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1、【数学故事】追寻数学大国的历史脉络一、古代数学领跑世界中国数学有着悠久的历史，14 世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就。中国数学的起源与早期发展，在古代著作 世本 中就已提到黄帝使“隶首作算数”，但这只是传说。在殷商甲骨文记录中，中国已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位制筹算记数。筹算作为中国古代的计算工具，是中国古代数学对人类文明的特殊贡献。关于几何学，史记“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”。“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械。这些都说明了早期几何学的应用。从战国时代的著作考工
2、记中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识。战国(公元前 475 年前 221 年)诸子百家与希腊雅典学派时代相当。“百家”就是多种不同的学派，其中的“墨家”与“名家”，其著作包含有理论数学的萌芽。如墨经(约公元前4 世纪著作)中讨论了某些形式逻辑的法则，并在此基础上提出了一系列数学概念的抽象定义。在现存的中国古代数学著作中，周髀算经是最早的一部。周髀算经成书年代据考应不晚于公元前 2 世纪西汉时期，但书中涉及的数学、天文知识，有的可以追溯到西周(公元前 11 世纪前8 世纪)。从数学上看，周髀算经主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。九章算术
3、是中国古典数学最重要的著作。这部著作的成书年代，根据考证，至迟在公元前1 世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。周礼记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”中有一门是“九数”。刘徽九章算术注“序”中就称九章算术是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍、耿寿昌等人删补。九章算术采用问题集的形式，全书246 个问题，分成九章，依次为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。其中所包含的数学成就是丰富和多方面的。算术方面，“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则，“粟米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论比例问题，“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来
4、求繁难算术问题的解的方法。代数方面，九章算术的成就是具有世界意义的，“方程术”即线性联立方程组的解法；“正负术”是九章算术在代数方面的另一项突出贡献，即负数的引进；“开方术”即“少广”章的“开方术”和“开立方术”，给出了开平方和开立方的算法；在几何方面，“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题，其中“方田”章讨论面积计算，“商功”章讨论体积计算，“勾股”章则是关于勾股定理的应用。九章算术的几何部分主要是实用几何。但稍后的魏晋南北朝，却出现了证明九章算术中那些算法的努力，从而引发了中国古典几何中最闪亮的篇章。从公元 220 年东汉分裂，到公元581 年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上
5、的动荡时期，但同时也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辩之风再起。在数学上也兴起了论证的趋势，许多研究以注释周髀算经、九章算术的形式出现，实质是要寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。这方面的先锋，最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。他们的工作，使魏晋南北朝成为中国数学史上一个独特而丰产的时期。隋书“律历志”中提到“魏陈留王景元四年刘徽注九章”，由此知道刘徽是公元3世纪魏晋时人，并于公元263 年撰九章算术注。九章算术注包含了刘徽本人的许多创造，完全可以看成是独立的著作，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位。刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。刘徽在九章算术方田章“
6、圆田术”注中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础，使刘徽成为中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。在体积理论方面，像阿基米德一样，刘徽倾力于面积与体积公式的推证，并取得了超越时代的成果。刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之和他的儿子推进和发展了。祖冲之(公元 429 年 500 年)活跃于南朝宋、齐两代，曾做过南徐州(今镇江)从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。南齐史“祖冲之传”说他“探异今古”，“革新变旧”。球体积的推导和圆周率的计算是祖冲之引以为荣的两大数学成就。祖冲之关于圆周率的贡献记载在隋书中。祖冲之算出了
7、圆周率数值的上下限：3.1415926 3.1415927。祖冲之和他儿子关于球体积的推导被称之为“祖氏原理”。祖氏原理在西方文献中称“卡瓦列利原理”，1635 年意大利数学家卡瓦列利(B.Cavalieri)独立提出，对微积分的建立有重要影响。之后的大唐盛世是中国封建社会最繁荣的时代，可是在数学方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家。中国古典数学的下一个高潮宋元数学，是创造算法的英雄时代。到了宋代，雕版印书的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期(公元 960 年 1368 年)，重新统一了的中国封建社会发
8、生了一系列有利于数学发展的变化。这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。贾宪是北宋人，约公元1050 年完成一部叫黄帝九章算术细草著作，原书丢失，但其主要内容被南宋数学家杨辉著详解九章算法(1261 年)摘录，因能传世。贾宪的增乘开方法，是一个非常有效和高度机械化的算法，可适用于开任意高次方。秦九韶(约公元 1202 年 1261 年)在他的代表著作数书九章中，将增乘开方法推广到了高次方程的一般情形，称为“正负开方术”。秦九韶还有
9、“大衍总数术”，即一次同余式的一般解法。这两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。秦九韶的大衍总数术，是孙子算经中“物不知数”题算法的推广。从“孙子问题”到“大衍总数术”关于一次同余式求解的研究，形成了中国古典数学中饶有特色的部分。这方面的研究，可能是受到了天文历法问题的推动。中国古典数学的发展与天文历法有特殊的联系，另一个突出的例子是内插法的发展。古代天算家由于编制历法而需要确定日月五星等天体的视运动，当他们观察出天体运动的不均匀性时，内插法便应运产生。早在东汉时期，刘洪乾象历就使用了一次内插公式来计算月行度数。公元600 年刘焊在皇极历中使用了二次内插公式来推算日月五星的经
10、行度数。公元727 年，僧一行又在他的大衍历中将刘焊的公式推广到自变量不等间距的情形。但由于天体运动的加速度也不均匀，二次内插仍不够精密。随着历法的进步，对数学工具也提出了更高的要求。到了宋元时代，便出现了高次内插法。最先获得一般高次内插公式的数学家是朱世杰(公元 1300 年前后)。朱世杰的代表著作有算学启蒙(1299 年)和四元玉鉴(1303 年)。算学启蒙是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了日本与朝鲜数学的发展。四元玉鉴则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最突出的数学创造有“招差术”(即高次内插法)，“垛积术”(高阶等差级数求和)以及“四元术”(多元高次联立方程组与消元解法)等。宋元
11、数学发展中一个最深刻的动向是代数符号化的尝试，这就是“天元术”和“四元术”的发明。天元术和四元术都是用专门的记号来表示未知数，从而列方程、解方程的方法，它们是代数学的重要进步。中国古代数学以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式,与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。（待续）第二课直线形面积的计算（一）【核心观点】1三角形面积公式：2长方形面积公式：3平行四边形面积公式：4常用结论：等底等高的两个三角形面积相等底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等若两个三角形的高（或底）相等，其中一
12、个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍【问题 1】如右图，已知在ABC 中，BE=3AE，CD=2AD 若 ADE 的面积为1平 方 厘米求三角形ABC 的面积【解析】EDCBA【问题 2】如右图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果 ADE 的面积为4 平方厘米求三角形CDF 的面积【解析】【问题 3】如图，在 ABC 中，BD=2AD，AG=2CG，BCFCEFBE31，求阴影部分的面积占 ABC 面积的几分之几？【解析】【问题 4】如右图，在平行四边形ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E，交DA 延长线于F，若1ADES，
13、求 BEF 的面积【解析】【问题 5】一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6 厘米，就可以得到一 个 新 的 正方形，新正方形比原来的正方形大120 平方厘米，求原来的正方形的面积.【解析】【问题 6】如图正方形客厅边长12 米，若正中铺一块正方形的纯毛地毯，外围铺化纤地毯，共需费用22455 元，已知纯毛地毯每平方米250 元，化纤地毯每平方米 35 元，问铺在外围的化纤地毯的宽度是多少分米？【解析】【问题 7】如图 ABFE 和 CDEF 都是长方形AB 的长是 4 厘米，BC的长是3 厘米，那么图中的阴影部分面积是多少平方厘米？【解析】【问题 8】如下左图，平行四边形ABCD的面积是50
14、，EFAD，则阴影部分面积是（）；如下中图，梯形的下底长26 厘米，高10 厘米，则阴影部分的面积是（）；如下右图，长方形APHM、BNHP、CQHN 的面积分别是8、4、6，则阴影部分的面积是（）.BCDAEFGABCDEFFEADCB66ABABCDEFEFABCD486PABCDMN【解析】【问题 9】如下左图，在平行四边形ABCD 中，SABCD 10，ED FC，求四边形EHFG 的面积；如下中图，平行四边形面积是72，长方形DFEG的宽 EF 8，则 FD（）；如下右图，在长方形ABCD 中，已知BC 10，S ABO8，S BCO12，S ADO10，则 AB（）.HGDCBAF
15、EGAEBCFD10DCBA128【解析】【问题 10】如图有九个小长方形，其中编号为1，2，3，4，5 的 5 个小长方形的面积分别为2，4，6，8，10 平方米，求6 号长方形的面积.【解析】【问题11】如图直角三角形ABC 的三边分别为：AC=30 分米，AB=18分米，BC=24 分米,ED 垂直于 AC，且 ED=95 厘米，问正方形BFEG的边长是多少厘米？【解析】【问题 12】如图一个平行四边形的一边长15 厘米，这条边上的高为6厘米，一条线段将此平行四边形分为两个部分，他们面积相差18 平方厘米，那么 梯 形 的 上底是多少厘米？【解析】【问题 13】一张长方形纸片，长 7 厘
16、米，宽 5 厘米，把它的右上角往下折，再把左下角往上折叠如图所示，那么，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？【解析】【问题 14】如图直角梯形ABCD 中，AB=15 厘米，BC=12 厘米，AE 垂直于AB，阴影部分面积是15 平方厘米，问梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？【解析】GABCDEF61557EBCFAD【问题 15】如图，ABCD 是梯形，ABFD 是平行四边形，CDEF 是正方形，AGHF是长方形，又知AD=14 厘米，BC=22 厘米，那么阴影部分面积是多少平方厘米？【解析】【问题 16】用 1、2、3、4、5、7 作为这个图形6 个边长，那么这个图形最大面积是多少？【
17、解析】试试看1.如下图，长方形ABCD 的长是 20，宽 12，求阴影部分的面积.【解析】2.如图，有一块菜地长16 米，宽 8 米。菜地中间留了2 条宽 2 米的路，把菜地平均分成了4 块，每一块地的面积是多少？【解析】3.下图中大正方形比小正方形的边长多4 厘米，大正方形的面积比小正 方 形 多96平方厘米.大正方形和小正方形的面积各是多少？【解析】4.一个正方形中套着一个长方形.已知正方形的边长是16 分米，长方形4个角的顶点恰好把正方形四条边都分成两段，其中长的一段是短的3倍.阴影部分的面 积是 多少？【解析】5.人民路小学操场长90 米，宽 45 米，改造后，长增加10 米，宽增加5
18、 米。现在操场面积比原来增加多少平方米？【解析】6.一个长方形，如果宽不变，长增加6 米，那么它的面积增加54 平方米，如果长不变，宽减少3 米，那么它的面积减少36 平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？【解析】7.一块正方形的钢板，先截去宽5 分米的长方形，又截去宽8 分米的长方形（如图），面积比原来的正方形减少181 平方分米，原正方形的边长是多少？【解析】B C D A D A B C B A D C HBAFEDCG24cm，CED8.如图所示，BD，CF 将长方形ABCD 分成 4 块，DEF 的面积是的面积是26cm.求：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？【解析】试试看参
19、考答案1.如下图，长方形ABCD 的长是 20，宽 12，求阴影部分的面积.【解析】S阴影=20122=120 2.如图，有一块菜地长16 米，宽 8 米。菜地中间留了2 条宽 2米的路，把菜地平均分成了4 块，每一块地的面积是多少？【解析】解法一：因为两条小路把把菜地平均分成了4 快，所以每一小块长方形菜地的长为：（16-2）2=7（米）；宽为：（8-2）2=3（米）；面积为：7 3=21（平方米）。解法二、如下图，假设把两条小路平移到菜地的上方和左方，路的面积和剩下菜地的面积都不会发生改变。去掉小路，剩下菜地面积为：（16-2）（8-2）=84（平方米）。每一小块菜地面积为：84 4=21
20、（平方米）.3.下图中大正方形比小正方形的边长多4 厘米，大正方形的面积比小正方形多96 平方厘米.大正方形和小正方形的面积各是多少？【解析】如下图，把大正方形比小正方形多出的96 平方厘米的图形分成一个蓝色的正方形和两个同样的灰色长方形.可以求出蓝色正方形的面积为：4 4=16（平方厘米）；则每个小长方形的面积为：（96-16）2=40（平方厘米）；每个小长方形的长即所求小正方形图形的边长为：404=10（厘米）.所以，所求小正方形的面积为：1010=100（平方厘米）；所求大正方形的面积为：（10+4）（10+4）=196（平方厘米）.4.一个正方形中套着一个长方形.已知正方形的边长是16
21、 分米，长方形4 个角的顶点恰好把正方形四条边都分成两段，其中长的一段是短的3 倍.阴影部分的面积是多少？【解析】如下图，长方形把正方形中原阴影部分分成了4 个等腰直角三角形，正好可以拼成大、小两个正方形。观察上图，结合题目已知条件可得，拼成的两个正方形的边长之和就是原正方形的边长16 分米；拼成的大正方形的边长是小正方形边长的3 倍。由和倍问题的数量关系式，可以求出：拼得的较小正方形的边6ABCD4EFB C D A D A B C B A D C 长为：16（3+1）=4（分米）；较大正方形的边长为43=12（分米）。所以，原图中阴影部分面积为：4 4+1212=160（平方分米）。5.人
22、民路小学操场长90 米，宽 45 米，改造后，长增加10 米，宽增加5 米。现在操场面积比原来增加多少平方米？【解析】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：（90+10）（45+5）=5000（平方米），操场原来的面积是：9045=4050（平方米）。所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。（90+10）（45+5）-（9045）=950（平方米）6.一个长方形，如果宽不变，长增加6 米，那么它的面积增加54 平方米，如果长不变，宽减少3 米，那么它的面积减少36 平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米？【解析】由：“宽不变，长增加6 米，那么它
23、的面积增加54 平方米”可知它的宽是546=9（米）；又由“长不变，宽减少3 米，那么它的面积减少了36 平方米”，可知它的长为：36 3=12（米），所以，这个长方形的面积是129=108（平方米）.（363）（54 9）=108（平方米）7.一块正方形的钢板，先截去宽5 分米的长方形，又截去宽8 分米的长方形（如图），面积比原来的正方形减少181 平方分米，原正方形的边长是多少？85【解析】把阴影的部分剪下来，并把剪下的两个小正方形拼合起来（如图），再补上长，长和宽分别是8分米、5 分米的小长方形，这个拼合成的长方形的面积是：181+85=221（平方分米），长是原来正方形的边长，宽是：8
24、+5=13（分米）。所以，原正方形的边长是22113=17（分米）24cm，CED8.如图所示，BD，CF 将长方形ABCD 分成 4 块，DEF 的面积是的面积是26cm.求：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？【解析】方法一：连接BF，这样我们根据“燕尾定理”在梯形中的运用知道三角形 BEF 的面积和三角形EDC 的面积相等也是6，再根据例1 中的结论知道三角形BCE 的面积为66 4=9，所以长方形的面积为：15230。四边形面积为304 6911。方法二：EF/EC4/62/3=ED/EB，进而有三角形CBE 的面积为：63/29。则三角形CBD 面积为 15，长方形面积为15230。四边形面积为3046911。6ABCD4EF