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1、首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷（非数学类，2009）一、填空题（每小题5 分，共 20 分）1计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(_，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.解 令vxuyx,，则vuyvx,，vuvuyxdddd1110detdd，vuuvuuuyxyxxyyxDDdd1lnlndd1)1ln()(1021000d1)ln(1lnd)dln1d1ln(uuuuuuuuuuvvuuvuuuuu102d1uuu（*）令ut1，则21tu，dt2dtu，42221ttu，)1)(1()1(2tttuu，0142d)21(2(*)ttt1042d)21(2ttt15
2、16513221053ttt2 设)(xf是连续函数，且满足2022d)(3)(xxfxxf,则)(xf_.解 令20d)(xxfA，则23)(2Axxf，AAxAxA24)2(28d)23(202,解得34A。因此3103)(2xxf。3曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是_.解因 平 面022zyx的 法 向 量 为)1,2,2(，而 曲 面2222yxz在),(00yx处 的 法 向 量 为)1),(),(0000yxzyxzyx，故)1),(),(0000yxzyxzyx与)1,2,2(平行，因此，由xzx，yzy2知0000002),(2,),(2yyxzxyxzyx
3、，即1,200yx，又5)1,2(),(00zyxz，于是曲面022zyx在),(,(0000yxzyx处的切平面方程是0)5()1(2)2(2zyx，即曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是0122zyx。4设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy_.解 方程29ln)(yyfexe的两边对x求导，得29ln)()()(yeeyyf xeyyfyf因)(29lnyfyxee，故yyyfx)(1，即)(1(1yfxy，因此2222)(1)()(1(1ddyfxyyfyfxyxy322232)(1)(1)()(1(1)(1)(y
4、fxyfyfyfxyfxyf不会：二、（5 分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.解法 1 因xenxxxxxenxxxxnneeeneee)1(lim)(lim2020故nxneeeexenneeeAnxxxxnxxxx2020limlimennnenneeeenxxxx21212lim20因此enAxenxxxxeeneee2120)(lim解法 2 因xneeeeneeenxxxxxenxxxxln)ln(lim)ln(lim2020ennneeeeneeeenxxxnxxxx21212lim220故enAxenxxxxeeneee2120)(lim三、（
5、15 分）设函数)(xf连续，10d)()(txtfxg，且Axxfx)(lim0，A为常数，求)(xg并讨论)(xg在0 x处的连续性.解由Axxfx)(lim0和函数)(xf连续知，0)(limlim)(lim)0(000 xxfxxffxxx因10d)()(txtfxg，故0)0(d)0()0(10ftfg，因此，当0 x时，xuufxxg0d)(1)(，故0)0(1)(limd)(lim)(lim0000fxfxuufxgxxxx当0 x时，xxfuufxxgx)(d)(1)(02，200000d)(limd)(1lim)0()(lim)0(xttfxttfxxgxggxxxxx22)
6、(lim0Axxfx22d)(1lim)(lim)(d)(1lim)(lim02000200AAAuufxxxfxxfuufxxgxxxxxx这表明)(xg在0 x处连续.四、（15 分）已知平面区域0,0|),(yxyxD，L为D的正向边界，试证：（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.证 因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知（1）yxyeyxexxyeyxeDxyLxydd)()(ddsinsinsinsinyxeeDxydd)(sinsinLxyxyeyxeddsinsinyxyeyxexDx
7、ydd)()(sinsinyxeeDxydd)(sinsin而D关于x和y是对称的，即知yxeeDxydd)(sinsinyxeeDxydd)(sinsin因此LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin（2）因)1(2)!4!21(2242ttteett故22cos522cos12sin22sinsinxxxeexx由DxyLDxyyyyxeeyxeexyeyxedd)(dd)(ddsinsinsinsinsinsin知DxyLDxyyyyxeeyxeexyeyxedd)(21dd)(21ddsinsinsinsinsinsinDxxDxxDyyyxeeyxeeyxe
8、edd)(dd)(21dd)(21sinsinsinsinsinsin200sinsin25d22cos5d)(xxxeexx即2sinsin25ddLyyxyeyxe五、（10 分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是二阶常系数线性非齐次微分方程)(xfcyyby的三个解，则xxeeyy212和xeyy13都是二阶常系数线性齐次微分方程0cyyby的解，因此0cyyby的特征多项式是0)1)(2(，而0cyyby的特征多项式是02cb因此二阶常系数线性
9、齐次微分方程为02yyy，由)(2111xfyyy和xxxexeey212，xxxexeey2142知，1112)(yyyxf)(2)2(42222xxxxxxxxexeeexeeexexex)21(二阶常系数线性非齐次微分方程为xxxeeyyy22六、（10 分）设抛物线cbxaxyln22过原点.当10 x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试确定cba,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线cbxaxyln22过原点，故1c，于是2323dt)(311023102baxbxabxax即)1(32ab而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积10
10、221022dt)1(32(dt)()(xaaxbxaxaV10221031042dt)1(94dt)1(34dtxaxaaxa22)1(274)1(3151aaaa即22)1(274)1(3151)(aaaaaV令0)1(278)21(3152)(aaaaV，得04040904554aaa即054a因此45a,23b,1c.七、（15 分）已知)(xun满足),2,1()()(1nexxuxuxnnn,且neun)1(,求函数项级数1)(nnxu之和.解xnnnexxuxu1)()(，即xnexyy1由一阶线性非齐次微分方程公式知)d(1xxCeynx即)(nxCeynx因此)()(nxCe
11、xunxn由)1()1(nCeunen知，0C，于是nexxuxnn)(下面求级数的和：令11)()(nxnnnnexxuxS则xexSexxSnexexxSxnxnnxnxn1)()()()(1111即xexSxSx1)()(由一阶线性非齐次微分方程公式知)d11()(xxCexSx令0 x，得CS)0(0，因此级数1)(nnxu的和)1ln()(xexSx八、（10 分）求1x时,与02nnx等价的无穷大量.解令2)(txtf，则因当10 x，(0,)t时，2()2ln0tfttxx，故xttextf1ln22)(在(0,)上严格单调减。因此1010001()d()d()(0)()d1()dnnnnnnnf ttf ttf nff ttf tt即000()d()1()dnf ttf nf tt，又200()nnnf nx，111lim11lnlim11xxxxx21ln1d1ln1ddd)(001ln00222xtextetxttftxtt，所以，当1x时,与02nnx等价的无穷大量是x121。