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1、1 Excel 回归结果的解读利用 Excel 的数据分析进行回归，可以得到一系列的统计参量。下面以连续10 年积雪深度和灌溉面积序列（图 1）为例给予详细的说明。图 1 连续 10 年的最大积雪深度与灌溉面积（19711980）回归结果摘要（Summary Output）如下（图 2）：图 2 利用数据分析工具得到的回归结果2 第一部分：回归统计表这一部分给出了相关系数、测定系数、校正测定系数、标准误差和样本数目如下（表 1）：表 1 回归统计表逐行说明如下：Multiple 对应的数据是相关系数(correlation coefficient)，即 R=0.989416。R Square对
2、应的数值为测定系数(determination coefficient)，或称拟合优度(goodness of fit)，它是相关系数的平方，即有R2=0.9894162=0.978944。Adjusted 对应的是校正测定系数(adjusted determination coefficient)，计算公式为1)1)(1(12mnRnRa式中 n 为样本数，m 为变量数，R2为测定系数。对于本例，n=10，m=1，R2=0.978944，代入上式得976312.01110)978944.01)(110(1aR标准误差（standard error）对应的即所谓标准误差，计算公式为SSe11m
3、ns这里 SSe 为剩余平方和，可以从下面的方差分析表中读出，即有SSe=16.10676，代入上式可得418924.110676.16*11101s最后一行的观测值对应的是样本数目，即有n=10。第二部分，方差分析表方差分析部分包括自由度、误差平方和、均方差、F 值、P 值等（表 2）。表 2 方差分析表（ANOVA）逐列、分行说明如下：第一列 df 对应的是自由度（degree of freedom），第一行是回归自由度dfr，等于变量数目，即 dfr=m；第二行为残差自由度dfe，等于样本数目减去变量数目再减1，即有 dfe=n-m-1；第三行为总自由度dft，等于样本数目减1，即有 d
4、ft=n-1。对于本例，m=1，n=10，因此，3 dfr=1，dfe=n-m-1=8，dft=n-1=9。第二列 SS 对应的是误差平方和，或称变差。第一行为回归平方和或称回归变差SSr，即有8542.748)?(SSr12niiiyy它表征的是因变量的预测值对其平均值的总偏差。第二行为剩余平方和（也称残差平方和）或称剩余变差SSe，即有10676.16)?(SSe12niiiyy它表征的是因变量对其预测值的总偏差，这个数值越大，意味着拟合的效果越差。上述的y的标准误差即由SSe给出。第三行为总平方和或称总变差SSt，即有961.764)(SSr12niiiyy它表示的是因变量对其平均值的总
5、偏差。容易验证748.8542+16.10676=764.961，即有SStSSeSSr而测定系数就是回归平方和在总平方和中所占的比重，即有978944.0961.7648542.748SStSSr2R显然这个数值越大，拟合的效果也就越好。第四列 MS 对应的是均方差，它是误差平方和除以相应的自由度得到的商。第一行为回归均方差MSr，即有8542.74818542.748dfrSSrMSr第二行为剩余均方差MSe，即有013345.2810676.16dfeSSeMSe显然这个数值越小，拟合的效果也就越好。第四列对应的是F 值，用于线性关系的判定。对于一元线性回归，F 值的计算公式为22221
6、dfe)1(11RRRmnRF式中 R2=0.978944，dfe=10-1-1=8，因此9453.371978944.01978944.0*8F第五列 Significance F 对应的是在显著性水平下的F临界值，其实等于P 值，即弃真概率。所谓“弃真概率”即模型为假的概率，显然1-P 便是模型为真的概率。可见，P 值越小越好。对于本例，P=0.00000005420.0001，故置信度达到99.99%以上。第三部分，回归参数表4 回归参数表包括回归模型的截距、斜率及其有关的检验参数（表 3）。表 3 回归参数表第 一 列Coefficients对 应 的 模 型 的 回 归 系 数，包
7、括 截 距a=2.356437929和 斜 率b=1.812921065，由此可以建立回归模型iixy8129.13564.2?或iiixy8129.13564.2第二列为回归系数的标准误差（用as?或bs?表示），误差值越小，表明参数的精确度越高。这个参数较少使用，只是在一些特别的场合出现。例如L.Benguigui 等人在 When and where is a city fractal?一文中将斜率对应的标准误差值作为分形演化的标准，建议采用0.04 作为分维判定的统计指标（参见EPB2000）。不常使用标准误差的原因在于：其统计信息已经包含在后述的t 检验中。第三列 t Stat 对应
8、的是统计量t 值，用于对模型参数的检验，需要查表才能决定。t 值是回归系数与其标准误差的比值，即有aasat?，bbsbt?根据 表 3 中的数据容易算出：289167.1827876.1356438.2at，28588.19094002.0812921.1bt对于一元线性回归，t 值可用相关系数或测定系数计算，公式如下112mnRRt将 R=0.989416、n=10、m=1 代入上式得到28588.191110989416.01989416.02t对于一元线性回归，F 值与 t 值都与相关系数R 等价，因此，相关系数检验就已包含了这部分信息。但是，对于多元线性回归，t 检验就不可缺省了。第
9、四列 P value 对应的是参数的P值（双侧）。当 P0.05 时，可以认为模型在=0.05 的水平上显著，或者置信度达到95%；当 P0.01 时，可以认为模型在=0.01 的水平上显著，或者置信度达到99%；当 P0.001 时，可以认为模型在=0.001 的水平上显著，或者置信度5 达到 99.9%。对于本例，P=0.00000005420.0001，故可认为在=0.0001 的水平上显著，或者置信度达到99.99%。P 值检验与t 值检验是等价的，但P 值不用查表，显然要方便得多。最后几列给出的回归系数以95%为置信区间的上限和下限。可以看出，在=0.05 的显著水平上，截距的变化上
10、限和下限为-1.85865 和 6.57153，即有57153.685865.1a斜率的变化极限则为1.59615 和 2.02969，即有02969.259615.1b第四部分，残差输出结果这一部分为选择输出内容，如果在“回归”分析选项框中没有选中有关内容，则输出结果不会给出这部分结果。残差输出中包括观测值序号（第一列，用i 表示），因变量的预测值（第二列，用iy?表示），残差（residuals，第三列，用ei表示）以及标准残差（表 4）。表 4 残差输出结果预测值是用回归模型iixy8129.13564.2?计算的结果，式中xi即原始数据的中的自变量。从图 1 可见，x1=15.2，代入
11、上式，得118129.13564.2?xy91284.292.15*8129.13564.2其余依此类推。残差 ei的计算公式为iiiyye?从图 1 可见，y1=28.6，代入上式，得到31284.191284.296.28?111yye其余依此类推。标准残差即残差的数据标准化结果，借助均值命令average 和标准差命令stdev 容易验证，残差的算术平均值为0，标准差为1.337774。利用求平均值命令standardize(残差的单元格范围，均值，标准差)立即算出 表 4中的结果。当然，也可以利用数据标准化公式6)var(*iiizzzziizz逐一计算。将残差平方再求和，便得到残差平
12、方和即剩余平方和，即有10676.16)?(1212niiiniiyyeSSe利用 Excel 的求平方和命令sumsq容易验证上述结果。以最大积雪深度xi为自变量，以残差ei为因变量，作散点图，可得残差图（图 3）。残差点列的分布越是没有趋势（没有规则，即越是随机），回归的结果就越是可靠。用最大积雪深度xi为自变量，用灌溉面积yi及其预测值iy?为因变量，作散点图，可得线性拟合图（图 4）。最大积雪深度 x(米)Residual Plot-3-2-10123051015202530最大积雪深度 x(米)残差图 3 残差图最大积雪深度 x(米)Line Fit Plot010203040506
13、00102030最大积雪深度 x(米)灌溉面积y(千亩)灌溉面积 y(千亩)预测 灌溉面积y(千亩)图 4 线性拟合图7 第五部分，概率输出结果在选项输出中，还有一个概率输出（Probability Output）表（表 5）。第一列是按等差数列设计的百分比排位，第二列则是原始数据因变量的自下而上排序（即从小到大）选中图 1 中的第三列（C 列）数据，用鼠标点击自下而上排序按钮，立即得到表5 中的第二列数值。当然，也可以沿着主菜单的“数据(D)排序(S)”路径，打开数据排序选项框，进行数据排序。用表 5 中的数据作散点图，可以得到Excel 所谓的正态概率图（图 5）。表 5 概率输出表Normal Probability Plot0102030405060020406080100Sample Percentile灌溉面积y(千亩)图 5 正态概率图【几点说明】第一，多元线性回归与一元线性回归结果相似，只是变量数目m1，F 值和 t 值等统计量与R值也不再等价,因而不能直接从相关系数计算出来。第二，利用 SPSS给出的结果与Excel 也大同小异。当然，SPSS可以给出更多的统计量，如DW值。在表示方法上，SPSS也有一些不同，例如P Value（P值）用 Sig.（显著性）表征，因为二者等价。只要能够读懂Excel 的回归摘要，就可以读懂SPSS回归输出结果的大部分内容。