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1、第三章第三章 统计分布的数值特征统计分布的数值特征 第一节第一节 分布的平均水平、分布的平均水平、集中趋势和位置的度量集中趋势和位置的度量 第二节第二节 分布的离散程度分布的离散程度 第三节第三节 分布的偏度和峰度分布的偏度和峰度 第一节分布的平均水平、集中趋势和位置第一节分布的平均水平、集中趋势和位置的度量的度量一、统计平均数的含义和作用一、统计平均数的含义和作用二、数值平均数二、数值平均数三、众数、中位数和其他分位数三、众数、中位数和其他分位数一、一、统计平均数的含义和作用统计平均数的含义和作用含义：含义：也称平均指标，是用来表示社会经济现象总体各单也称平均指标，是用来表示社会经济现象总体
2、各单位某一位某一标志标志在一定时间、地点条件下所达到的一在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。般水平。作用：作用：1 1、反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平、反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平2 2、比较同类现象在不同单位的发展水平、比较同类现象在不同单位的发展水平3 3、比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律、比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律4 4、分析现象之间的依存关系、分析现象之间的依存关系 2、位置平均数：根据标志值某一特定位置来确定、位置平均数：根据标志值某一特定位置来确定的平均数。它不是对统计数列中所有各项数据进行计的平均数。它不是对统计数列中所有各
3、项数据进行计算所得的结果，而是根据数列中处于特殊位置上的个算所得的结果，而是根据数列中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的。别单位或部分单位的标志值来确定的。平均数根据其具体的代表意义和计算方式不同，平均数根据其具体的代表意义和计算方式不同，平均数根据其具体的代表意义和计算方式不同，平均数根据其具体的代表意义和计算方式不同，可分为：可分为：可分为：可分为：1 1、数值平均数：是以统计数列的所有各项数据来、数值平均数：是以统计数列的所有各项数据来、数值平均数：是以统计数列的所有各项数据来、数值平均数：是以统计数列的所有各项数据来计算的平均数。其特点是统计数列中任何一项数据的计算的平
4、均数。其特点是统计数列中任何一项数据的计算的平均数。其特点是统计数列中任何一项数据的计算的平均数。其特点是统计数列中任何一项数据的变动，都会在一定程度上影响数值平均数的计算结果。变动，都会在一定程度上影响数值平均数的计算结果。变动，都会在一定程度上影响数值平均数的计算结果。变动，都会在一定程度上影响数值平均数的计算结果。平均数的分类平均数的分类众数众数中位数中位数 平均数平均数平均数平均数位置平均数位置平均数位置平均数位置平均数 数值平均数数值平均数数值平均数数值平均数 算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数调和平均数调和平均数调和平均数调和平均数几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数幂平
5、均数幂平均数幂平均数幂平均数 平均数的分类平均数的分类 在上面计算公式中，总体标志总量必须在上面计算公式中，总体标志总量必须是总体各单位标志值的总和，标志值和单位是总体各单位标志值的总和，标志值和单位之间存在一一对应关系。之间存在一一对应关系。算术平均数表明总体单位标志值的一般水平。算术平均数表明总体单位标志值的一般水平。算术平均数表明总体单位标志值的一般水平。算术平均数表明总体单位标志值的一般水平。基本计算公式是：基本计算公式是：基本计算公式是：基本计算公式是：总体标志总量总体标志总量总体标志总量总体标志总量/总体单位数。总体单位数。总体单位数。总体单位数。总体标志总量：总体标志总量：总体标
6、志总量：总体标志总量：总体各单位某种数量标志值的总和。总体各单位某种数量标志值的总和。总体各单位某种数量标志值的总和。总体各单位某种数量标志值的总和。二、数值平均数二、数值平均数（一）算术平均数（一）算术平均数1 1、简单算术平均数、简单算术平均数 适用于未分组资料，用总体各单位标志值简适用于未分组资料，用总体各单位标志值简适用于未分组资料，用总体各单位标志值简适用于未分组资料，用总体各单位标志值简单加总得到标志总量除以总体单位总量而得。单加总得到标志总量除以总体单位总量而得。单加总得到标志总量除以总体单位总量而得。单加总得到标志总量除以总体单位总量而得。计算公式为：计算公式为：计算公式为：计
7、算公式为：NxNxxxxniin=+=121 例例1：应用条件：资料未分组，各组出现的次应用条件：资料未分组，各组出现的次数都是数都是1 1。5 5名学生的学习成绩分别为：名学生的学习成绩分别为：7575、9191、6464、5353、8282。则平均成绩为：。则平均成绩为：2 2、加权算术平均数、加权算术平均数计算公式：计算公式：应用条件：单项式分组，各组次数不同。应用条件：单项式分组，各组次数不同。应用条件：单项式分组，各组次数不同。应用条件：单项式分组，各组次数不同。根据单项数列计算加权算术平均数根据单项数列计算加权算术平均数例例:某车间某车间2020名工人加工某种零件资料：名工人加工某
8、种零件资料：按日产量分组按日产量分组（件）（件）x x工人数（人）工人数（人）f f 日产总日产总量量xfxf 14 14 2 2 28 28 15 15 4 4 60 60 16 16 8 8 128 128 17 17 5 5 85 85 18 18 1 1 18 18 合计合计 20 20 319 319根据组距数列计算加权算术平均数根据组距数列计算加权算术平均数应用条件：组距式分组，各组次数不同。应用条件：组距式分组，各组次数不同。按交易金按交易金额分组额分组频数频数f fi i组中值组中值X Xi i5050以下以下7 7252550-10050-10025257575100-150
9、100-1501212125125150-200150-2007 7175175200-250200-2504 4225225250-300250-3003 3275275300300以上以上2 2325325合合 计计6060(平均交易金额平均交易金额119.17607150=权数在平均数中的权衡轻重的作用，是直接通权数在平均数中的权衡轻重的作用，是直接通过各组单位数占总体单位数的比重，也就是各组过各组单位数占总体单位数的比重，也就是各组的频率相对数的大小体现出来的。的频率相对数的大小体现出来的。（1）概念）概念 对平均数的大小起着权衡轻重的作用。平均数对平均数的大小起着权衡轻重的作用。平均
10、数对平均数的大小起着权衡轻重的作用。平均数对平均数的大小起着权衡轻重的作用。平均数总是趋向于出现次数最多的那个标志值。总是趋向于出现次数最多的那个标志值。总是趋向于出现次数最多的那个标志值。总是趋向于出现次数最多的那个标志值。（2）权数的表现形式权数的表现形式绝对数形式绝对数形式 相对数形式相对数形式（3）权数的作用）权数的作用权数权数可以说，简单算术平均数实际上是加权算术可以说，简单算术平均数实际上是加权算术平均数的特例。平均数的特例。即当即当时，时，（4）权数不起作用的场合）权数不起作用的场合当各组的次数都相同时，各标志值对平均数的影响都当各组的次数都相同时，各标志值对平均数的影响都相同时
11、，那就无所谓权数的相同时，那就无所谓权数的“权衡轻重权衡轻重”了。在这了。在这种情况下，加权算术平均数就等种情况下，加权算术平均数就等于简单算术平均数。于简单算术平均数。于简单算术平均数。于简单算术平均数。一般说来，次数就是权数，但在计算相对指标一般说来，次数就是权数，但在计算相对指标的平均数时，经常遇到次数不是权数的情况。故的平均数时，经常遇到次数不是权数的情况。故在求相对指标的平均数时，应根据相对指标的含在求相对指标的平均数时，应根据相对指标的含义选择适当的权数。义选择适当的权数。（5）权数的选择）权数的选择4 4、根据相对数（平均数）计算的加权、根据相对数（平均数）计算的加权 抽取某行业
12、所属抽取某行业所属1515个企业资金利润率分组资料如表所个企业资金利润率分组资料如表所示要求计算该公司示要求计算该公司1515个企业的平均利润率个企业的平均利润率 资金利润率资金利润率（%）X Xi i企业数企业数平均占用资金平均占用资金（万元）（万元）f fi i利润总额利润总额（万元（万元X Xi if fi i12126 650506 615156 68080121224243 31501503636 合合 计计 280280 54 54（1 1 1 1）根据相对数计算的）根据相对数计算的）根据相对数计算的）根据相对数计算的%19.328054)()(%=fxf企业占用资金企业占用资金企
13、业利润额企业利润额平均资金利润率平均资金利润率 3 3、是非标志的平均数、是非标志的平均数 是非标志是非标志:也称交替标志，当总体单位某种品也称交替标志，当总体单位某种品质标志的具体表现为质标志的具体表现为“是是”与与“非非”或或“有有”与与“无无”两种情况时，这种品质标志就称为是非标两种情况时，这种品质标志就称为是非标志。志。是非标志是非标志 x x单位数单位数 f f比重比重 1 1 0 0 合合 计计 N N 1 1 平均数的计算：把具有某种特征的用平均数的计算：把具有某种特征的用平均数的计算：把具有某种特征的用平均数的计算：把具有某种特征的用“1 1 1 1”表表表表示，不具有该种特征
14、的用示，不具有该种特征的用示，不具有该种特征的用示，不具有该种特征的用“0 0 0 0”表示。表示。表示。表示。1N0N ffpNN1=qNN0=111PniiiniixfxfP+qP=+0q=是例：某市有例：某市有126万人口，其中男性人口万人口，其中男性人口64.26万，女性人口万，女性人口61.74万，求该城市人口的男万，求该城市人口的男性平均成数性平均成数 =51%x=P=64.26/12664.26/1264、算术平均数的数学性质、算术平均数的数学性质（2 2）各个变量值与其平均数离差平方之和为最小值）各个变量值与其平均数离差平方之和为最小值（1 1 1 1）各个变量值与其平均数离差
15、之和等于零）各个变量值与其平均数离差之和等于零）各个变量值与其平均数离差之和等于零）各个变量值与其平均数离差之和等于零0f)xx(=-()0 xx=-()最小值最小值=-2xx()最小值最小值=-fxx2 （3 3）给每个变量值增加或减少一个任意数）给每个变量值增加或减少一个任意数A A，则，则算术平均数也相应增加或减少这个任意数算术平均数也相应增加或减少这个任意数A A。（4 4 4 4）给每个变量值乘以或除以一个任意数）给每个变量值乘以或除以一个任意数）给每个变量值乘以或除以一个任意数）给每个变量值乘以或除以一个任意数A A A A，则算，则算，则算，则算术平均数也相应扩大或缩小术平均数也
16、相应扩大或缩小术平均数也相应扩大或缩小术平均数也相应扩大或缩小A A A A倍。倍。倍。倍。()AxnAx=()AxffAx=xAnAx=xA1nAx=xAfAxf=xA1ffAx=（二）调和平均数（二）调和平均数（H）社会经济统计中常用的另一种平均指标，它是根据标志值社会经济统计中常用的另一种平均指标，它是根据标志值的倒数计算的，所以又称倒数平均数。与算术平均数一样，的倒数计算的，所以又称倒数平均数。与算术平均数一样，调和平均数有简单调和平均数和加权调和平均数两种。调和平均数有简单调和平均数和加权调和平均数两种。例例例例:一个人步行两里，走第一里时速度为每小时一个人步行两里，走第一里时速度为
17、每小时一个人步行两里，走第一里时速度为每小时一个人步行两里，走第一里时速度为每小时1010里，走第二里时为每小时里，走第二里时为每小时里，走第二里时为每小时里，走第二里时为每小时2020里，则平均速度为：里，则平均速度为：里，则平均速度为：里，则平均速度为：应用条件：资料未分组，各个变量值次数都是应用条件：资料未分组，各个变量值次数都是应用条件：资料未分组，各个变量值次数都是应用条件：资料未分组，各个变量值次数都是1 1。计算公式计算公式计算公式计算公式:1 1、简单调和平均数、简单调和平均数、简单调和平均数、简单调和平均数2、加权调和平均数、加权调和平均数计算公式：计算公式：速度速度 x x
18、行走里程行走里程 m m所需时间所需时间 20 20 1 1 15 15 2 2 10 10 3 3 合计合计 6 6 例例例例1 1：应用条件：资料经过分组，各组次数不同。应用条件：资料经过分组，各组次数不同。应用条件：资料经过分组，各组次数不同。应用条件：资料经过分组，各组次数不同。)(2912126103152201小时小时里里平均速度平均速度=+=xm)(小时小时里里201152103103152201+某超市香蕉某超市香蕉,梨，苹果某日的销售价格梨，苹果某日的销售价格分别为分别为1.5元元/斤，斤，0.7元元/斤，斤，1.2元元/斤，斤，若三种水果各买若三种水果各买3元钱的量，求该日
19、三元钱的量，求该日三中水果的平均价格中水果的平均价格。l从平均销售价格=销售额/销售量l销售额=3+3+3=9l销售量=3/1.5+3/0.7+3/1.2=3*(1/1.5+1/0.7+1/1.2)lH=9 =1.02439元/斤l3*(1/1.5+1/0.7+1/1.2)某超市香蕉某超市香蕉,梨，苹果某日的销售价格见表梨，苹果某日的销售价格见表水果水果名称名称销售销售价格价格销售额销售额 香蕉香蕉1.54500 梨梨0.73500 苹果苹果1.27200合计合计-15 200斤）斤）(元元 1.08571400015200)xm()m(销售量销售量 销售总额销售总额 H H=另一种形式的平均
20、数，是另一种形式的平均数，是N N 个变量值乘个变量值乘积的积的 N N 次方根。主要用于计算平均比率和次方根。主要用于计算平均比率和平均速度。几何平均数也有简单几何平均平均速度。几何平均数也有简单几何平均数和加权几何平均数两种。数和加权几何平均数两种。（三）几何平均数（三）几何平均数（G）例：某产品需经三个车间加工，已知第一个车间例：某产品需经三个车间加工，已知第一个车间例：某产品需经三个车间加工，已知第一个车间例：某产品需经三个车间加工，已知第一个车间加工合格率为加工合格率为加工合格率为加工合格率为95%95%，第二个车间加工合格率为，第二个车间加工合格率为，第二个车间加工合格率为，第二个
21、车间加工合格率为90%90%，第三个车间加工合格率为第三个车间加工合格率为第三个车间加工合格率为第三个车间加工合格率为98%98%，求三个车，求三个车，求三个车，求三个车间的平均加工合格率间的平均加工合格率间的平均加工合格率间的平均加工合格率应用条件：资料未分组（各变量值次数都是应用条件：资料未分组（各变量值次数都是应用条件：资料未分组（各变量值次数都是应用条件：资料未分组（各变量值次数都是1 1）。）。）。）。计算公式：计算公式：计算公式：计算公式：1、简单几何平均数、简单几何平均数3%98%90%95=94.28%=94.28%=G G2、加权几何平均数、加权几何平均数计算公式：计算公式：
22、年份年份累计存款额累计存款额本利率本利率%第第1 1年年105%105%第第2 2年年105%105%第第3 3年年108%108%第第1010年年112%112%例：将一笔钱存入银行，存期例：将一笔钱存入银行，存期例：将一笔钱存入银行，存期例：将一笔钱存入银行，存期1010年，以复利计息，年，以复利计息，年，以复利计息，年，以复利计息，1010年的利率分别是第年的利率分别是第年的利率分别是第年的利率分别是第1 1年至第年至第年至第年至第2 2年为年为年为年为5%5%、第、第、第、第3 3年至年至年至年至5 5年为年为年为年为8%8%、第、第、第、第6 6年至第年至第年至第年至第8 8年为年为
23、年为年为10%10%、第、第、第、第9 9年至第年至第年至第年至第1010年年年年12%12%，计算平均年利率，计算平均年利率，计算平均年利率，计算平均年利率设本金为设本金为设本金为设本金为应用条件：资料经过分组，各组次数不同。应用条件：资料经过分组，各组次数不同。应用条件：资料经过分组，各组次数不同。应用条件：资料经过分组，各组次数不同。%105%5000 xxx=+2000%105%5%105%105xxx=+%108%105%8%105%105202020 xxx=+23320%112%110%108%105x0 x本利率本利率x x年数年数f f 105%105%2 2 108%108
24、%3 3 110%110%3 3 112%112%2 2 合合 计计 10 10平均年利率平均年利率=8.77%=8.77%课堂练习：课堂练习：对某地区对某地区110家企业按利润额进行分组，结果家企业按利润额进行分组，结果如表所示，计算该如表所示，计算该110家企业的平均利润额家企业的平均利润额 x=(10*250+30*350+40*450+20*550+10*650)按利润额分组（万元）按利润额分组（万元）企业数（个）企业数（个）300以下以下10300400304005004050060020600以上以上10合计合计110品种品种价格价格(元元/斤斤)甲市场成甲市场成交额交额(万万元元
25、)乙乙市场成市场成交额交额(万万元元)甲甲1.21.22乙乙1.42.81丙丙1.51.51合计合计5.54课堂练习：课堂练习：某年某月份甲、乙两农贸市场某农产品价格及某年某月份甲、乙两农贸市场某农产品价格及成交量、成交额的资料如下成交量、成交额的资料如下：要求：计算甲乙两个农贸市场的平均农产品价要求：计算甲乙两个农贸市场的平均农产品价格格课堂练习：课堂练习：l某某水水泥泥生生产产企企业业1999年年的的水水泥泥产产量量为为100万万吨吨，2000年年与与1999年年相相比比增增长长率率为为9%，2001年年与与2000年年相相比比增增长长率率为为16%，2002年年与与2001年年相相比比增
26、增长长率率为为20%。求求各各年年的的年平均增长率年平均增长率X=三、位置平均数（众数和中位数）三、位置平均数（众数和中位数）（一）众数（一）众数 1、众数的含义：、众数的含义：总体中出现次数最多、频率总体中出现次数最多、频率最高的标志值。最高的标志值。2、确定众数的方法。、确定众数的方法。（1）单项分配数列确定众数）单项分配数列确定众数加工零件数加工零件数X X工人数工人数（人）（人）f f8 820209 93030101080801111151512125 5合计合计15015010oM=件（2）由组距数列确定众数）由组距数列确定众数（2 2）由组距式分配数列确定众数）由组距式分配数列确
27、定众数)()()(000000001110下限公式MMMMMMMMdffffffLM+-+-+=)()()(000000001110上限公式MMMMMMMMdffffffUM+-+-+-=按交易金额分组按交易金额分组（元）（元）频数频数5050以下以下7 750-10050-1002525100-150100-1501212150-200150-2007 7200-250200-2504 4250-300250-3003 3300300以上以上2 2合计合计6060根据例根据例2-1数据的分组资料，计算数据的分组资料，计算60只股票成交金额的众数只股票成交金额的众数00000000)()(11
28、10MMMMMMMMdfffffflM+-+-+=79.0350)1225()725(72550元=-+-+=某村农户收入资料如表所示，计算农户年收入众数某村农户收入资料如表所示，计算农户年收入众数农户年均收入（元）农户年均收入（元）户数户数f f频数密度频数密度40004000以下以下17170.0170.0174000-50004000-500019190.0190.0195000-70005000-700035350.01750.01757000-100007000-1000015150.0050.0051000010000以上以上4 40.00130.00139090众数(不惟一性不惟
29、一性)l无众数无众数原始数据原始数据:10 5 9 12 6 8一个众数一个众数原始数据原始数据:6 5 9 8 5 5多于一个众数多于一个众数原始数据原始数据:25 28 28 36 42 42（二）中位数（二）中位数 1、中位数的含义：将总体各单位按其标志值、中位数的含义：将总体各单位按其标志值大小顺序排列起来居于数列中点的那个单位的标大小顺序排列起来居于数列中点的那个单位的标志值志值2、确定中位数的方法、确定中位数的方法 标志值的个数是奇数标志值的个数是奇数（1）由未分组资料确定中位数）由未分组资料确定中位数 例：例：7名工人生产某种产品，日产量（件）分别为名工人生产某种产品，日产量（件
30、）分别为4、6、6、8、9、12、14。位于中间位置的第四名工。位于中间位置的第四名工人的日产量人的日产量8件为中位数。件为中位数。上例增加为上例增加为8名工人，日产量为名工人，日产量为4、6、6、8、9、12、13、14。中位数为。中位数为）。）。其位置在第四和第五名中间其位置在第四和第五名中间其位置在第四和第五名中间其位置在第四和第五名中间 （，标志值的个数是偶数标志值的个数是偶数)(58298件件.=+54218.=+（2）由单项分组资料确定中位数）由单项分组资料确定中位数例某村居民户按子女数分组资料如表所示，求家庭子女数例某村居民户按子女数分组资料如表所示，求家庭子女数的中位数的中位数
31、子女数子女数XiXi家庭户家庭户fifi累计家庭户累计家庭户0 0505050501 11221221721722 21551553273273 33063066336334 41818651651合计合计651651（3）由组距分组资料确定中位数）由组距分组资料确定中位数计算公式计算公式:下限公式上限公式 根据第二章例根据第二章例2-1数据资料，计算数据资料，计算60只股票交易金额的中位只股票交易金额的中位数数按交易金额分组按交易金额分组（元）（元）频数频数5050以下以下7 750-10050-1002525100-150100-1501212150-200150-2007 7200-25
32、0200-2504 4250-300250-3003 3300300以上以上2 2合计合计6060（三）众数、中位数和算术平均数的关系（三）众数、中位数和算术平均数的关系对称分布对称分布左偏分布左偏分布右偏分布右偏分布 众数、中位数和算术平均数数量关系的众数、中位数和算术平均数数量关系的经验公式为：算术平均数和众数的距离约等经验公式为：算术平均数和众数的距离约等于算术平均数与中位数距离的三倍：于算术平均数与中位数距离的三倍：例例 某车间生产的一批零件中，直径大于某车间生产的一批零件中，直径大于402厘米的占一半，众数为厘米的占一半，众数为400厘米，试估计其厘米，试估计其平均数，并判定其偏斜方
33、向平均数，并判定其偏斜方向课堂练习：课堂练习：根据某城市根据某城市500户居民家计调查结果，户居民家计调查结果，将居民户按其食品开支的比重（恩格尔系数）分将居民户按其食品开支的比重（恩格尔系数）分组后，得到如下的频数分布资料，计算众数与中组后，得到如下的频数分布资料，计算众数与中位数位数恩格尔系数恩格尔系数居民户数居民户数向上累计户数向上累计户数20以下以下6620-30384430-4010715140-5013728850-6011440260-707447670以上以上24500合计合计500第二节第二节 分布的离散趋势分布的离散趋势一、变异指标的含义与作用一、变异指标的含义与作用 常见
34、的变异指标有：极差、分位差、标准差、方常见的变异指标有：极差、分位差、标准差、方常见的变异指标有：极差、分位差、标准差、方常见的变异指标有：极差、分位差、标准差、方差和变异系数。差和变异系数。差和变异系数。差和变异系数。变异指标是用来刻画总体分布的离散程度或变变异指标是用来刻画总体分布的离散程度或变变异指标是用来刻画总体分布的离散程度或变变异指标是用来刻画总体分布的离散程度或变异状况，变异指标越大，表明总体各单位标志值的异状况，变异指标越大，表明总体各单位标志值的异状况，变异指标越大，表明总体各单位标志值的异状况，变异指标越大，表明总体各单位标志值的变异程度越大。变异程度越大。变异程度越大。变
35、异程度越大。2、反映社会经济活动的均衡性。反映社会经济活动的均衡性。1、用于衡量平均指标的代表性用于衡量平均指标的代表性。3、研究总体标志值分布偏离正态的情况。研究总体标志值分布偏离正态的情况。4.资产风险的度量资产风险的度量变异指标的作用变异指标的作用 5、进行抽样推断等统计分析的一个基本指标进行抽样推断等统计分析的一个基本指标例【例【3-12】在过去三年中，某公司的年平均】在过去三年中，某公司的年平均销售额已达到销售额已达到1200万元，这可能有下面万元，这可能有下面A、B、C三种情况三种情况，如表，如表3-10所示所示表表3-10 某公司年平均销售额某公司年平均销售额 单位：万元单位：万
36、元年份年份A销销售售额额 B销销售售额额C销销售售额额111002001600213003000120031200400800极差也称全距，用极差也称全距，用R表示。表示。（一）极差（一）极差例：例：5名学生的成绩为名学生的成绩为50、69、76、88、97 则则R=97-50=47优点：计算简便优点：计算简便公式：公式：R=最大值最大值最小值最小值缺点：易受极端值的影响缺点：易受极端值的影响二、极差与四分位差二、极差与四分位差三、平均差三、平均差平均差：总体所有单位的标志值与其平均数的离差平均差：总体所有单位的标志值与其平均数的离差绝对值的算术平均数。绝对值的算术平均数。平均差概括了总体所有
37、单位的标志值变异情况，比平均差概括了总体所有单位的标志值变异情况，比极差与四方位差更具综合性极差与四方位差更具综合性方差：各变量值与其均值离差平方的平均数。方差：各变量值与其均值离差平方的平均数。（一）数量标志的方差与标准差（一）数量标志的方差与标准差标准差：方差的平方根，也称均方差。标准差：方差的平方根，也称均方差。1、数量标志的方差与标准差计算，其计算、数量标志的方差与标准差计算，其计算公式为：公式为：资料未分组：资料未分组：资料已分组：资料已分组：四、方差与标准差四、方差与标准差【例【例3-17】根据】根据2-1的分组资料计算方差和标准差的分组资料计算方差和标准差按交易金按交易金额分组额
38、分组组中值组中值 频数频数50以下以下257-94.1762071.5350-1007525-44.1748767.36100-150125125.83408.33150-200175755.8321821.53200-2502254105.8344802.78250-3002753155.8372852.08300以上以上3252205.8384734.72合计合计-60390.8333548.33课堂练习：课堂练习：甲、乙两班同时参加统计学原理课程的测试，甲班甲、乙两班同时参加统计学原理课程的测试，甲班平均成绩为平均成绩为75分，标准差为分，标准差为9.0分；乙班的成绩分分；乙班的成绩分组
39、资料如下：组资料如下：计算乙班学生的平均成绩并比较甲、乙两班哪个班计算乙班学生的平均成绩并比较甲、乙两班哪个班的平均成绩更有代表性？的平均成绩更有代表性？按成绩分组按成绩分组 学生人数（人）学生人数（人）60以下以下60707080809090100463064合计合计502、总方差、组间方差和组内方差总方差、组间方差和组内方差 组内方差反映组内标志值对组平均数的方差，组内方差反映组内标志值对组平均数的方差，组间方差反映组平均数对总平均数的方差。组间方差反映组平均数对总平均数的方差。它们之间的关系为：它们之间的关系为：（1）变量的方差等于变量平方的平）变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均
40、数的平方。均数减去变量平均数的平方。即：即：（2）变量对算术平均数的方差小）变量对算术平均数的方差小于对任何常数的方差。于对任何常数的方差。（3）n个同性质独立变量和的方个同性质独立变量和的方差等于各个变量方差的和差等于各个变量方差的和3、方差与标准差的数学性质、方差与标准差的数学性质 （4）n个同性质独立变量平均数的方差个同性质独立变量平均数的方差等于各变量方差平均数的等于各变量方差平均数的1/n。（5）变量线性变换的方差等于变）变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的平方。量的方差乘以变量系数的平方。练习：练习：l甲乙两名战士在相同条件下各射击10次，每次命中的环数分别是：l甲：8，
41、6，7，8，6，5，9，10，4，7 乙：6，7，7，6，7，8，7，9，8，5l（1）分别计算以上两组数据的极差；l（2）分别求出两组数据的方差；l（3）根据计算结果，评价一下两名战士的射击情况。（二）是非标志的方差与标准差（二）是非标志的方差与标准差如前：是非标志的平均数如前：是非标志的平均数P。标志值标志值x x单位数单位数f f1 10 0合计合计N N1N0Nf)xx(2-12N)P1(-02N)P0(-例：某工厂生产某种产品合格率为例：某工厂生产某种产品合格率为95，不合格率为不合格率为5，求是非标志的方差及标，求是非标志的方差及标准差。准差。l某厂本月生产某厂本月生产6000吨产
42、品，其中合格品吨产品，其中合格品5400吨，不合格品吨，不合格品600吨。其是非标志的平吨。其是非标志的平均数、均数、方差、标准差方差、标准差l P=5400/6000五、变异系数五、变异系数1.也称离散系数，也称离散系数，各变异指标与其相应的均值各变异指标与其相应的均值之比之比2.对数据相对离散程度的测度对数据相对离散程度的测度3.消除了数据水平高低和计量单位的影响消除了数据水平高低和计量单位的影响4.用于对不同组别数据离散程度的比较用于对不同组别数据离散程度的比较5.计算公式为计算公式为5.离散系数越大，说明数据的离散程度越大；离散系数越大，说明数据的离散程度越大；离散系数越小，说明数据的
43、离散程度越小离散系数越小，说明数据的离散程度越小xvs=例例3-18某学校男子体操队某学校男子体操队6名队员的体重分别名队员的体重分别为为55、54、52、52、51、53公斤；女子体公斤；女子体操队操队6名队员的体重分别为名队员的体重分别为46、45、44、44、43、42.试比较那个队的队员体重更均试比较那个队的队员体重更均匀？匀？课堂练习：课堂练习：l某厂甲、乙两个工人班组，每班组有某厂甲、乙两个工人班组，每班组有8名工名工人，每个班组每个工人的月生产量记录如人，每个班组每个工人的月生产量记录如下：下：l甲班组：甲班组：30、40、50、70、90、100、110、70l乙班组：乙班组：40、50、70、90、110、130、140、90l计算甲、乙两组工人平均每人产量；计算甲、乙两组工人平均每人产量；l比较甲、乙两组的平均每人产量的代表性。比较甲、乙两组的平均每人产量的代表性。