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1、巩巩巩巩 固固固固 练练练练 习习习习 判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确（）（）（1）向量）向量 与向量与向量 平行，则向量平行，则向量 与向量与向量 方向相同方向相同或相反。或相反。（2）向量）向量 与向量与向量 是共线向量则是共线向量则A、B、C、D四点必在四点必在一条直线上。一条直线上。CABMN证明：证明：M、N分别是分别是 AB、AC边上的中点边上的中点例题讲解（一）例题讲解（一）例例1、如图所示，、如图所示，、是是 的中位线。求证：的中位线。求证：,且且 例题讲解（二）例题讲解（二）例例2、已知已知 试问向量试问向量 与向量与向量 是否平行是否平行并求并求 解：由解：由 得
2、得 ，代入，代入 得得 因此，因此，与与 平行且平行且轴上向量坐标运算轴上向量坐标运算轴上向量坐标运算轴上向量坐标运算 轴的概念轴的概念 规定了方向和长度单位的直规定了方向和长度单位的直 线叫做轴线叫做轴已知轴已知轴 取单位向量取单位向量 ,使使 的方向与的方向与 同方向，根据平行同方向，根据平行的条件，对于轴的条件，对于轴 上任意向量上任意向量 一定存在唯一数一定存在唯一数 ，使，使反过来，任意给定一个实数反过来，任意给定一个实数 ，我们总能作一个向量，我们总能作一个向量 ，使它的长度等于这个实数使它的长度等于这个实数 的绝对值，方向与实数的绝对值，方向与实数的符号一致。的符号一致。轴和数轴
3、轴和数轴 的区别的区别想想一一想想当 与 同方向时，是正 数当 与 反方向时，是负数 给定一向量给定一向量 能生成与它平行的所有向量的集合能生成与它平行的所有向量的集合 这里的向量这里的向量 叫做轴叫做轴 的基向量。的基向量。叫做叫做 在在 上的上的坐标（或数量）坐标（或数量）（其中（其中 ）轴上两个向量相等的条件是他们的坐标相等；轴上两个向量相等的条件是他们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。设设 于是于是 ，得，得 如果如果 则则 反之，如果反之，如果 ，则，则 OABC设设 是轴是轴 上的一个基向量上的一个基向量,显然，显然
4、，与与 绝对值相同，绝对值相同，符号相反，即符号相反，即因为因为 所以所以Ox 设设 向量向量 平行于平行于 轴，以原点轴，以原点 为始点作为始点作 则点则点 的位置被向量的位置被向量 所唯一确定，由平行向量基本所唯一确定，由平行向量基本定理知，存在唯一的实数定理知，存在唯一的实数 使使 ，数值，数值 是点是点 的位置向量在的位置向量在 轴上的坐标，也就是点轴上的坐标，也就是点 在在 轴上的坐标。轴上的坐标。Px在数轴在数轴 上，已知点上，已知点 的坐标为的坐标为 ，点，点 的坐标的坐标为为 即即数轴上两点距离公式数轴上两点距离公式为为oA30BP于是得到于是得到 例题讲解三例题讲解三 例例3
5、、已知数轴上三点已知数轴上三点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是4、-2、-6，求求 的坐标和长度。的坐标和长度。O4-2-6解：解：基础知识形成性练习基础知识形成性练习1、把下列向量、把下列向量 表示为数乘向量表示为数乘向量 的形式的形式（1）（2）（3）（4）得得（1）由由（2）由由得得（3）由由得得（4）由由得得答案：答案：2、已知：在、已知：在 中，中，求证求证：，并且，并且 因为因为 所以所以 AMNCB3、在数轴上，已知、在数轴上，已知 求求（1）（2）（3）（4）(1)(1)AB+BC=AC AC=3+5=8 AB+BC=AC AC=3+5=8 (2)(2)AC=AB+BC=5+
6、(-7)=-2 AC=AB+BC=5+(-7)=-2 (3)(3)AC=AB+BC=(-8)+23=15 AC=AB+BC=(-8)+23=15 (4)(4)AC=AB+BC=-7+(-8)=-15 AC=AB+BC=-7+(-8)=-154、已知数轴上三点、已知数轴上三点 、的坐标分别为的坐标分别为 求求 、的坐标和长度的坐标和长度设设 、的坐标分别为的坐标分别为 提提提提 高高高高 练练练练 习习习习已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 不共线，如果不共线，如果 求证：求证：三点共线三点共线向量向量 与向量与向量 共线，且有共同起点共线，且有共同起点 故故三点共线。三点共线。解：解：变式
7、引申变式引申已知非零向量已知非零向量 和和 不共线，欲使不共线，欲使 和和 共线，是确定共线，是确定 的值。的值。解解 ：因为：因为 和和 共线共线 所以存在实数所以存在实数 ，使，使 则则由于由于 与与 不共线，不共线，只能有只能有 ，则，则小结回顾小结回顾向量共线的实质是向量相等，即存在唯一的实数向量共线的实质是向量相等，即存在唯一的实数 使使 =定定定定理理理理内内内内容容容容本节课主要运用了直观、类比、特殊到一般的思维方法。本节课主要运用了直观、类比、特殊到一般的思维方法。同学们要认真体会这些思维方法，提高理性思维的能力。同学们要认真体会这些思维方法，提高理性思维的能力。轴上向量的坐标
8、运算给出了数轴上两点的坐标公式和向轴上向量的坐标运算给出了数轴上两点的坐标公式和向量的坐标运算公式。定义了轴上两个向量求和的公式。量的坐标运算公式。定义了轴上两个向量求和的公式。应应应应用用用用定理为解决三点共线和直线平行问题提供了一种方法，定理为解决三点共线和直线平行问题提供了一种方法，要证三点共线或直线平行，任取两点确定两个向量，要证三点共线或直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找唯一实数看能否找唯一实数 ，使两向量相等，把向量平行的，使两向量相等，把向量平行的问题转化问题转化 为寻求实数为寻求实数 使向量使向量 相等问题。相等问题。实实实实质质质质作业：练习册英才名题作业：练习册英才名
9、题再再 见！见！开放创新开放创新开放创新开放创新 已知向量已知向量 ，其中，其中 不共不共线，向量线，向量 问是否存在这样的实数问是否存在这样的实数 ，使向，使向量量 与与 共线？共线？解：假设存在这样的实数解：假设存在这样的实数 使使 与与 共共 线线，要使要使 与与 共线，则应有共线，则应有实数实数 ，使，使 即即由由得得故存在这样的故存在这样的 使使 与与 共线共线数学与日常生活数学与日常生活数学与日常生活数学与日常生活 某人骑车以每小时某人骑车以每小时a a公里的速度向东行驶，感到风从正北公里的速度向东行驶，感到风从正北 方吹来，而当速度为方吹来，而当速度为2 2a a公里时，感到风从
10、东北方向吹来，公里时，感到风从东北方向吹来，试问实际风速和风向。试问实际风速和风向。解解:设设 表示人以每小时表示人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量。在无公里的速度向东行驶的向量。在无 风时此人感到的风速为风时此人感到的风速为 。设实际风速为。设实际风速为 ,那么此人所那么此人所 感到的风速向量为感到的风速向量为 .设设 ，由于，由于 从而从而BOPA这就是感到这就是感到从正北方向从正北方向吹来得风速。吹来得风速。由于由于 ，从而，从而 于是，当此人的速度是原来的于是，当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是向吹来的风速就是由题意，得由题意，得从而从而 为等腰直角三角形，故为等腰直角三角形，故即即答：实际吹来的风是风速为答：实际吹来的风是风速为 的西北风。的西北风。