力试验机电子拉力试验机6返回返回由由由由 -曲线定义若干重要的曲线定义若干重要的曲线定义若干重要的曲线定义若干重要的比例极限比例极限 p：=E -关系是线性、弹性的。关系是线性、弹性的。材料性能和指标材料性能和指标：弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量 (Elastic M
8、odulus)(Elastic Modulus)E=/：op段直线的段直线的 斜率斜率,反映材料抵抗弹性变形的能力反映材料抵抗弹性变形的能力。弹性极限弹性极限 e：弹性，弹性，pe段为段为非线性。非线性。e与与 p数值相近。数值相近。屈服极限屈服极限屈服极限屈服极限或或或或屈服强度屈服强度屈服强度屈服强度(yield strength)(yield strength)ysys：材料是否出现塑性变形的重要强度指标。材料是否出现塑性变形的重要强度指标。opesybkk ys p eE17返回返回 osb1E总应变总应变总应变总应变 是弹性应变与塑性应变之和是弹性应变与塑性应变之和是弹性应变与塑性应
9、变之和是弹性应变与塑性应变之和。弹性应变和塑性应变弹性应变和塑性应变弹性应变和塑性应变弹性应变和塑性应变 强化阶段卸载，可使屈服极限强化阶段卸载，可使屈服极限强化阶段卸载，可使屈服极限强化阶段卸载，可使屈服极限 ysys提高，提高，提高，提高，塑性变形减小。（如预应力钢筋等）。塑性变形减小。（如预应力钢筋等）。塑性变形减小。（如预应力钢筋等）。塑性变形减小。（如预应力钢筋等）。应变硬化：应变硬化：反映材料是否破坏的重要强度指标。反映材料是否破坏的重要强度指标。反映材料是否破坏的重要强度指标。反映材料是否破坏的重要强度指标。极限强度极限强度极限强度极限强度(ultimate strength)(
10、ultimate strength)b b：ys bA1EA p p e e p p e eB屈服后卸载，卸载线斜率为屈服后卸载，卸载线斜率为屈服后卸载，卸载线斜率为屈服后卸载，卸载线斜率为E E。残余的残余的残余的残余的塑性应变塑性应变塑性应变塑性应变为为为为 p p；恢复的恢复的恢复的恢复的弹弹弹弹性应变性应变性应变性应变为为为为 e e，则有：则有：则有：则有：=e e+p p.8返回返回延性和脆性：延性和脆性：延伸率延伸率延伸率延伸率 n n n n:面缩率面缩率面缩率面缩率 ：度量材料塑性性能的重要指标。度量材料塑性性能的重要指标。度量材料塑性性能的重要指标。度量材料塑性性能的重要指
11、标。5%,如低碳钢、低合金钢、青铜等如低碳钢、低合金钢、青铜等延性材料延性材料延性材料延性材料：脆性材料脆性材料脆性材料脆性材料：抗拉极限强度抗拉极限强度抗拉极限强度抗拉极限强度 btbt。如铸铁、混凝土、石料等。如铸铁、混凝土、石料等。如铸铁、混凝土、石料等。如铸铁、混凝土、石料等。脆性材料脆性材料脆性材料脆性材料：o ys(a)低碳钢低碳钢拉伸拉伸压缩压缩 yso o btbt(b)铸铁铸铁 bcbc13返回返回低碳钢压缩低碳钢压缩,愈压愈扁愈压愈扁铸铁压缩铸铁压缩,约约45454545 开裂开裂开裂开裂14返回返回3)3)泊松泊松(Poisson)比比沿载荷方向（纵向）的应变沿载荷方向（
12、纵向）的应变沿载荷方向（纵向）的应变沿载荷方向（纵向）的应变:1 1=L L/L L0 0;垂直于载荷方向（横向）的应变：垂直于载荷方向（横向）的应变：垂直于载荷方向（横向）的应变：垂直于载荷方向（横向）的应变：2 2=(d-d=(d-d0 0)/d)/d0 0=-=-d/dd/d0 0材料沿加载方向伸长材料沿加载方向伸长材料沿加载方向伸长材料沿加载方向伸长/缩短的同时，缩短的同时，缩短的同时，缩短的同时，在垂直于加载方向发生的缩短在垂直于加载方向发生的缩短在垂直于加载方向发生的缩短在垂直于加载方向发生的缩短/伸长现象。伸长现象。伸长现象。伸长现象。泊松效应泊松效应:横向与纵向应变之比的负值。
13、横向与纵向应变之比的负值。横向与纵向应变之比的负值。横向与纵向应变之比的负值。=-=-2 2/1 1.一般，弹性阶段，一般，弹性阶段，一般，弹性阶段，一般，弹性阶段，=0.25-0.35=0.25-0.35。塑性阶段，塑性阶段，塑性阶段，塑性阶段，=0.5=0.5。泊松比泊松比泊松比泊松比 :xyzLd15返回返回5.4 5.4 真应力、真应变真应力、真应变 真应力真应力真应力真应力 、真应变真应变真应变真应变 ：；一般工程问题：一般工程问题：eS=ln(1+e)=e-e2/2+e3/3-抗拉极限强度抗拉极限强度 bt。真应力、应变真应力、应变真应力、应变真应力、应变与与工程应力工程应力工程应
14、力工程应力、应变的关系：应变的关系：应变的关系：应变的关系：=F F/A=S(1+e)/A=S(1+e)=ln(1+e)=ln(1+e)延性材料延性材料:压缩与拉伸有基本相同的压缩与拉伸有基本相同的E、ys。材料沿加载方向伸长材料沿加载方向伸长/缩短的同时，缩短的同时，在垂直于加载方向发生的缩短在垂直于加载方向发生的缩短/伸长现象。伸长现象。泊松效应泊松效应:体积变化率体积变化率为：为：V/V0=(1-2)弹性体积变化很小弹性体积变化很小（1=/E；2=3=-=-1）泊松比泊松比:=-2/1.小变形时可不加区别小变形时可不加区别小变形时可不加区别小变形时可不加区别18返回返回5.5 应力应力应
15、变曲线的理想化模型应变曲线的理想化模型1)1)1)1)线弹性模型线弹性模型线弹性模型线弹性模型:=E (b；或或 ys)研究弹性、小变形问题。研究弹性、小变形问题。0(MPa)20010.5灰铸铁灰铸铁玻璃钢玻璃钢 500(%)2)2)2)2)非线性弹性模型非线性弹性模型非线性弹性模型非线性弹性模型:材料的材料的材料的材料的 曲线各种各样，如何描述？曲线各种各样，如何描述？曲线各种各样，如何描述？曲线各种各样，如何描述？必须建立反映材料必须建立反映材料必须建立反映材料必须建立反映材料 -关系的物理模型。关系的物理模型。关系的物理模型。关系的物理模型。模型应当物理真实，数学简单。模型应当物理真实
16、，数学简单。模型应当物理真实，数学简单。模型应当物理真实，数学简单。0(%)(MPa)10 20500200低碳钢低碳钢16Mn ys或或 bo =k=k n n (b b；或或或或 ysys)用于有非线性弹性行为的材料。用于有非线性弹性行为的材料。用于有非线性弹性行为的材料。用于有非线性弹性行为的材料。非线性影响不大时，可线性近似。非线性影响不大时，可线性近似。非线性影响不大时，可线性近似。非线性影响不大时，可线性近似。ysys或或或或 b bo19返回返回3)3)3)3)刚性理想塑性模型：刚性理想塑性模型：刚性理想塑性模型：刚性理想塑性模型：用于有明显屈服平台的材料，用于有明显屈服平台的材
17、料，研究弹塑性变形的问题研究弹塑性变形的问题。用于有明显屈服平台的材料，弹性变形比塑性变用于有明显屈服平台的材料，弹性变形比塑性变形小得多时，研究可忽略弹性变形的问题。形小得多时，研究可忽略弹性变形的问题。忽略弹性变形，也不考虑应变硬化。忽略弹性变形，也不考虑应变硬化。当当 0时，时，=ys(ys)4)4)4)4)弹性理想塑性模型弹性理想塑性模型弹性理想塑性模型弹性理想塑性模型：线弹性线弹性+理想塑性。理想塑性。当当 ys 时时,=E 当当 ys 时时,=ys=E ys (ys)0(%)(MPa)10 20500200低碳钢低碳钢16Mn yso ys yso20返回返回K为强度系数，应力量纲
18、；为强度系数，应力量纲；n为应变硬化指数。为应变硬化指数。综合描述弹塑性性能，用于无明显屈服平台的材料综合描述弹塑性性能，用于无明显屈服平台的材料。弹性部分用线弹性，硬化用线性近似。弹性部分用线弹性，硬化用线性近似。=E 当当 ys 时；时；=ys+E1(-ys)当当 ys 时。时。常数常数E、E1分别为分别为OA、AB的斜率。的斜率。总应变：总应变：总应变：总应变：=e e+p p。实验给出应力与弹、塑性应变的关系：实验给出应力与弹、塑性应变的关系：实验给出应力与弹、塑性应变的关系：实验给出应力与弹、塑性应变的关系：=E=E e e；及及及及 =K K K K p p1/n1/n；故有故有R
19、emberg-OsgoodRemberg-Osgood应力应力应力应力-应变关系：应变关系：应变关系：应变关系：=e e+p p=(=(/E)+(/E)+(/KK)n n.5)5)5)5)幂硬化弹塑性模型幂硬化弹塑性模型幂硬化弹塑性模型幂硬化弹塑性模型：0(%)(MPa)20050020铝合金球墨铸铁青铜 epAo yso11E E1 1E EAB6)6)6)6)线性硬化弹塑性模型线性硬化弹塑性模型线性硬化弹塑性模型线性硬化弹塑性模型：21返回返回例例例例5.1 5.1 5.1 5.1 三杆铰接于三杆铰接于三杆铰接于三杆铰接于C C点，受力点，受力点，受力点，受力F F如图。如图。如图。如图。
20、三杆三杆三杆三杆A A、E E均相同，材料均相同，材料均相同，材料均相同，材料 -关系为关系为关系为关系为 =E=E ，求三杆内力。求三杆内力。求三杆内力。求三杆内力。材料模型材料模型力与变形间物理关系力与变形间物理关系解：解：1)力的平衡方程：力的平衡方程：受力如图。受力如图。有平衡方程：有平衡方程：F F2=F F3。-(a)F F1+2F F2cos=F F -(b)三个未知量，二个方程，一次静不定三个未知量，二个方程，一次静不定。2)变形几何条件：变形几何条件：1C23F5.6 5.6 不同材料模型下的力学分析不同材料模型下的力学分析F3F2F1 杆系变形如图。有：杆系变形如图。有：1
21、cos=2.-(c)C 2 3 1 122返回返回3)3)3)3)力与变形间的物理关系力与变形间的物理关系力与变形间的物理关系力与变形间的物理关系（-关系）关系）由线弹性模型有由线弹性模型有由线弹性模型有由线弹性模型有 =E=E ，即即 F F/A=E L/L 故可知各杆的伸长故可知各杆的伸长 L=为：为：1=F F1L1/EA；2=F F2L2/EA -(d)至此，共有至此，共有5个方程，可解个方程，可解F F1、F F2、F F3、1、2。-(1)注意到注意到 L1=L2cos，由由(c)、(d)二式得到：二式得到：F F2=F F1cos2 -(e)再由方程再由方程(a)、(b)、(e)
22、解得：解得：F F1 1=F F/(1+2cos/(1+2cos3 3 )F F2 2=F F3 3=F Fcoscos2 2 /(1+2cos/(1+2cos3 3 )1C23F FL2L123返回返回注意同样有注意同样有L1=L2cos，由由(c)、(d)式可得：式可得：F F2/F F1=(2/1)n(L1/L2)n=cos2n 即有：即有：F F2=F F1cos2n -(e)讨论一讨论一：材料材料材料材料 -关系用非线性弹性模型，关系用非线性弹性模型，关系用非线性弹性模型，关系用非线性弹性模型，=k=k n n，再求三杆内力。再求三杆内力。再求三杆内力。再求三杆内力。-(2)F F1
23、 1=F F/(1+2cos/(1+2cos2n+12n+1 )F F2 2=F F3 3=F Fcoscos2n2n /(1+2cos/(1+2cos2n+12n+1 )与与(b)式联式联立解得：立解得：-(d)材料模型不影响力的平衡和变形几何协调条件。材料模型不影响力的平衡和变形几何协调条件。故前述方程故前述方程(a)、(b)、(c)仍然成立。仍然成立。力与变形间的物理关系由非线弹性模型力与变形间的物理关系由非线弹性模型=k n有：有：1=k 1n F F1/A=k(1/L1)n.2=k 2n F F2/A=k(2/L2)n.24返回返回设载荷为设载荷为F Fs时发生屈服，即时发生屈服，即
24、 1=ys，故：故：1=F F1/A=F Fs/A(1+2cos3)=ys.得到屈服载荷得到屈服载荷F Fs为：为：-(3)F Fs s=ysysA(1+2cosA(1+2cos3 3 )讨论二讨论二：材料为弹性理想塑性，如图。材料为弹性理想塑性，如图。材料为弹性理想塑性，如图。材料为弹性理想塑性，如图。求杆系能承受的最大载荷求杆系能承受的最大载荷求杆系能承受的最大载荷求杆系能承受的最大载荷F F。屈服载荷屈服载荷F Fs：“结构中任一处达到屈服应力时的载荷结构中任一处达到屈服应力时的载荷”。弹性解弹性解(1)有：有：F F1=F F/(1+2cos3)F F2=F F3=F Fcos2/(1
25、+2cos3)知，知，F F1F F2=F F3;三杆三杆A、E相同，相同，F F增大，杆增大，杆1先屈服先屈服 E1 yso o25返回返回当当F F=F Fs时，时，1=ys,；2=3 ys。故杆故杆2、3承受的载荷仍可继续增加。承受的载荷仍可继续增加。超过屈服载荷超过屈服载荷F Fs后，后，1ys，F F1ysA。代入平衡方程代入平衡方程 F F1+2F F2cos=F F，当当F Fs F F F Fu时，有：时，有：F F2=F F3=(F F-ysA)/2cos；2=3=(F F/A)-ys/2cos-(4)极限载荷极限载荷Fu：“结构整体进入屈服极限状态时，因塑结构整体进入屈服极
26、限状态时，因塑结构整体进入屈服极限状态时，因塑结构整体进入屈服极限状态时，因塑性变形而丧失继续承载能力的载荷性变形而丧失继续承载能力的载荷性变形而丧失继续承载能力的载荷性变形而丧失继续承载能力的载荷”。极限状态下极限状态下F F=F Fu，1=2=3=ys，F F1=F F2=F F3=ysA，由平衡方程可直接确定由平衡方程可直接确定F Fu为：为：F Fu u=F F1 1+2+2F F2 2coscos =ysysA(1+2cosA(1+2cos )-(5)1C23FF F1 1F F2 2F F3 326返回返回不同材料模型下分析结果的比较不同材料模型下分析结果的比较线性弹性线性弹性线性
27、弹性线性弹性：=E=E (F F F Fs s)越大，越大，F F1越大，越大，=0，F F1=F/3；90，F F1F F。F F1=F F/(1+2cos3)F F2=F F3=F Fcos2/(1+2cos3).F F1=F F/(1+2cos2n+1)F F2=F F3=F Fcos2n/(1+2cos2n+1)非线性弹性非线性弹性非线性弹性非线性弹性：=k=k n n (F F 屈服载荷屈服载荷F Fs 若若 =60 ，F Fu=1.6F Fs。1C23F ys或或 boE1 yso o ysys或或或或 b bo27返回返回 小小 结结5)均匀变形阶段，均匀变形阶段，真应力真应力、
28、真应变真应变 与与工程应力工程应力S、工程应变工程应变e的关系为：的关系为：=S(1+e);=ln(1+e)。若若e0.01，与与S，与与e相差小于相差小于1%，可不加区别，可不加区别4)泊松比泊松比=-2/1；是横向与纵向应变之比的负值。；是横向与纵向应变之比的负值。3)材料重要指标有：材料重要指标有：抵抗抵抗弹性弹性变形能力的变形能力的指标指标弹性模量弹性模量 E；强度指标强度指标屈服强度屈服强度 ys和和/或或极限强度极限强度 b；延性指标延性指标延伸率延伸率 和和面缩率面缩率。2)典型典型-曲线曲线有弹性有弹性;屈服屈服;强化强化;颈缩至断裂颈缩至断裂四阶段四阶段。1)力与变形间的力与
29、变形间的物理关系与材料有关物理关系与材料有关。不同材料在不同载荷作用下有不同的力学性能。不同材料在不同载荷作用下有不同的力学性能。28返回返回8)结构中任一处应力达到屈服应力时的载荷，称为结构中任一处应力达到屈服应力时的载荷，称为 该结构的该结构的屈服载荷屈服载荷，记作，记作Fs。结构整体进入屈服时的载荷称为结构整体进入屈服时的载荷称为塑性极限载荷塑性极限载荷或简或简 称称极限载荷极限载荷，记作，记作Fu。是结构设计的重要指标。是结构设计的重要指标。7)变形体力学分析（小变形）时，力的平衡条件、几变形体力学分析（小变形）时，力的平衡条件、几 何相容条件与材料无关。何相容条件与材料无关。不同材料模型下，只是描述力与变形间物理关系的不同材料模型下，只是描述力与变形间物理关系的 应力应力应变方程不同应变方程不同。6)理想化材料模型的建立和应用，与所研究的问题理想化材料模型的建立和应用，与所研究的问题 有关，与所考虑的应变大小有关有关，与所考虑的应变大小有关。29返回返回思考题：思考题：5-5，5-6习题：习题：5-4;5-5再再 见见30