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1、1 竞赛专题讲座几个重要定理1.正弦定理 ABC 中，设外接圆半径为R，则2.余弦定理 ABC 中，有关系a2=b2+c2-2bccosA；a=ccosB+bcosC；b2=c2+a2-2cacosB；有时也用它的等价形式b=acosC+ccosA；c2=a2+b2-2abcosC；c=acosB+bcosA.3.梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）直线截ABC 的边 BC，CA，AB 或其延长线于 D、E、F.则4.塞瓦定理(Ceva)（塞瓦点）设 O 是 ABC 内任意一点，AB、BO、CO 分别交对边于 D、E、F，则5.塞瓦定理逆定理在 ABC 三边所在直线 BC、CA、AB 上
2、各取一点 D、E、F，若则 AD、BE、CE 平行或共点。2 6.斯特瓦尔特定理在 ABC 中，若 D 是 BC 上一点，且 BD=p，DC=q，AB=c，AC=b，则7.托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆BDACADBCCDAB?的充要条件是共圆ABCD8.西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上例题：1设 AD 是 ABC 的边 BC 上的中线，直线 CF 交 AD 于 F。求证：FBAFEDAE2。【分析】CEF截 ABD 1FABFCBDCEDAE（梅氏
3、定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D 之一作 CF 的平行线2、过 ABC 的重心 G 的直线分别交 AB、AC 于 E、F，交 CB 于 D。求证：。例 1 例 2 3【分析】连结并延长AG 交 BC 于 M，则 M 为 BC 的中点。DEG 截 ABM（梅氏定理）DGF 截 ACM（梅氏定理）=1【评注】梅氏定理3D、E、F 分别在ABC 的 BC、CA、AB 边上，AD、BE、CF 交成LMN。求 S LMN。【分析】梅氏定理4以 ABC 各边为底边向外作相似的等腰 BCE、CAF、ABG。求证：AE、BF、CG 相交于一点。【分析】塞瓦定理4 5 已知 ABC 中，B=2
4、C。求证：AC2=AB2+AB BC。【分析】托勒密定理过A 作 BC 的平行线交ABC 的外接圆于 D，连结 BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC BD=AD BC+CD AB。6 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7。求证：。【分析】托勒密定理7过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A,B.所作割线交圆于C,D 两点，C 在 P,D 之间.在弦 CD上取一点 Q,使.DAQPBC求证：.DBQPAC5 8 ABC 的 BC 边上的高 AD 的延长线交外接圆于P，作 PEAB 于 E，延长 ED 交 AC 延长线于 F。求证：BC EF=BF CE+BE
5、CF。【分析】西姆松定理（西姆松线）9 正六边形 ABCDEF 的对角线 AC、CE 分别被内分点 M、N 分成的比为 AM：AC=CN：CE=k，且 B、M、N 共线。求 k。（23-IMO-5）【分析】面积法例 1 如图，G 是ABC 内一点 AG，BG，CG 的延长线分别交对边于D，E，F，AGF，BGF，BGD 的面积分别为 40，30，35。求ABC 的面积。G B A C E F D 35 30 40 6 例 2，已知 AC，CE 是正六边行 ABCDEF 的两条对角线，点M，N 分别内分AC，CE，且使kCECNACAM。如果 B，M，N 三点共线，试求k 的值变式，已知 AC，
6、CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线，点M，N 分别内分AC，CE，且使，33CECNACAM求证：B，M，N 三点共线。例 3，如图，过ABC 的三个顶点 A，B，C 作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB 的延长线交于 P，Q，R。求证：P，Q，R 三点共线。CBADEFCBA7 例 4。设 AF，BE，CD 分别是ABC 的内角平分线，中线和高，且 AC=b,AB=c,求证：AF，BE，CD 三线共点的充要条件是cosA=，)(cbc例 5，在凸四边形 ABCD 中，CAB=CAD，E 和 F 分别是边 CD，BC 上的点，且满足CAF=CAE，求证：AC，BE，DF 三线共点。变式：在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分BAD。在 CD 上取一点 E，BE 与AC 相交于 G，延长 DG 交 BC 于 F。求证：FAC=EAC。