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1、-1-体能测试时间安排摘要：本文讨论了体能测试时间安排的优化模型。基于不同的考虑，分别得到如下模型：模型：对体能测试的五个项目运依据“排列论”的相关知识，利用相应的模型计算方法，得到每名学生测试完时的平均等待时间。模型：优先考虑测试场地的最大容量，并且场地得到充分利用。根据SAS 系统 proc univariate 过程，做出所有参加体能测试的班级人数的“茎叶图”（班级人数茎叶图表），并对其数据进行分析。并利用组合知识对所有班级分组(表 2)，此时考虑每项测量仪器的数量以及每个学生完成测试所用的平均时间，对每次进入测试的班级进行测试仪器的分配。依据相关数据，做出各班参加体能测试的具体时间安排
2、表。模型：优先考虑测试时间，将测试过程分成两个阶段。设每次进一个班，根据体能测试所需的条件，列出相应的关系式。由“模型”的“茎叶图”所得的数据，运用LINGO 软件和 Mathmatica 软件进行计算,得出较精确的体能测试时间安排表(表 5)。最后通过对模型、模型、模型进行分析和评价，得出较符合实际的体能测试的方案。关键词：排队论茎叶图类举法-2-一、问题重述如今大学生体质下降是一个普遍问题，一些学生常常睡懒觉、不锻炼，还养成了抽烟、喝酒、长期上网等不良生活习惯。既耽误学习又对身体非常不利。在此情况下，某学校为了解学生的身体状况，按照教学计划分别对各班学生进行身高与体重、立定跳远、肺活量、握
3、力和台阶试验共5 个项目的体能测试。其相关数据如下：表 1 测试项目身高与体重立定跳远肺活量握力台阶试验服务时间10 秒/人20 秒/人20 秒/人15秒/人210 秒/5 人仪器数量3 台1 台1 台2 台2 台每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5 秒。若学号相连便可省去录入时间。另外，学校安排每天的测试时间为8：0012：10 与 13：3016：45 两个时间段。5 项测试都在最多容纳150 个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。但要保证同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试。并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。用数学
4、符号和语言表述各班测试时间安排问题，并给出算法。尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划。根据所列模型对学校以后的体能测试在可以引进各项测量仪器的数量和调整测试场所的人员容量的条件下，设计一个最优的体能测试时间安排计划。二、问题假设1、测试的每台测试仪器在测试时均正常运行。2、各班学生人数均准时到达，且没有缺勤人数。3、天气情况对体能测试没有影响。4、测试员本身对本次测试的时间没有影响。5、测试同一项目的仪器并排放在一起。三、符号说明指数函数的参数1B身高与体重项目测试2B立定跳远项目3B肺活量项目4B握力项目5B台阶测试项目)(1 tB单台身高与体重项目仪器
5、测试一次的时间)(2 tB单台立定跳远项目仪器测试一次的时间)(3 tB单台肺活量项目仪器测试一次的时间)(4 tB单台握力项目仪器测试一次的时间tB5单台台阶测试仪器测试一次的时间)(1 tB身高与体重项目仪器测试一名学生所用的平均时间)(2 tB立定跳远项目仪器测试一名学生所用的平均时间-3-)(3 tB肺活量项目仪器测试一名学生所用的平均时间)(4 tB握力项目仪器测试一名学生所用的平均时间)(5 tB台阶测试项目仪器测试一名学生所用的平均时间iM第 i 组进行整个体能测试过程所需的总时间iK第 i 组的总人数T录入学号的时间5s 1T全班人完成所有项目的等待时间2T全班人完成所有项目的
6、测试时间m模型三第一阶段参加台阶试验的人数n每一个班级人数3t完成模型三第一阶段的时间31t模型三第一阶段两个测试过程其中只有一个未完成的等待时间311t模型三第一阶段中身高与体重、立定跳远、肺活量、握力的等待时间312t模型三第一阶段中台阶试验的等待时间313t完成模型三第一阶段身高与体重、立定跳远、肺活量、握力的314t完成模型三第一阶段中台阶试验的时间32t模型三第二阶段两个测试过程其中只有一个未完成的等待时间321t模型三第一阶段中身高与体重、立定跳远、肺活量、握力的等待时间322t模型三第二阶段中台阶试验的等待时间323t完成模型三第二阶段身高与体重、立定跳远、肺活量、握力的时间32
7、4t完成模型三第二阶段中台阶试验的时间315t模型三第一阶段录入学号的时间325t模型三第二阶段录入学号的时间4t完成模型三第二阶段的时间四、模型的分析与建立模型：假设学生测试每个项目为随机变量，每个项目学生到来的间隔时间服从参数为的指数分布。每个项目的服务时间服从定长分布，对每个测试项目分别运用“排队论”知识【1-2】，其模型为1/DM。由题意的已知条件表1 可得：（一）单服务台系统顾客到达排队顾客离去服务台-4-（二）多服务台系统顾客到达排队顾客离去由上图可知：系统中的顾客可看作学生，服务台可看作测试仪器。从而，立定跳远、肺活量的测试项目可以看作系统（一）；身高与体重、握力和台阶试验的测试
8、项目可以看作系统（二）。立定跳远、肺活量的系统，由排队论原理，根据表1 得：服务时间的数学期望为：01=20 即0=201，方差为02，04.0。对于身高与体重、握力和台阶试验的系统可做如下简化实验：把多服务台系统可近似看成服务时间同比减少的单服务台系统，由排队论理论和表 1 得：此三种测试的服务时间的数学期望分别为：31011，,211,215132方差均为02，04.0。令i，0,1,2,3i，可证得1，即以上系统均为稳定的。现设顾客平均等待时间为：iT0,1,2,3i，对于立定跳远、肺活量的系统：T0=)1(2*222=201200，对于握力的系统：T1=)1(2*222=608225)
9、2151(8215，对于身高和体重的系统：T2=)1(2*222=30950)3101(950，对于台阶测试系统：T3=)1(2*222=)211(2441，每个学生的总的等待时间：T=2*T0+T1+T2+T3=2*201200+608225+30950+)211(2441，代入得sT156。服务台服务台服务台-5-若考虑录入学号的时间，每个人平均的等待时间*T，则有*156T1 8 1。模型：1.优先考虑测试场地最多能容纳150 人，并且场地得到充分利用。利用SAS 系统proc univariate 过程，对所有参加体能测试的人数与班级（附件一）的相关数据进行处理，作出“茎叶图”。班级人
10、数茎叶图表：对（班级人数茎叶图表）中数据进行分析，利用组合知识【2】分别将 56 个班级进行分组，使每次进场尽量满足人数为150 人时，但由于测试项目只有5 个，为了尽量减少等待时间，所以每小组最多 4 个班级。并根据上下午的时间安排，得到如下分组情况（表2）。表 2 身高与体重测量仪器3 台，每台仪器每个学生的平均测试时间为10 秒。立定跳远测量仪器与肺活量测量仪器各1 台，每台仪器每个学生的平均测试时间皆为20秒。-6-握力测量仪器 2 台，每台仪器每个学生的平均测试时间为15 秒。台阶试验测量仪器2 台，每台仪器一次测试5 个学生，需要 3 分 30 秒。由上可得:：sNtBtB3/10
11、1/)(1)(1stBtBtBtB20)(3)(2)(3)(2sNtBtB2/154/)(4)(4sNtBtB2110/210)5*5/()(5)(5由上面数据得出：台阶测试所需时间最长，理论上当每小组中的所有班级的台阶测试项目完成时，其余项目也应该测试完，即完成了整个体能测试过程。在整个测试过程中把每个班看作整体来考虑，即每个班的学生都完成该项目的测试后，才进行下一项目的测试。1.每小组的班级安排如下：(第 1 组)班级1 2 3 8 人数41 45 44 20 因为台阶测试时间最长，所以选取这一小组中人数最少的班级先测试该项目，即让8 班学生先进行台阶项目测试。身高与体重项目所需测试时间最
12、少，选取这一小组中人数最多的班级先测试该项目，即让 2 班学生先进行身高与体重项目。这样才能尽可能缩短学生的等待时间。同样用以上方法分配2-15 组中的班级进行体能测试。2.时间段的确定由上述所知，只要求得每小组所有班级进行完台阶测试所需的总时间，即为这一小组进行整个体能测试的时间。即)(*2*)(5每组的班级个数TKtBMii。因为在台阶试验中，有两台仪器对学生进行测试，所以每个班级至少要进行两次学号的录入，即每班录入学号的时间最少为10s。（此时忽略班与班之间、小组与小组之间互换的时间）。依次对每组的测试时间按上式进行计算，按时间段进行时间累计，进而计算出各组进行体能测试的如下具体时间安排
13、表。体能测试时间安排表：-7-模型现考虑分组测试时的时间安排问题。1.分组原则：保证每组成员的学号相连。2.考虑测试项目的耗时性：由表 1 和模型计算可知台阶试验耗时最多，但是可以成批测试学生。3.以台阶试验为优先考虑对象，把测试过程看作两个阶段：设 n 为各班人数.为便于求解，设m10.第一阶段（mn）人进行身高与体重、立定跳远、肺活量、握力项目的测试，m人进行台阶试验项目的测试。第二阶段m人进行身高与体重、立定跳远、肺活量、握力项目的测试，)(mn人进行台阶试验项目的测试。每个人的状态可分为测试1、测试 2、等待时间（录学号的时间另行计算）。)(65)(203112mnmntmmt4220
14、3122mt5*4*7315mnmnnmmnmnmt41204120),2041(*)()4120(31)(42)(203222mnmntmmt65203212-8-)(4*5*7325mntmnmnmnmnmmnt41214121),4121(*),2141(*)(32由以上可得：mnmmnmnt4120,214120),(203mnmnmnmt4121),(214121,20432532232132315312311311ttttttttT432ttT代入相关数据并化简得mnmnmnnnmnmmnnT41214120,280220106,10621922221mnmmnmnT4121,41
15、4120),(412运用 LINGO软件4 求解：得到表 3 班号人数w q 班号人数w q 班号人数w q 55 17 8.292683 8.707317 20 35 17.07317 17.92683 46 42 20.4878 21.5122 56 17 8.292683 8.707317 26 36 17.56098 18.43902 49 42 20.4878 21.5122 52 19 9.268293 9.731707 11 37 18.04878 18.95122 51 42 20.4878 21.5122 8 20 9.756098 10.2439 38 37 18.0487
16、8 18.95122 47 43 20.97561 22.02439 9 20 9.756098 10.2439 43 37 18.04878 18.95122 3 44 21.46341 22.53659 17 20 9.756098 10.2439 21 38 18.53659 19.46341 4 44 21.46341 22.53659 27 20 9.756098 10.2439 22 38 18.53659 19.46341 6 44 21.46341 22.53659 35 20 9.756098 10.2439 39 38 18.53659 19.46341 16 44 21.
17、46341 22.53659 36 20 9.756098 10.2439 10 38 18.53659 19.46341 37 44 21.46341 22.53659 28 24 11.70732 12.29268 19 39 19.02439 19.97561 13 45 21.95122 23.04878-9-12 25 12.19512 12.80488 34 39 19.02439 19.97561 14 45 21.95122 23.04878 24 25 12.19512 12.80488 40 39 19.02439 19.97561 15 45 21.95122 23.04
18、878 5 26 12.68293 13.31707 53 39 19.02439 19.97561 50 45 21.95122 23.04878 23 28 13.65854 14.34146 42 40 19.5122 20.4878 2 45 21.95122 23.04878 18 30 14.63415 15.36585 1 41 20 21 44 50 24.39024 25.60976 25 30 14.63415 15.36585 31 41 20 21 45 50 24.39024 25.60976 29 32 15.60976 16.39024 48 41 20 21 3
19、3 51 24.87805 26.12195 30 33 16.09756 16.90244 7 42 20.4878 21.5122 54 75 36.58537 38.41463 32 33 16.09756 16.90244 41 42 20.4878 21.5122 w为mn4120时，第一阶段参加台阶测试的人数。q为mn4121时，第一阶段参加台阶测试的人数。由上近似可知nm,的线性关系如下7542,404122,20210,10nnnm),(*Nmn然后根据测试时间，等待时间优化上述函数关系。直接计算，很难得出结果，故采用“类举法”，带入程序。-10-运用程序计算得下表表 4 班
20、级人数10 20 30 频数30 20 10 班级人数等待时间（s）测 试 时间（s）等 待 时间（s）测试时间(s)等待时间（s）测试时间（s）等待时间（s）测试时间（s）等待时间（s）测试时间（s）等待时间（s）测试时间（s）17 4698 420 2 3 26858 1230 25618 820 22729 1107 37 19 5966 420 1 4 28312 1230 27052 820 24068 1148 38 20 6660 420 6 4 29806 1230 28526 820 25445 1189 39 24 8780 574 10616 820 1 1 31340
21、1230 27360 820 26860 1230 40 25 9628 615 11530 820 2 3 32914 1230 28833 861 28313 1271 41 26 10518 656 12484 820 1 5 34528 1230 30344 902 29804 1312 42 28 12388 738 14512 820 1 1 36182 1230 31893 943 31333 1353 43 30 14420 820 16700 820 17800 1230 2 5 37876 1230 33480 984 32900 1394 44 32 16604 902
22、19048 820 20188 1230 1 5 39610 1230 35105 1025 34505 1435 45 33 17753 943 20282 820 21442 1230 2 2 48880 1230 43800 1230 43100 1640 50 35 20165 1025 22870 820 24070 1230 1 1 50854 1230 45653 1271 44933 1681 51 36 21428 1066 24224 820 25444 1230 1 1 102525 1845 101525 2255 100325 2665 75 优先考虑测试时间，选择其
23、中测试时间短的分配方案。对于测试时间相同的方案考虑等待时间，其中时间短的为最佳方案。分析上表可得出当n 值确定时，较合理的m值，则 m,n 的关系可以优化。如下75,50(,3050,30(,2030,0(,10nnnm),(*Nmn下面给出一种按上述方案分组的具体每班进行测试的时间安排计划表-11-表 5班号 人数 测试时间(s)开始时间终止时间班号人数测试时间开始时间终止时间1418618:008:1421393882015:393915:521924510258:14218:31264550123015:521916:12493449848:31268:4750433782016:124
24、916:26298204208:47508:5450243582016:262916:4094449848:54509:1114504510258:008:1755266569:11149:221022388208:1758:30456449849:22109:383456174208:30458:374526368209:38349:521429328208:37458:51257429029:521410:71630338208:51259:5592042010:71610:141631418619:559:1926103882010:141610:275637449849:19269:3
25、5504450123010:275610:482632338209:35509:4930113782010:482611:14634398209:493010:210122561511:14611:121383782010:21010:15501345102511:12111:296484186110:155010:3011474394311:29611:4450213882010:301110:4351272042011:445011:5150232873810:435110:569514290211:515012:62464290210:56911:1111362042013:3013:3
26、7494290211:111111:2613551742013:3713:44193982011:261311:39531445102513:4414:15403982011:395311:53331545102514:1514:1810352042011:533312:733183082014:181014:3150414290213:3013:452253082014:315014:45305475184513:45214:1547164498414:453015:154282457414:154714:2521172042015:15415:854424082014:252114:391
27、203582015:85415:2234521942014:39114:4613345102515:223415:3939533982014:46114:5941五 模型的分析和评价1.模型利用排队论理论和近似思想得到了一些有意义的结果。但是此模型与实际情况不很符合，这将是以后的改进方向。2.模型从最基础的方面考虑，得到了比较理想的结论，其局限性在于得出的相关数据适用于班数较少时的时间安排。3.模型采用分组的分配方案，同时分解总测试过程，得出较合理的人员分配。4.分析表 1-12-身高与体重台阶试验10秒/人210 秒/5 人3台2 台可知该学校引进的仪器数量问题值得商榷。由模型、可知：每一种
28、方案在仪器的分配，测试场地的选择，班级人数的分派上都有一定的理想化，因此，要得到一种较为合理的方案，需要从仪器数量的分配，场地的选择以及人员的分派问题上着手。综合考虑测试时间的安排，最理想的方案应满足：测试过程中不存在仪器的空闲和学生的总的等待时间最少等这两个约束条件。再次变量说明：测试、身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验5 个项目的仪器台数分别为qpomn,台。测试身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验的人数为DCBA,人。作图描述如下：测试项目 身高与体重立定跳远肺活量握力台阶试验AA,ABB,BCC,CDD,D EE,E n m o p q 现把测试过程分为5 个阶段，即
29、循环测试。如表 6 所示：表 6 测试项目身高与体重立定跳远肺活量握力台阶试验参加测试项目的人数第一阶段nA mB oC pD qE 第二阶段qE nA mB oC pD 第三阶段pD qE nA mB oC 第四阶段oC pD qE nA mB 第五阶段mB oC pD qE nA 分析：测试台阶项目的最小时间为210 秒，若达到合理，即不存在测试台阶仪器的空闲。保证在 210 秒内，每个项目完成的人数相同为qE，此时，五个阶段的测试完（h人都测试完五项）时间相等。都为210 秒。且存在 qE 可被 5 整除（忽略录入学号时间的影响）。运用类举法列表如下：符号说明：R 测试场所最大容量T h
30、人都测试完五项的时间W 总的等待时间-13-表 7 q qE 21n 10.5m 10.5o 14p R T W 1 5 1 1 1 1 25 1050 16 5.5 5.5 9 2575 2 10 1 1 1 1 50 1050 11 0.5 0.5 4 1900 3 15 1 2 2 2 75 1050 6 6 6 13 7425 4 20 2 2 2 2 100 1050 22 1 1 8 7600 5 25 2 3 3 2 125 1050 17 5.5 5.5 3 10875 6 30 2 3 3 3 150 1050 12 1.5 1.5 12 10800 7 35 2 4 4 3
31、 175 1050 7 7 7 7 15925 8 40 2 4 4 3 200 1050 2 2 2 2 5200 9 45 3 5 5 4 225 1050 18 7.5 7.5 11 29025 10 50 3 5 5 4 250 1050 13 2.5 2.5 6 16000 由表 7 可得：随着 qE的增大，测试时间不变，而等待时间呈上升趋势，测试所用的仪器也增多，所要求的测试场所总容量也变大。下面为给出一种较优的时间安排计划：规定 R=200（不考虑仪器问题），由表 7 可得出：表 8 q qE 21 10.5m 10.5o 14p R T W 8 40 2 4 4 3 200 1
32、050 2 2 2 2 5200 上表即为所求。在此条件下：身高与体重、立定跳远、肺活量、握力项目的仪器台数为2 台。台阶项目的仪器台数为8 台。且测试身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验的人数均为 40 人，安排如下：-14-表 9 时间段班号开始测试时间终止时间上午1 2 3 4 5 8：00 8：1730 6 7 8 52 54 8：1730 8:35 10 13 11 41 21 8:35 8:5230 19 20 22 39 44 8:5230 9:10 32 33 34 42 43 9:10 9:2730 48 49 50 51 25 9:2730 9:45 14 15 1
33、6 18 26 9:45 10:230 29 30 31 37 45 10:230 10:20 40 46 47 53 58 10:20 10:3730 9 12 17 23 24 27 28 35 55 10:3730 10:55 36 56 10:55 11:1230 在不考虑资金问题的情况下，上述方案为最优方案。但在实际生活中，仪器费用问题必须考虑。各种仪器的价格如下表 7：仪器身高体重测试仪立定跳远测试仪肺活量测试仪握力测试仪台阶试验测试仪价格(元/)7800 5900 4550 4900 7500 根据表 7 中相关数据，列出费用表如下：表 10 qE（人）费用(元)qE（人）费用(
34、元)5 30650 25 94250 10 38150 30 106650 15 61000 35 124600 20 76300 40 131900 其中费用=7800*n+5900*m+4550*o+4900*p+7500*q。如果学校财政紧张，不能引进上述模型中所要求的仪器。则校方应该事先对体能测试时间安排进行研究。参考文献：1 叶其孝主编,大学生数学建模竞赛辅导教材（一）,湖南:湖南教育出版社,2000.2 刘满凤,傅波,聂高辉，运筹学模型与方法教程例题分析与题解,北京:清华大学出版社,2000.3 梅长林,范金城,数据分析方法,北京:高等教育出版社,2006.4 谢金星,薛毅,优化建
35、模与LINDO/LINGO 软件,北京:清华大学出版社,2005.5 同济大学应用数学系,MATHEMATICA 实用手册,上海:同济大学出版社,2002.6 曹汝成,组合数学,广州:华南理工大学出版社,2000.7 聪明点比较购物搜索引擎，http:/ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 人数41 45 44 44 26 44 42 20 20 38 37 25 45 45 45 班号16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 人数44 20 30 39 35 38 38 28 25 30 36 20 24 32 33 班号31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 人数41 33 51 39 20 20 44 37 38 39 42 40 37 50 50 班号46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 人数42 43 41 42 45 42 19 39 75 17 17