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1、第 1 页 共 16 页高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1排序不等式定理 1设1212.,.nnaaabbb，则有1211.nnna ba ba b
2、(倒序积和)1212.nrrnra ba ba b（乱序积和）1 122.nnaba ba b（顺序积和）其中1,2,.,nr rr是实数组1,2,.,nb bb一个排列，等式当且仅当12.naaa或12.nbbb时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212.nrrnrSa ba ba b。不 等 式1212.nrrnrSaba ba b的 意 义：当121,2,.,nrrrn时，S达 到 最 大 值1 12 2.nna ba ba b.因此，首先证明na必须和nb搭配，才能使S 达到最大值.也即，设nrn且nb和某个()ka kn搭
3、配时有.nnknnrkrnna ba ba ba b（1-1）事实上，()()()0nnnnnkrknnrnrnka ba ba ba bbbaa不等式（1-1）告诉我们当nrn时，调换nb和nrb的位置（其余 n-2 项不变），会使和 S 增加.同理，调整好na第 2 页 共 16 页和nb后，再调整1na和1nb会使和增加.经过 n 次调整后，和 S 达到最大值1 122.nnaba ba b，这就证明了1212.nrrnraba ba b1 122.nnaba ba b.再证不等式左端,由1211.,.nnnaaabbb及已证明的不等式右端，得1211(.)nnnaba ba b1212
4、(.)nrrnra ba ba b即1211.nnna ba ba b1212.nrrnra ba ba b.例 1（美国第 3 届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b cabca b cabc.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明.证明：不妨设abc，则有lglglgabc根据排序不等式有：lglglglglglgaabbccabbccalglglglglglgaabbccacbacb以上两式相加，两边再分别加上l gl gl gaabbcc有3(lglglg)()(lglglg)aabbccabccab即lglg3abcabca b cabc故3()a
5、b cabca b cabc.例 2 设 a,b,cR，求证：222222333222abbccaabcabccabbccaab.思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.第 3 页 共 16 页证明：不妨设abc，则222abc且111cba根据排序不等式，有222222111abcabccababc222222111abcabcbcaabc两式相加除以2，得222222222abbccaabccab再考虑333abc，并且111bccaab利用排序不等式，333333111abcabcbccaabcaabbc333333111abcabcbccaababbca
6、c两式相加并除以2，即得222222333222abbccaabccabbccaab综上所述，原不等式得证.例 3 设12120.,0.nnaaabbb，而1,2,.,ni ii与1,2,.,nj jj是1,2,.,n的两个排列.求证：1111rsnnnnijrsrsrsa ba brsrs.（1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令1snjrsbdrs（r=1,2,.,n）第 4 页 共 16 页显然12.nddd因为12.nbbb，且111.(1)1rnrnr由排序不等式1nsrsbdrs又因为12.naaa所以11rnnrr
7、irrra da d且111nnnsrrrrsrbaa drs（注意到ra0）故11111rssrnnnnnijjirirrsrsra bbaa drsrs11111nnnnnsrsrrrrrsrsba ba darsrs故原式得证.2.均值不等式定理 2设12,.,na aa是 n 个正数，则()()()()H nG nA nQ n称为均值不等式.其中，121()111.nH naaa，12().nnG na aa，12.()naaaA nn，22212.()naaaQ nn分别称为12,.,na aa的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数.证明：先证()()G nA n.第 5
8、 页 共 16 页记12.nnca aa，令iiabc，则原不等式12.nbbbn其中12121.(.)1nnnb bba aac取12,.,nx xx使11212123,.,nnnxxxbbbxxx则1.nnxbx由排序不等式，易证111221.nnnnxxxbbbnxxx下证()()A nQ n因为222212121.(.)nnaaaaaan22212131()().()naaaaaa2222232421()().().()nnnaaaaaaaa 2121(.)naaan所以2221212.nnaaaaaann.从上述证明知道，当且仅当12.naaa时，不等式取等号.下面证明()()H n
9、G n对 n 个正数12111,.,naaa，应用()()G nH n，得1212111.1 11.nnnaaana aa即()()HnG n（等号成立的条件是显然的）.例 4 已知2201,0axy，求证：1log()log28xyaaaa.证明：由于01a，0,0 xyaa，第 6 页 共 16 页有22xyxyxyaaa aa从而l o g()l o g(2)l o g22xyxyaaaxyaaa a下证128xy，即14xy。又因为2111()244xyxxx，等号在 x=12(这时 y=14)时取得所以1l o g()l o g28xyaaaa.例 5（IMO）设 a,b,c 是正实
10、数，且满足abc=1.证明：111(1)(1)(1)1abcbca证明：令,yyzabcxzx，其中 x,y,z 是正实数，将原不等式变形为()()()xyzyzxzxyxyz（2-1）记,uxyz vyzx wzxy，注意到 u,v,w 任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数.如果恰有一个负数，那么0uvwxyz，（2-1）式成立.如果这三个数都大于0，由算术几何平均不等式1()2uvxyzyzxx同理可证，vwy，wuz于是uv vw wuxyz即uvwxyz，（2-1）式得证.例 6 已知12,.,0na aa，且12.1naaa.求证：1223131211.1.1.21nn
11、nnaaanaaaaaaaaan.第 7 页 共 16 页思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为112(1)22nniiiiiaaa.左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项22ia可看为倒数形式，尝试用调和平均.证明：不等式左边化为112(1)22nniiiiiaaa，对12222,.,222naaa，利用()()A nH n有111222niniiiianana即22211221122122niniiiannnnnna所以2111222(1)22221nnniiiiiiiaannnaan21nn.3柯西不等式定理 3设ia，ibR（i=1
12、,2,n）,恒有不等式222111.()nnniiiiiiiaba b，当且仅当1212.nnbbbaaa时，等式成立.构造二次函数证明当021naaa或021nbbb时，不等式显然成立第 8 页 共 16 页令niiaA12niiibaB1niibC12，当naaa,21中至少有一个不为零时，可知A0 构造二次函数CBxAxxf222，展开得：02121222niiiniiiiibxabxbaxaxf故xf的判别式0442ACB移项得2BAC，得证。向量法证明令nnbbbaaa,2121，.则对向量,有1,cos，由nnbababa2211，niiniiba122122,，得.121221n
13、iiniiniiibaba当且仅当1,cos，即,平行时等号成立。数学归纳法证明i)当 n=1时，有2221211baba，不等式成立。当 n=2 时，221122222121222112babababababa212222212222212122212221bababababbaa因为2211212222212babababa，故有2221222122211bbaababa当且仅当1221baba，即2211baba时等号成立。ii）假设 n=k 时不等式成立，即222212222122211kkkkbbbaaabababa当且仅当kkbababa2211时等号成立。那么当 n=k+1 时，
14、21212211112221121122112kkkkkkkkkkkkbabababababababababababa第 9 页 共 16 页2122212122212121212212212121212222122221212122111122221222212kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkbbbaaabaabbaabbabbbaaababababababbbaaa2222122221nnbbbaaa当且仅当1112121111,kkkkkkkkabbaabbaabba时等号成立，即112211kkkkbabababa时等号成立。于是 n=k+1 时不等式成立。由 i)ii）可得对
15、于任意的自然数n，柯西不等式成立。利用恒等式证明先用数学归纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数nnbbbaaa,;,2121有柯西拉格朗日恒等式211222223322112133121221222112222122221nnnnnnnnnnnnbabababababababababababababababbbaaa由实数性质R02可得柯西不等式成立。以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。柯西不等式的推广命题 1若级数ni
16、iniiba1212与收敛，则有不等式niiniiniiibaba121221。证明：niiniiba1212,收敛，niiniiniiibaba1212210第 10 页 共 16 页iniiba1收敛，且niinniinniiinbaba121221limlimlim从而有不等式niiniiniiibaba121221成立。命题 23若级数niiniiba1212与收敛，且对Nn有niiniiniiibaba121221，则对定义在ba,上的任意连续函数xgxf,有不等式dxxgdxxfdxxgxfbababa222证明：因为函数xgxf,在区间ba,上连续，所以函数xgxfxgxf22、
17、与在ba,上可积，将ba,区间 n 等分，取每个小区间的左端点为i，由定积分的定义得：xgdxxgxfdxxfxgdxxgxfdxxfininbaininbaniinbaniinba12212211lim,limlim,lim令12211221,gbfa，则niiniiba1212与收敛，由柯西不等式得niinniinniiinniiniiniiixgxfxgfxgxfxgf121221121221limlimlim,从而有不等式dxxgdxxfdxxgxfbababa222。赫尔德不等式4设,0,0),2,1(,0,011qpniba满足,111qp则：qniqipnipiniiibaba1
18、1111，等号成立的充分必要条件是.0;,2,1nibaqipi证明：首先证明111qp时，对任何正数A 及 B，有ABBqApqp11.第 11页 共 16 页对凹函数,ln xxf有：.11lnln1ln111lnABBqApABBqApBqApqPqpqP令,1111qniqikpnipikbbBaaA代 入 以 上 不 等 式 并 对 于nk,2,1，把 这n个 不 等 式 相加.,1111111111111qpbbqaapbabankniqiqknipipknkqniqipnipikk即qniqipnipiniiibaba11111成立。等号成立的充分必要条件是：,11niqiqin
19、ipipibbaa即例 7 设12,.,nx xxR，求证：222211212231.nnnnxxxxxxxxxxx.思路分析：注意到式子中的倒数关系，考虑运用柯西不等式来证明.证明：因为12,.,nx xx0，故由柯西不等式，得222211223123121122312312231(.)(.)(.)(.)nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以222211212231.nnnnxxxxxxxxxxx.例 8 已知实数,a b c d，e 满足222228,16abcdeabcde，求 e 的取值范围.思路分析：由22222abcde联想到应用柯西不等式.
20、解：因为22222224()(1111)()abcdabcd2(),abcd第 12 页 共 16 页即224(16)(8)ee，226446416eee即25160ee，所以(51 6)ee，故605e.评述：此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值，十分典型，它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目.例 9 123,x xxR满足2221231xxx，求312222123111xxxxxx的最小值.解：容易猜到12313xxx时，312222123111xxxxxx取最小值3 32.为了证明这一点，利用柯西不等式，得3333222111.(1)11iiiiiiiixxxxx，只需要证明33
21、212(1)3 3iiixx等价于33531123 3iiiixx（3-1）由几何算术平均不等式，得222553111311123()()3 33 33 3xxxxxx，同理可证，222553222322223()()3 33 33 3xxxxxx，222553333333323()()3 33 33 3xxxxxx，以上三式相加，（3-1）式得证，进而证得312222123111xxxxxx的最小值是3 32，当且仅当12313xxx时。第 13 页 共 16 页评述：柯西不等式中的iiab的项iiab如何拆成两个因式ia和ib的积，可以说是应用此不等式的主要技巧（上例33212(1)3 3
22、iiixx，我们将321iix中的2ix表示为21iixx和32(1)iixx的积），正因为iiab可以按照我们的需要加以分解，柯西不等式的应用更为广泛.例10试 问：当 且 仅 当 实 数01,.,(2)nx xxn满 足 什 么 条 件 是，存 在 实 数01,.,nyyy使 得2222012.nzzzz成立，其中kkkzxiy，i 为虚数单位，k=0,1,n.证明你的结论.（高中联赛，1997）思路分析：将2222012.nzzzz成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找(1,2,.,)ix in的范围.解：将2222012.nzzzz转化到实数范围内，即22220
23、011001,nnkkkknkkkxxyyx yx y（3-2）若存在实数01,.,nyyy使（3-2）成立，则222001()nkkkx yx y.由柯西不等式可得22220011()()nnkkkkx yxy（3-3）如果2201nkkxx，由（3-2）可知2201nkkyy，从而22220011()()nnkkkkx yxy与（3-3）矛盾于是得2201nkkxx（3-4）反之若（3-4）成立，有两种情况：2201nkkxx，则取kkyx，k=0,1,2,n，显然（3-2）成立.第 14 页 共 16 页2201nkkxx，记222010nkkaxx，则1,.,nxx不全为 0.不妨设0
24、nx，取0,0,1,2,.,2kykn，并且取11222211,.nnnnnnnnaxaxyyxxxx易知（3-2）成立.综上，所求的条件为2201nkkxx.4切比雪夫不等式定 理4设12,.,nx xx，12,.,ny yy为 任 意 两 组 实 数，若12.nxxx且12.nyyy或12.nxxx且12.nyyy，则111111()()nnniiiiiiix yxynnn（4-1）若12.nxxx且12.nyyy或12.nxxx且12.nyyy，则111111()()nnniiiiiiix yxynnn（4-2）当且仅当12.nxxx或12.nyyy时，（4-1）和（4-2）中的不等式成
25、立.证明：设1212,.,.,nnx xxyyy为两个有相同次序的序列，由排序不等式有11221122.nnnnx yx yx yx yx yx y112212231.nnnx yx yx yx yx yx y112213242.nnnx yx yx yx yx yx y11221211.nnnnnx yx yx yx yx yx y第 15 页 共 16 页把上述 n 个式子相加，得111()()nnniiiiiiinx yxy上式两边同除以2n，得111111()()nnniiiiiiix yxynnn等号当且仅当12.nxxx或12.nyyy时成立.例 10 设0(1,2,.,)iain
26、，求证：12121(.)1212.(.)nnaaaaaannna aaa aa证明：不妨令12.0naaa，则12lglg.lgnaaa由切比雪夫不等式，有11221212lglg.lg1(.)(lglg.lg)nnnnaaaaaaaaaaaan即12121(.)1 212lg(.)lg(.)nnaaaaa annnaaa aa从而证得12121(.)1212.(.)nnaaaaaannna aaaaa.例 11 已知1211.0,.0nnnaaabbb.求证：111niniiniiiiabnab.证明：取,iiiixa yb，则由2211.0,.0nnnaaabbb，可知ix，ib满足切比雪夫不等式的条件，故11111111()()nnniiiiiiiaanbnnb第 16 页 共 16 页又由均值不等式，正数12,.,nb bb的调和平均数不大于它们的算术平均数，即111niiniibnnb.其中等号仅在12.nbbb时成立.这样就有1111niniiniiiiabnab，即111niniiniiiiabnab，而且等号仅在12.nbbb时成立.