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1、第六届全国周培源大学生力学竞赛试题 出题学校：清华大学 满分：120 分 时间：3 小时 一、声东击西的射击手（30分）射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里，共有10 个小球iP（号码从 0 到 9），你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。假设系统在同一竖直平面内（如图所示），不考虑摩擦。圆弧AB的半径为R，B点与地面的高度为H。均质细杆CD的质量为M，长为0.5LH=，悬挂点C与B处于同一水平位置，BC距离为S。小球iP质量均为m，不计半径，小球iP与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为ie，且满足/9(0,1,2,9)iei
2、i=。（1）为使小球1P击中杆上D点，试确定静止释放时的，距离S有何限制？（2）假设某小球击中CD杆上的E点，为使E点尽可能远离D点，试确定该小球的号码及静止释放时的，此时CE的距离是多少？（3）假设某小球击中CD杆上的E点，为使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放时的，此时CE的距离是多少？冲量有多大？OABCDSHPiE二、骄傲自满的大力士（35分）有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱OA垂直固定于水平地面上，沿x轴方向，高为2.4mH=，横梁AB平行于地面，沿z轴负方向，长为LH=。立柱和横梁均为实心
3、圆柱，直径均为0.06mD=。夫人经过计算后想出了主意：和丈夫比赛，看谁能把球门拉倒。比赛规则是：通过系在横梁B端中点的绳索，只能用静力拉球门；绳索上有且只有B点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计，长度不限。球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力57MPas=。大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是0.5=，自己重量为1700NG=，夫人重量为2510NG=。为了显示自己的大度，他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以B在地面的投影C为圆心，在地面上画了一个半径0.8mR=的圆圈，要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈，但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈
4、没什么了不起，就同意了。大力士抽签先上场，他决定让绳索与xy平面平行，但绳索与地面的夹角不知多大为好，于是他在不同的角度试了多次，尽管每次都用了最大力气，但是球门居然纹丝不动，也看不出有明显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了（1）当大力士让绳索与地面成角度，绳索中的拉力最大为多大？该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系？（2）当大力士让绳索与地面成角度，球门中最危险点的坐标值是多少？（3）在限制条件下，角为多少时大力士最接近把球门拉倒？夫人可能采用什么方式把球门拉倒？BCRxyzOAHL三、顾此失彼的挑战者（30分）魔术正式开始前，魔术师邀请观众上台了解道具，并体验如何让水晶球在板上平衡，
5、有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。魔术师首先介绍道具（如图所示）：两个透明的水晶圆球1O和2O；一个滚轴D；一个透明的水晶平板AB，A端水平固定在墙中，不考虑自重时AB板与水平面平行。在表演时，滚轴D可以根据需要安装在AB板的任意位置，且A与D总在同一高度。假设水晶板是均质等截面板，长度为l，单位长度重量为q，弯曲刚度为EI。两均质水晶圆球的半径均为r，重量均为Pql=。假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑动摩擦，但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。观众发现，水晶板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚轴D，水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。魔术师的问题如下：（1）如果把滚轴D
6、安装在AB板的B处，此时AB板由于自重所导致的最大挠度在何处？（2）如果把滚轴D安装在AB板之间的某处，有可能使水晶球1O在板上静止，且球与板的接触点恰好是B点。如果不需要具体计算，如何说明滚轴D是更靠近A点还是更靠近B点？定性画出此时AB板挠度的示意图。（3）如果把滚轴D安装在AB板的中点，能否让水晶球1O在AD之间某位置平衡，接触点为1C；同时让水晶球2O在DB之间某位置平衡，接触点为2C。观众试着摆弄了很久，总是顾此失彼，最终也没有成功。如果你认为本问题有解，1AC和2AC的水平距离是多少？如果没有解，如何证明？ABDO1O2四、技高一筹的魔术师（25分）魔术正式开始，仍用上一题中的道具
7、（板和球的具体参数见第三题）。魔术师首先撤去了滚轴D，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的B端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间却明显不同。魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。说完在后落下的水晶球1O表面贴上了小纸片以示区别（假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量）。只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴有纸片的1O球静止放在板上（接触点为B点），同时让纸片远离接触位置，松手后水晶球1O竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。在观众的掌声中，魔术师撤走
8、了1O球，把2O球拿了起来。“这个水晶球不太听话，我的魔力只能管1 分钟。”魔术师说完把2O球转了转，然后更加小心地把2O球也放在板上（接触点为B点）。观众发现，2O球在B点停留了大约1 分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了下来（1）根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？（2）水晶球1O可在B点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。（3）水晶球2O只能在B点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。注：第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。ABDO1O21第六
9、届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案清华大学航天航空学院 高云峰 一、声东击西的射击手（30分）（1）2arccos 12SHR?=-?；S的限制为2SHR。（2）91e=（号码为9）；0CE=；22arccos 116SN HR?=-?，N为与地面的碰撞次数。（3）669e=（号码为6）；13CEH=；0CI=；226arccos 14(1)SeHR?=-?+?。二、骄傲自满的大力士（35分）（1）1cossinGT=+；大力士拉绳的姿势不影响绳中最大拉力的大小。（2）危险点坐标()11220,cos,-sinDD（3）大力士在0=时最接近拉坏球门：1356.0Mpa-=；夫人进入圆圈内，90=时可以有1357.9MPa-=三、顾此失彼的挑战者（30分）（1）最大挠度处：15330.5816xll-=（2）滚轴D更靠近B点；挠度示意图如下：（3）解不存在，证明见解题过程。四、技高一筹的魔术师（25分）（1）水晶球2O涂了新型材料。（2）关键参数：1tanB；纸片重量sin1sinBBPG-，（323BqlEI=）。（3）关键参数：2tanB=；初始角速度0150 sinBgr。ABD