《2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目C论文.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目C论文.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛企业退休职工养老金制度的改革一、摘要养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。本文根据题目的要求，我们在合理的假设下，根据我国经济发展的速度、工资增长的形式与企业退休职工养老金的关系建立了数学模型。在完善企业退休职工养老金制度的前提下，在合理的条件假设及分析过程中，通过对山东省职工历年工资及相关数据的计算与研究，得出了相关替代率值，并依此结合未来我国经济发展和工资增长的合理形式，达到目标替代率和维持我国养老保险基金收支的平衡。在进行模型建立和问题分析、解决的过程中采用了指数函数的拟合、求期望值、指数函数图
2、与数据分析法等数学方法来解答了相关方面的问题。（1）我们根据当前我国经济迅速发展和工资增长较快的趋势对未来做出了假设，并依据历年山东省职工的平均职工数据对2011年至 2035年山东省职工的年平均工资做出了指数函数的拟合得到了增长率P=14.1%。（2）经分析，该题要用到平均值(期望值)（3）根据题目中所给公式计算，并对该企业职工养老保险基金的缺口和养老保险收支平衡所需要的年数进行合理的分析。（4）对前面三道问题所求得的解进行分析，在合理假设的条件下，对养老保险基金收支平衡建立数学模型，最终提出有效措施。二、关键字指数函数的拟合期望值收支平衡表格数据分析三、问题重述养老金是一种根据劳动者对社会
3、所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系,工资的增长又与经济增长相关。所以要处理好养老金的各项问题，就要把经济的发展与职工工资的各种问题处理好。现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡，那我们如何才能让养老保险基金的收支平衡？影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维
4、持，可能出现缺口。这就需要我们建立数学模型来解决这样的循环经济问题。从而达到一种既要维持养老保险基金收支平衡，又要达到目标替代率（58.5%）的理想状态。在该题中，题目给出了大量的数据，这些数据要如何分析、如何处理才能使误差尽可能的减少？这是我们要十分重视的一个问题。另外我们在处理数据时，必须严格按照题目所给出的公式进行合理分析计算。1（1）参考附件，建立数学模型，针对问题采用图表分析法，大多利用期望求值；（2）问题二中我们要分六种不同的情况来计算，从 30 岁、40 岁开始缴纳养老保险，一直缴费到退休（55岁，60 岁，65 岁）的养老金替代率；（3）根据题目的要求对养老保险基金收支平衡问题
5、，做一个简单的数值计算，并且分析影响收支平衡的因素；（4）最后针对养老金问题用我们所建立的数学模型，结合实际情况，提出合理的解决措施。四、问题分析该题的核心就是要使养老保险基金收支维持平衡。最终针对养老金问题用我们所建立的数学模型，结合实际情况，提出合理的解决措施。对于问题一，我们要依据附件1 中的数据找出数值的增长规律，从而预测2011 年至 2035 年山东省职工的年平均工资。在合理的假设条件下对未来中国经济发展和工资增长的形势做出最好的分析；对于问题二，根据附件的数据直接算出2009 年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资是一个难点，也是解答该问的基础。根据题目的要求分成六种不同的情况
6、来计算从 30 岁、40 岁开始缴纳养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁）的养老金替代率；对于问题三，在合理假设的前提下，对个人缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡进行计算，通过个人的养老保险基金收支平衡，就可以折射出整个社会养老保险基金收支问题。在计算过程中我们就可以从中发现养老保险基金收支平衡的问题，从而解决相应的问题；对于问题四，是一个综合性、创新性的，须考虑多种因素的复杂问题。要在合理的假设、准确的计算，以及结合实际的情况下才能提出具体的措施。而前面三个问题的解答为此题提供了有利的条件。五、模型的基本假设（1）假设职工的工资是单一的净工资，没有其他方面的
7、收入。（2）假设中国经济发展的“大环境”与近些年相似，并忽略一切特殊制约经济发展的因素。（3）假设职工工资增长率能正确反应中国经济发展的增长率，并且增长率不受任何因素的影响。（4）假设职工历年平均工资就是职工的真实工资。（5）假设职工工资、个人工资、职工平均工资都相同。（针对计算较复杂的问题）六、符号说明表示增长率；表示年份；t 表示各年龄段职工月平均工资与企业平均工资之比；表示预测年平均工资；x 表示年份差；ax、bx表示相邻年份；q 表示指数函数的变量；表示本人指数化月平均缴费工资；1x,2x,3x,mx表示参保人员退休前1 年、前 2 年、m 年本人缴费工资额；1c，2c，mc表示参保人
8、员退休前1 年、前 2 年、.、m 年全国/省/地方“职工平均工资”或称“社会平均工资”；n 表示企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计；七、模型建立的求解1.问题一：中国的经济自改革开放以来，一直都呈现快速增长形势。随着经济全球化的发展，我国的经济发展进一步加快。在未来中国经济快速的发展和工资不断增长的形势下我们做出简化：职工的经济收入完全是正工资，而且经济发展的大环境与近些年相似，并忽略一切特殊制约经济发展的因素。因为经济发展方式决定了工资增长机制（来自 ），所以我们可以做出假设，用该省职工工资增长率来反应中国经济的增长率。baxxxxxeeePab1%10081.41981.4198
9、1.41921319.01319.01319.0由以上公式可得增长率为：%1.14Pxqeyzxx1319.081.41919771319.0此表格是根据附件1 山东省职工历年平均工资而绘制的指数函数拟合图表，该图像反映了该省职工从1978 年到 2010 年的平均工资分布，从以上指数函数的趋势可以合理推算出未来 25 年的年平均工资，如下表所示：2011年至 2035年的山东省职工的年平均工资年份x 值q 值年平均工资2011 34 4.4846 37213 2012 35 4.6165 42459 2013 36 4.4784 48446 2014 37 408803 55276 2015
10、 38 5.0122 63070 2016 39 5.1441 71963 2017 40 5.276 82109 2018 41 5.4079 93686 2019 42 5.5398 106895 2020 43 5.6717 121967 2021 44 5.8036 139163 2022 45 5.9355 158784 2023 46 6.0674 181172 2024 47 6.1993 206716 2025 48 6.3312 235862 2026 49 6.4631 269117 2027 50 6.595 307061 2028 51 6.7269 350355 山东
11、省职工历年平均工资统计表y=419.81e0.1319xR2=0.99510500010000150002000025000300003500005101520253035年份平均工资y指数(y)2029 52 6.8588 399753 2030 53 6.9907 456116 2031 54 7.1226 520426 2032 55 7.2545 593803 2033 56 7.3864 677525 2034 57 7.5183 773052 2035 58 7.6502 882048 2.问题二：由附表 2：2009年山东省某企业各年龄段工资分布表可以计算出山东省各年龄段职工工资
12、与山东省平均工资之比。我们采用绘制表格分析法分别对不同年龄段的职工月平均工资进行计算，最后通过总表的绘制呈现。如以下所示：2024岁职工数条件月收入人数人数百分比最高与最低平均值各年龄段职工月平均值月收入范围（元）1000 74 0.262411348 1249.5 327.8829787 1499 1500 165 0.585106383 1749.5 1023.643617 1999 2000 26 0.092198582 2249.5 207.4007092 2499 2500 16 0.056737589 2749.5 156 2999 3000 1 0.003546099 3249.
13、5 11.52304965 3499 3500 0 0 3749.5 0 3999 4000 0 0 4499.5 0 4999 5000 0 0 6500 0 8000 总数282 1 25996.5 1726.450355 2529 岁职工数条件月收入人数人数百分比最高与最低平均值各年龄段职工月平均工资月1000 36 0.136882129 1249.5 171.0342205 1499 1500 82 0.311787072 1749.5 545.4714829 收入范围（元）1999 2000 94 0.357414449 2249.5 804.0038023 2499 2500 4
14、2 0.159695817 2749.5 439.0836502 2999 3000 6 0.022813688 3249.5 74.13307985 3499 3500 3 0.011406844 3749.5 42.76996198 3999 4000 0 0 4499.5 0 4999 5000 0 0 6500 0 8000 总数263 1 25996.5 2076.496198 3034 岁职工数条件月收入人数人数百分比最高与最低平均值各年龄段职工月平均工资月收入范围（元）1000 0 0 1249.5 0 1499 1500 11 0.048672566 1749.5 85.152
15、65487 1999 2000 74 0.327433628 2249.5 736.5619469 2499 2500 83 0.367256637 2749.5 1009.772124 2999 3000 36 0.159292035 3249.5 517.619469 3499 3500 16 0.07079646 3749.5 265.4513274 3999 4000 4 0.017699115 4499.5 79.63716814 4999 5000 2 0.008849558 6500 57.52212389 8000 总数226 1 25996.5 2751.716814 404
16、4 岁职工数条件月收入人数人数百分比最高与最低平均值各年龄段职工月平均工资月收入范围（元）1000 0 0 1249.5 0 1499 1500 0 0 1749.5 0 1999 2000 43 0.194570136 2249.5 437.6855204 2499 2500 86 0.389140271 2749.5 1069.941176 2999 3000 55 0.248868778 3249.5 808.699095 3499 3500 21 0.095022624 3749.5 356.2873303 3999 4000 13 0.058823529 4499.5 264.676
17、4706 4999 5000 3 0.013574661 6500 88.23529412 8000 总数221 1 25996.5 3025.524887 4549 岁职工数条件月收入人数人数百分比最高与最低平均值各年龄段职工月平均工资月收入范围（元）1000 0 0 1249.5 0 1499 1500 3 0.015463918 1749.5 27.05412371 1999 2000 32 0.164948454 2249.5 371.0515464 2499 2500 32 0.164948454 2749.5 453.5257732 2999 3000 64 0.329896907
18、 3249.5 1072 3499 3500 41 0.211340206 3749.5 792.4201031 3999 4000 18 0.092783505 4499.5 417.4793814 4999 5000 4 0.020618557 6500 134.0206186 8000 总数194 1 25996.5 3267.551546 5054 岁职工数条件月收入人数人数百分比最高与最低平均值各年龄段职工月平均工资月收入范围（元）1000 0 1249.5 0 1499 1500 7 0.051851852 1749.5 90.71481481 1999 2000 23 0.170
19、37037 2249.5 383.2481481 2499 2500 29 0.214814815 2749.5 590.6333333 2999 3000 44 0.325925926 3249.5 1059.096296 3499 3500 21 0.155555556 3749.5 583.2555556 3999 4000 8 0.059259259 4499.5 266.637037 4999 5000 3 0.022222222 6500 144.4444444 8000 总数135 1 25996.5 3118.02963 5559 岁职工数条件月收入人数人数百分比最高与最低平均
20、值各职工月平均工资月收入范围（元）1000 0 1249.5 0 1499 1500 6 0.059405941 1749.5 103.9306931 1999 2000 17 0.168316832 2249.5 378.6287129 2499 2500 27 0.267326733 2749.5 735.0148515 2999 3000 37 0.366336634 3249.5 1190.410891 3499 3500 7 0.069306931 3749.5 259.8663366 3999 4000 7 0.069306931 4499.5 311.8465347 4999 5
21、000 0 6500 0 8000 总数101 1 25996.5 2979.69802 2009 年山东省某企业各年龄段工资分析表各年龄段职工总人数占总人数百分比最高与最低平均值各年龄段职工月平均工资20-24 岁职工282 0.169471154 1249.5 1726.450355 25-29 岁职工263 0.158052885 1749.5 2076.496198 30-34 岁职工242 0.145432692 2249.5 2534.623967 35-39 岁职工226 0.135817308 2749.5 2751.716814 40-44 岁职工221 0.1328125
22、3249.5 3025.524887 45-49 岁职工194 0.116586538 3749.5 3267.551546 50-54 岁职工135 0.081129808 4499.5 3118.02963 55-59 岁职工101 0.060697115 6500 2979.69802 总数1664 1 2599605 21480.09142 由上图就可以很直观的看到该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，即职工缴费指数的参考值。而该企业的平均工资等于上表中的各年龄段职工月平均工资乘于各占总人数百分比之和，即：企业平均工资=0.169471154*1726.150355+0.1580
23、52885*1749.5+0.145432692*2249.5+,+0.081129808*4499.5+6500*0.060697445=2579.731971 t=各年龄段职工月平均工资企业平均工资20-24 岁职工:1t=1726.4503552579.731971=0.669236329 25-29 岁职工:2t=2076.4961982579.731971=0.804927109 30-34 岁职工:3t=2534.6239672579.731971=0.982514461 35-39 岁职工:4t=2751.7168142579.731971=1.066667718 40-44 岁
24、职工:5t=3025.5248872579.731971=1.172805904 45-49 岁职工:6t=3267.5515462579.731971=1.266624433 50-54 岁职工:7t=3118.029632579.731971=1.208664181 55-59 岁职工:8t=2979.698022579.731971=1.155041707 当考虑到该企业职工自2000 年起分别从 30 岁、40 岁开始缴纳养老保险，一直缴纳到退休（55岁、60 岁、65 岁）总共有六种情况。公式：替代率=刚退休时的养老金退休前的工资刚退休时的养老金=基础养老金+个人账户养老金个人账户养
25、老金=个人账户储存额计发月数基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）2缴费年限 1%本 人指数 化月平 均缴 费工 资=全省 上年 度在岗 职工 月 平均 工资 本 人平 均 缴费指数情况 1：自 2000年起，30 岁开始缴养老保险，一直缴费至退休（55 岁）的个人账养老金.30岁缴保险至 55 岁退休的个人账户养老金年份年平均工资个人账户养老金2000 8772 869.9694 2001 10007 2002 11374 2003 12567 2004 14332 2005 16614 2006 19228 2007 22844 2008 26404 200
26、9 29688 2010 32074 2011 37213 2012 42459 2013 48446 2014 55276 2015 63070 2016 71963 2017 82109 2018 93686 2019 106895 2020 121967 2021 139163 2022 158784 2023 181172 2024 206716 2025 235862 说明：以下计算t均保留四位数基础养老金=%12525209.1267.1173.1067.1983.01220671612206716 =4607.613 养老金=4607.613+869.9464 =5477.559
27、4 替代率=5477.559412206716%100 =31.798%情况 2：自 2000年起，30 岁开始缴养老保险，一直缴费至退休（60 岁）的个人账养老金.30岁就缴保险至 60 岁退休的个人账户年份年平均工资个人账户养老金2000 8772 2089.834 2001 10007 2002 11374 2003 12567 2004 14332 2005 16614 2006 19228 2007 22844 2008 26404 2009 29688 2010 32074 2011 37213 2012 42459 2013 48446 2014 55276 2015 63070
28、 2016 71963 2017 82109 2018 93686 2019 106895 2020 121967 2021 139163 2022 158784 2023 181172 2024 206716 2025 235862 2026 269117 2027 307061 2028 350355 2029 399753 2030 456116 基础养老金=%13026155.1209.1267.1173.1983.0067.11239975312399753=10753.3557 养老金=10753.3557+2089.834 =12843.1897 替代率=12843.189712
29、399753100%=38.553%情况 3：自 2000年起，30 岁开始缴养老保险，一直缴费至退休（65 岁）的个人账养老金.30 岁就缴保险至 65岁退休的个人账户年份年平均工资个人账户养老金2000 8772 5606.291 2001 10007 2002 11374 2003 12567 2004 14332 2005 16614 2006 19228 2007 22844 2008 26404 2009 29688 2010 32074 2011 37213 2012 42459 2013 48446 2014 55276 2015 63070 2016 71963 2017 8
30、2109 2018 93686 2019 106895 2020 121967 2021 139163 2022 158784 2023 181172 2024 206716 2025 235862 2026 269117 2027 307061 2028 350355 2029 399753 2030 456116 2031 520426 2032 593803 2033 677525 2034 773053 2035 882048 基础养老金=%13526155.1209.1267.1172.1983.0067.1124888.773052124888.773052 =24148.2271
31、2 养老金=24148.22712+5606.291 =29754.51812 替代率=29754.51812%100124888.773052 =46.188%情况 4：自 2000年起，40 岁开始缴养老保险，一直缴费至退休（55 岁）的个人账养老金40岁就缴保险至 55岁退休个人账户年份年平均工资个人账户养老金2000 8772 217.8988 2001 10007 2002 11374 2003 12567 2004 14332 2005 16614 2006 19228 2007 22844 2008 26404 2009 29688 2010 32074 2011 37213 2
32、012 42459 2013 48446 2014 55376 2015 63070 基础养老金=%11523209.1267.1173.11244945.552761244945.55276=765.6939842 养老金=765.6939842+217.8988=983.5927842 替代率=983.5927842%1001244945.55276=21.353%情况 5：自 2000年起，40 岁开始缴养老保险，一直缴费至退休（60 岁）的个人账养老金40岁就缴保险至 60岁退休个人账户年份年平均工资个人账户养老金2000 8772 533.5816 2001 10007 2002 1
33、1374 2003 12567 2004 14332 2005 16614 2006 19228 2007 22844 2008 26404 2009 29688 2010 32074 2011 37213 2012 42459 2013 48446 2014 55376 2015 63070 2016 71963 2017 82109 2018 93696 2019 106895 2020 121967 基础养老金=%12024155.1209.1267.1173.1129898.10694129898.106894 =1960.632271 养老金=1960.632271+533.5816
34、 =2494.213871 替代率=2494.213871129898.106894 =28.000%情况 6：自 2000年起，40 岁开始缴养老保险，一直缴费至退休（65 岁）的个人账养老金 40岁就缴保险至 65 岁退休个人账户年份年平均工资个人账户养老金2000 8772 1464.392 2001 10007 2002 11374 2003 12567 2004 14332 2005 16614 2006 19228 2007 22844 2008 26404 2009 29688 2010 32074 2011 37213 2012 42459 2013 48446 2014 55
35、376 2015 63070 2016 71963 2017 82109 2018 93696 2019 106895 2020 121967 2021 139163 2022 158784 2023 181172 2024 206716 2025 235862 基础养老金=%12524155.1209.1267.1173.1122229.206716122229.206716=4739.400069 养老金=4739.400069+1464.392 =6203.792069 替代率=6203.792069%100122229.206716 =36.013%3、问题三：该企业某职工自 2000
36、 年起从 30 岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55 岁，60 岁，65 岁），并从退休后一直领取养老金，至75 岁死亡。计算养老保险基金的缺口的三种情况，及其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡时，该职工领取养老金的岁数。公式：养老金=基础养老金+个人账户养老金个人账户养老金=个人账户储 存额计发月数（数据见表一）基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）2缴费年限 1%本人指数 化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资本人平均缴费指数能够正确反映“本人指数化月平均缴费工资(Average Indexed Monthly Earnings)”
37、指标的计算公式为：1111212mmcccxxxcccSn (1)公式(1)中，12,mxxx为参保人员退休前1 年、2 年、,、m年本人缴费工资额；12,mccc为参保人员退休前1 年、2 年、,、m年全国/省/地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”；n 为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计（可以简单认为等于12m，m为企业和职工实际缴纳基本养老保险费 的年 限）。说明：缴费工资额=职工工资+个人账户存储额3%领取总养老金=领取月养老金12 领取年数领取年养老金=领取月养老金12 养老保险基金的缺口=缴纳总养老保险金领取总养老金缴纳总养老保险金=职工工资总额20%+各年个人工资8%
38、+个人账户储存额3%相差年数=养老保险基金的缺口领取年养老金（养老保险基金的缺口取绝对值，相差年数只能取整数）情况 1：3055 岁S=1225108.4790294 =15967.64703 基础养老金=（17226.35191+15967.64703）2 25 1%=4149.249868 领取月养老金=4149.249868+869.9464 =5019.196268 领取总养老金=5019.19626812 25 =1505758.88 缴纳总养老保险金=522068.644 养老保险基金的缺口=522068.6441505758.88=-983690.236 相差年数=983690.
39、236（5019.19626812）=16 所以该企业某职工自 2000 年起从 30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休55 岁，并从退休后一直领取养老金，该职工领取养老金到59 岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。情况 2：3060岁S=123012752507 =354523.63056 基础养老金=(33312.75308+35423.63056)2%130 =10310.45755 领取月养老金=10310.45755+2089.834 =12400.29155 领取总养老金=12400.291551512 =2232052.478 缴纳总养老保险金=102541
40、8.686 养老保险的基金缺口=1025418.6862232052.478 =1206633.792 相差年数=1206633.792（12400.2915512）=8 所以该企业某职工自 2000 年起从 30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休60 岁，并从退休后一直领取养老金，该职工领取养老金到67 岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。情况 3：3065岁S123530544935=72726.03571 基础养老金=（64421.04073+72726.03571）%1352=24000.73838 领取月养老金=24000.73838+5606.291=2960
41、7.02938 领取总养老金=29607.029381210 =3552843.525 缴纳总养老保险金=3320724.656 养老保险的基金缺口=3320724.6563552843.525=-232118.869 相差年数=232118.86929607.0293812=0.65（取 1）所以该企业某职工自 2000 年起从 30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休65 岁，并从退休后一直领取养老金，该职工领取养老金到74 岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡.4、问题四:措施一：增加职工工资年数，使之更迟的退休（依据问题三中第三种情况）；措施二：把缴纳到社会统筹基金账
42、户和缴纳到个人账户的比例合理的提高。可以增加养老保险基金的收入，从而降低缺口，使替代率由所上升，就能让养老保险收支之差减小；措施三：随着中国人口老年化，“拿出的多，进入的少”出现缺口的几率越来越大、越来越严重，所以必须补上这个缺口，那么我们可以把这种养老保险的政策进行推广，使更多的人来缴纳保险，从而改变“拿出的多，收入的少”的状态；措施四：让不同工资阶段的退休人员领取合理情况下的相同的养老基金，这种相互补充也可以缩小养老保险收支差额（这种措施一般很难实施）；措施五：在发放职工养老金时，按不同退休年龄一次性发放完，这样就避免了部分职工过长时间领取养老金，就可以减少养老保险金的支出。八、模型的评价我们在模型的建立和求解过程中，模型的优点在于：利用了指数函数的拟合，可以很直观的看出工资的增长趋势。通过表格的绘制，可以很清晰的看出各种数据，以及这些数据之间的关系。在经济较快发展的领域内，可以进行推广。模型的缺点：在进行实际应用时，受到的限制条件较多（即实用范围狭小）。参考文献http:/ http: