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1、上页下页铃结束返回首页一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 O 过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以 O 为原点且一般具有相同的长度单位。它们的正向通常符合右手规则。这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系。y轴(纵轴)z轴(竖轴)(坐标)原点 x轴(横轴)x 1 y 1 z 1拇指方向四指转向右手规则空间直角坐标系：空间直角坐标系：练习练习下页上页下页铃结束返回首页 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。坐标面：坐标面：O z y x xOy面 yOz 面 zOx面 下页上页下页铃结束返回首页卦限：卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫
2、做卦限。O z y x 下页上页下页铃结束返回首页卦限：卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。O z y x 第一卦限第二卦限第三卦限第四卦限下页上页下页铃结束返回首页卦限：卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。O z y x 第五卦限第六卦限第七卦限第八卦限下页练习练习上页下页铃结束返回首页点的坐标：点的坐标：O x y z P R Q 设M为空间一点，过点M作三个平面，分别垂直于x轴、y轴和z轴，得到三个平面在x轴、y轴、z轴上的交点P、Q、R。设OPa、OQb、ORc，则点M唯一确定了一个三元有序数组(a,b,c)。反之，对任意一个三元有序数组(a,b,c
3、)，也可以唯一地确定空间的一个点M。M 三元有序数组(a,b,c)称为点M的坐标，记为M(a,b,c)。首页练习练习上页下页铃结束返回首页二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离 因为|M1M2|2|M1Q|2+|M2Q|2|M1P|2+|PQ|2+|M2Q|2，M1所以|M1Q|z2z1|。|PQ|y2y1|，设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，求两点间的距离d。|M1P|x2x1|，作一个以 M1和 M2 为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面。O x y z M2x2x1 y1 y2PQz1z2注意：下页上页下页铃结束返回首页二、空间两点间
4、的距离二、空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，则两点间的距离为 特殊地，点M(x,y,z)与原点O(0,0,0)的距离为下页上页下页铃结束返回首页二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，则两点间的距离为 例例1 求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。所以|M2M3|M1M3|，|M1M3|2|M2M3|2 解：解：因为|M1M2|2(74)2(13)2(21)214，(57)2(21)2(32)26，(54)2(23)2(
5、31)26，即DM1M2M3为等腰三角形。下页上页下页铃结束返回首页二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，则两点间的距离为 解：解：设所求的点为M(0,0,z)，则有|MA|2|MB|2，例例2 在 z 轴上求与两点 A(4,1,7)和 B(3,5,2)等距离的点。即 (04)2(01)2(z7)2(30)2(50)2(2z)2。首页上页下页铃结束返回首页三、曲面与方程三、曲面与方程 如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)0，而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)0，那么方程F(x,y,z)0称为曲
6、面S的方程，而曲面S称为方程F(x,y,z)0的图形。OxyzF(x，y，z)0M(x，y，z)F(x，y，z)0M(x，y，z)下页上页下页铃结束返回首页 例例3 一动点M(x,y,z)与二定点M1(1,1,0)、M2(2,0,2)的距离相等，求此动点M的轨迹方程。解：解：依题意有|MM1|MM2|，由两点间距离公式得化简后可得点M的轨迹方程为 xy2z30。动点M的轨迹是线段M1M2的垂直平分面，因此上面所求的方程是该平面的方程。下页上页下页铃结束返回首页 例例4 求三个坐标平面的方程。解解：注意到xOy面上任一点的坐标必有z0，而满足z0的点也必然在xOy面上，所以xOy面的方程为z0。
7、同理，yOz面的方程为x0；zOx面的方程为y0。例例5 作zc(c为常数)的图形。Oxyzc 解解：方程zc中不含x、y，这意味着x与y可取任意值而总有zc，其图形是平行于xy平面的平面。M(x,y,c)下页上页下页铃结束返回首页 前面讨论了几个平面的方程，它们都是一次方程，可以证明空间内任意一个平面的方程为三元一次方程 AxByCzD0，其中A、B、C、D均为常数，且A、B、C不全为0。平面方程：平面方程：下页上页下页铃结束返回首页球面方程：球面方程：例例6 求球心为点M0(x0,y0,z0)，半径为R的球面方程。化简得球面方程 (xx0)2(yy0)2(zz0)2R 2。M0M 解：解：
8、设M(x,y,z)为球面上任意一点，则有|MM0|R，由距离公式有OxyzR下页上页下页铃结束返回首页球面方程：球面方程：球心为点M0(x0,y0,z0)，半径为R的球面方程为 (xx0)2(yy0)2(zz0)2R 2。特殊地，球心为原点的球面方程为 x2y2z2R 2。上半球面方程为：下半球面方程为：OxyzR下页上页下页铃结束返回首页 例例7 作曲面x2y2R 2的图形。解：解：方程x2y2R2 在 xOy 面上表示以原点为圆心、以R为半径的圆。在空间直角坐标系中，任意作一条通过 xOy 面上的圆 x2y2R2且平行于 z 轴的直线，则直线上的点都满足方程 x2y2R2，即直线在 x2y
9、2R2所表示的曲面上。因此，这个曲面可以看成是由平行于 z 轴的直线 l 沿xOy 面上的圆x2y2R2移动而形成的圆柱面圆柱面。直线 l 叫做它的母线，x2y2R2叫做它的准线。Ox yzRRx2y2R2l下页上页下页铃结束返回首页 例例8 作曲面zx2y2的图形。xyOzzx2y2 解：解：当c0时，平面zc与曲面 的截痕为圆 x2y2 c，zc。我们称曲面zx2y2为旋转抛物面旋转抛物面。平面xa或yb与曲面的截痕均为抛物线。当c0时，平面zc与曲面无截痕。当c0时，平面zc与曲面的截痕只为原点(0,0,0)。下页上页下页铃结束返回首页x y zx y zc0 x y zc0 x y zy0 x y zx0 例例9 作曲面 zy2x2的图形。解：解：当c0时，平面zc与的截痕为双曲线 y2x2c，zc。平面yc与曲面的截痕为抛物线 zc2x2，yc。平面xc与曲面的截痕为抛物线 zy2c2，xc。这个曲面称为双曲抛物面双曲抛物面。当c0时，平面zc与曲面的截痕为直线 yx0，z0；yx0，z0。结束