《第20届全国中学生物理竞赛复赛试卷(2003年).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第20届全国中学生物理竞赛复赛试卷(2003年).pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、金中物理在线第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷(2003 年)题号一二三四五六七总计得分复核人全卷共七题，总分为140分。一、（15 分）图中 a 为一固定放置的半径为R 的均匀带电球体，O 为其球心 己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000 V 在离球心 O 很远的 O点附近有一质子b，它以Ek2000 eV 的动能沿与O O 平行的方向射向 a以 l 表示 b 与 O O 线之间的垂直距离，要使质子b 能够与带电球体a 的表面相碰，试求 l 的最大值把质子换成电子，再求l 的最大值二、（15 分）U 形管的两支管A、B 和水平管C 都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内
2、径 与 管 长 相 比 都 可 忽 略 不 计 己 知 三 部 分 的 截 面 积 分 别 为2A1.0 10Scm2，2B3.0 10Scm2，2C2.0 10Scm2，在C 管中有一段空气柱，两侧被水银封闭当温度为127t时，空气柱长为l 30 cm（如图所示），C 中气柱两侧的水银柱长分别为a2.0cm，b 3.0cm，A、B 两支管都很长，其中的水银柱高均为h 12 cm大气压强保持为0p 76 cmHg 不变不考虑温度变化时管和水银的热膨胀 试求气柱中空气温度缓慢升高到t97时空气的体积三、（20 分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如
3、图所示在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M 20m，地球半径0R 6400 km假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的金中物理在线四、(20 分)如图所示，一半径为R、折射率为n的玻璃半球，放在空气中，平
4、表面中央半径为0h的区域被涂黑 一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面Ox 为以球心 O 为原点，与平而垂直的坐标轴通过计算，求出坐标轴Ox 上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标五、(22 分)有一半径为R的圆柱 A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触现有另一质量与A 相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱 A，将 B 放在 A 的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手己知圆柱A 与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为 0.30若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B 与墙面间的静摩擦系数和圆柱B 的半径r
5、的值各应满足什么条件？六、(23 分)两个点电荷位于x轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正x轴上各点的电势如图中曲线所示，当0 x时，电势 U：当x时，电势0U；电势为零的点的坐标0 x,电势为极小值0U的点的坐标为0ax（a2）。试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电荷的符号、电量的大小以及它们在x轴上的位置七、(25 分)如图所示，将一铁饼状小物块在离地面高为h 处沿水平方向以初速0v抛出己知物块碰地弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为e（1又知沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为（0）：每次碰撞过程的时间都非常短，而且都是“饼面
6、”着地求物块沿水平方向运动的最远距离金中物理在线第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准一、参考解答令m表示质子的质量，0v和v分别表示质子的初速度和到达a 球球面处的速度，e表示元电荷，由能量守恒可知2201122mvmveU（1）因为 a 不动，可取其球心O 为原点，由于质子所受的a 球对它的静电库仑力总是通过a 球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对O 点的角动量守恒。所求l 的最大值对应于质子到达 a 球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。以maxl表示 l 的最大值，由角动量守恒有max0mv lmvR（2）由式（1）、（2）可得20max
7、1/2eUlRmv（3）代入数据，可得max22lR（4）若把质子换成电子，则如图复解20-1-2 所示，此时式（1）中e改为e。同理可求得max62lR（5）评分标准：本题15 分。式（1）、（2）各 4 分，式（4）2 分，式（5）5 分。金中物理在线二、参考解答在温度为1(27273)K=300KT时，气柱中的空气的压强和体积分别为10pph，（1）1CVlS（2）当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A 管和 B 管。设温度升高到2T时，气柱右侧水银刚好全部压到B 管中，使管中水银高度增大CBbShS（3）由此造成气柱中空气体积的增大量为CVbS（4）与此同时，气柱左侧的
8、水银也有一部分进入A 管，进入 A 管的水银使A 管中的水银高度也应增大h，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为AVhS（5）所以，当温度为2T时空气的体积和压强分别为21VVVV（6）21pph（7）由状态方程知112212pVp VTT（8）由以上各式，代入数据可得2347.7TK（9）此值小于题给的最终温度273370TtK，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达T时，气柱体积为22TVVT（10）代入数据可得30.72cmV（11）评分标准：本题15 分。求得式（6）给 6分，式（7）1 分，式（9）2 分，式（10）5 分，式（11）1 分。金中
9、物理在线三、参考解答位于通道内、质量为m的物体距地心O 为r时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为2GM mFr，（1）式中 M 是以地心 O 为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量可以表示为343Mr（2）于是，质量为m的物体所受地球的引力可以改写为43FG mr（3）作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小为sinfF（4）sinxr（5）为r与通道的中垂线OC 间的夹角，x为物体位置到通道中点 C 的距离，力的方向指向通道的中点C。在地面上物体的重力可以表示为020GM mmgR（6）式中0M是地球的质量。由上式可以得到043gG
10、R（7）由以上各式可以求得0mgfxR（8）可见，f与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为0mgkR（9）物体将以 C 为平衡位置作简谐振动，振动周期为02/TRg。取0 x处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为m的静止物体到达0 x处的速度为0v，则根据能量守恒，有2220011()22mvk Rh（10）式中 h表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得金中物理在线222000RhvgR（11）可见，到达通道中点C 的速度与物体的质量无关。设想让质量为M的物体静止于出口A处，质量为m的物体静止于出口B处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C
11、处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是0v，方向相反，刚碰撞后，质量为M的物体的速度为V，质量为m的物体的速度为v，若规定速度方向由A向B为正，则有00MvmvMVmv，（12）22220011112222MvmvMVmv（13）解式（12）和式（13），得03MmvvMm（14）质量为m的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B处时的速度为u，则有22220111()222k Rhmumv（15）由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得2220208()()RhM MmugRMm（16）u的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向，如果u的大小
12、恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有20200M muGmRR（17）由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到22071022()RMMmmhM Mm（18）已知20Mm，则得00.9255920 kmhR（19）评分标准：本题20 分。求得式（11）给 7 分，求得式（16）给 6 分，式（17）2 分，式（18）3 分，式（19）2 分。四、参考解答图复解20-4-1 中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为i和 i，折射光线与坐标轴的交点在P。令轴上 OP 的距离为x，MP的距离为 l，根据折射定律，有sinsini
13、ni（1）金中物理在线在OMP 中sinsinlxii（2）2222coslRxRxi（3）由式（1）和式（2）得xnl再由式（3）得2222(2cos)xnRxRxi设M点到 Ox 的距离为 h，有sinhRi22222cossinRiRRiRh得2222222xRxxRhn222221(1)20 xx RhRn（4）解式（4）可得22222221nRhnRn hxn（5）为排除上式中应舍弃的解，令0h，则x处应为玻璃半球在光轴Ox 上的傍轴焦点，由上式2(1)111n nnnxRRRnnn或由图可知，应有xR，故式（5）中应排除号中的负号，所以x应表示为22222221nRhnRn hxn
14、（6）上式给出x随 h变化的关系。因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有0hh，其中折射光线与 Ox 轴交点最远处的坐标为金中物理在线22222200021nRhn Rn hxn（7）在轴上0 xx处，无光线通过。随 h 增大，球面上入射角i增大，当i大于临界角Ci时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角Ci相应的光线有CC1sinhRiRn这光线的折射线与轴线的交点处于22C221111n RnRnxnn（8）在轴 Ox 上CRxx处没有折射光线通过。由以上分析可知，在轴Ox 上玻璃半球以右C0 xxx（9）的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。0 x与Cx就是所要求
15、的分界点，如图复解20-4-2所示评分标准：本题20 分。求得式（7）并指出在Ox 轴上0 xx处无光线通过，给10 分；求得式（8）并指出在Ox 轴上0 xx处无光线通过，给6 分；得到式（9）并指出 Ox 上有光线段的位置，给4 分。五、参考解答放上圆柱B 后，圆柱 B 有向下运动的倾向，对圆柱 A 和墙面有压力。圆柱A 倾向于向左运动，对墙面没有压力。平衡是靠各接触点的摩擦力维持的。现设系统处于平衡状态，取圆柱A 受地面的正压力为1N，水平摩擦力为1F；圆柱 B 受墙面的正压力为2N，竖直金中物理在线摩擦力为2F，圆柱 A 受圆柱 B 的正压力为3N，切向摩擦力为3F；圆柱 B 受圆柱
16、A 的正压力为3N，切向摩擦力为3F，如图复解20-5 所示。各力以图示方向为正方向。已知圆柱A 与地面的摩擦系数10.20，两圆柱间的摩擦系数30.30。设圆柱B 与墙面的摩擦系数为2，过两圆柱中轴的平面与地面的交角为。设两圆柱的质量均为M，为了求出1N、2N、3N以及为保持平衡所需的1F、2F、3F之值，下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程：圆柱 A：133sincos0MgNNF（1）133cossin0FNF（2）13F RF R（3）圆柱 B：233sincos0MgFNF（4）233c oss i n0NNF（5）32F rF r（6）由于33FF，所以得1233FFFFF（7）式
17、中F代表1F，2F，3F和3F的大小。又因33NN，于是式（1）、（2）、（4）和（5）四式成为：13sincos0MgNNF（8）3cossin0FNF（9）3sincos0MgFNF（10）23cossin0NNF（11）以上四式是1N，2N，3N和F的联立方程，解这联立方程可得2NF（12）31sin1cossinNMg（13）金中物理在线2cos1cossinNFMg（14）12cos2sin1cossinNMg（15）式（12）、（13）、（14）和（15）是平衡时所需要的力，1N，2N，3N没有问题，但1F，2F，3F三个力能不能达到所需要的数值F，即式（12）、（14）要受那里的
18、摩擦系数的制约。三个力中只要有一个不能达到所需的F值，在那一点就要发生滑动而不能保持平衡。首先讨论圆柱B 与墙面的接触点。接触点不发生滑动要求222FN由式（12），得221FN所以21（16）再讨论圆柱A 与地面的接触点的情形。按题设此处的摩擦系数为10.20，根据摩擦定律fN，若上面求得的接地点维持平衡所需的水平力1F满足111FN，则圆柱在地面上不滑动；若111FN，这一点将要发生滑动。圆柱 A 在地面上不发生滑动的条件是111cos2cos2sinFN（17）由图复解20-5 可知cosRrRr（18）22sin1cosRrRr（19）由式（17）、（18）和式（19）以及1 0.20
19、，可以求得19rR（20）即只有当19rR时，圆柱A 在地面上才能不滑动。最后讨论两圆柱的接触点。接触点不发生滑动要求333cos1sinFN（21）金中物理在线由式（18）、（19）以及30.30，可解得270.2913rRR（22）显然，在平衡时，r的上限为R。总结式（20）和式（22），得到r满足的条件为0.29RrR（23）评分标准：本题22 分。求得式（7）、（12）、（13）、（14）、（15）各 2 分，式（16）3 分，求得式（23）9 分。六、参考解答在点电荷形成的电场中一点的电势与离开该点电荷的距离成反比。因为取无限远处为电势的零点，故正电荷在空间各点的电势为正；负电荷在空
20、间各点的电势为负。现已知0 xx处的电势为零，故可知这两个点电荷必定是一正一负。根据所提供的电势的曲线，当考察点离坐标原点很近时，电势为正，且随x的减小而很快趋向无限大，故正的点电荷必定位于原点O处，以1Q表示该点电荷的电量。当x从 0 增大时，电势没有出现负无限大，即没有经过负的点电荷，这表明负的点电荷必定在原点的左侧。设它到原点的距离为a，当x很大时，电势一定为负，且趋向于零，这表明负的点电荷的电量的数值2Q应大于1Q。即产生题目所给的电势的两个点电荷，一个是位于原点的正电荷，电量为1Q；另一个是位于负x轴上离原点距离a处的负电荷，电量的大小为2Q，且2Q1Q。按题目所给的条件有21000
21、QQkkxxa（1）21000QQkkUaxaxa（2）因0 xax时，电势为极小值，故任一电量为q的正检测电荷位于0 xax处的电势能也为极小值，这表明该点是检测电荷的平衡位置，位于该点的检测电荷受到的电场力等于零，因而有1222000()()QQkkaxaxa（3）由式（1）、（2）和（3）可解得0(2)aa ax（4）0012axUQak（5）金中物理在线2002(1)2U xa aQak（6）式中 k 为静电力常量。评分标准：本题23 分。式（1）、（2）各 4 分，式（3）6 分，式（4）、（5）、（6）各 3 分。七、参考解答设物块在1A点第一次与地面碰撞，碰撞前水平速度仍为0v，
22、竖直速度为02ug h（1）碰撞后物块的竖直速度变为1u，根据题意，有10ueu（2）设物块的质量为m，碰撞时间为t，因为碰撞时间极短，物块与地面间沿竖直方向的作用力比重力大得多，可忽略重力的作用，这样，物块对地面的正压力的大小为011mumuNt（3）水平方向动量的变化是水平摩擦力的冲量作用的结果，设水平方向速度变为1v，则有101mvmvNt（4）由以上各式得100(1)vveu（5）同理，在落地点2A，3A，,，nA其碰撞后的竖直分速度分别为220ue u330ue u,0nnue u（6）其水平速度分别为200(1)(1)vvee u2300(1)(1)vveee u,2100(1)(
23、1)nnvveeeeu（7）金中物理在线由式（6）可知，只有当碰撞次数n时，碰地后竖直方向的分速度nu才趋向于零，但物块对地面的正压力的最小值不小于mg。地面作用于物块的摩擦力的最小值不小于mg，因次，物块沿水平方向的分速度一定经历有限次数碰撞后即变为零，且不会反向。设经过0nn次碰撞，物块沿水平方向的分速度已经足够小，再经过一次碰撞，即在01nn次碰撞结束后，水平方向的分速度恰好变为零。因010nv，由式（7）0200(1)(1)0nveeeeu0100(1)(1)01neeuve0100(1)1(1)ne veeu两边取对数000(1)11lg 1lg(1)e vneeu（8）令00(1)
24、1lg 1lg(1)e vBeeu（9）若B恰为整数，这表示这次碰撞中，经过整个碰撞时间t，水平速度变为零，则碰撞次数01nB有01nB（10）若B不是整数，此种情况对应于在01nn次碰撞结束前，即在小于碰撞时间内，水平速度变为零。则碰撞次数011nB有0nB（11）B表示B的整数部分。由于经过01n次碰撞，物块沿水平方向的分速度已为零，但竖直方向的分速度尚未为零，故物块将在01nA处作上下跳跃，直到00ne u，即n，最后停止在01nA处。物块运动的最远水平距离001nsA A。下面分别计算每次跳跃的距离。金中物理在线0010uA Avg（12）20 001121222(1)eu veuuA
25、 Aveggg2220 002322(1)(1)e u ve uA Aeegg,00000212000122(1)(1)nnnnne u ve uA Aeeeegg（13）所求距离为上述所有量的总和，为0222320000022()(1)(1)(1)nuu vusveeeeeeeeeeggg0012(1)nneeee（14）分别求级数的和：002311nneeeeeee（15）0000001232223232233(1)(1)(1)1111111(1)(1)(1)(1)1nnnnnneeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee000122221()11nnneeeeee（16）将以上两个关系式和02ugh代入式（14），得000102214(12)(1)(1)1(1)nnnhee hsveeegee（17）式中0n由式（10）或式（11）决定。评分标准：本题25 分。式（6）3 分，式（7）6 分，式（8）4 分，式（10）2 分，式（11）2 分，式（14）5 分，求得式（17）并说明0n的取值，给3 分。