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1、人的天职在勇于探索真理。哥白尼学而思教育五升六竞赛 123 班第十讲教师版Page 97数字谜问题被称作思维锻炼的体操，这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、判断及推理能力。数字谜也是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现。和数字谜问题类似的，数阵、数表问题由于其本身的数学美感，受出题者青睐，解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步简化题目直至问题完全解决。1 回顾常用的数字谜的解题技巧。2 精讲经典数字谜、及数阵数表。【例 1】在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：+那么：口+=_。【分析】比较竖式中百位
2、与十位的加法，十位上“+”肯定进位，（否则由百位可知0），且有“+110+”，从而=9，=8。再由个位加法，推知+=8从而口+=9+8+8=25。（一）解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异。（二）要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行恰当的估算。（三）当题目中涉及多个字母或汉字时，要注意利用不同符号代表不同数字这一条件来排除若干可能性。（四）注意结合进位及退位来考虑。（五）有时可运用到数论中的分解质因数等方法。数字谜经典精讲教学目标数字谜、数阵、数表第十讲人的天职在勇于探索真理。哥白尼学而思教育五升六竞赛 123 班第十讲教师版Page 98【拓展】（2008
3、年迎春杯初赛）在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs=_。s t v av t s tt t v t t【分析】首先可以判断1t，所以11sv，13vtt，可解得1138s，又因为att所以0a，1038tavs。【例 2】电子数字 0 9 如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：。【分析】显然乘积的百位只能是2，被乘数的十位和乘数只能是0、2、6、8，才有可能形如，0 首先排除如果被乘数十位是6 或 8，那么乘数无论是2、6 或 8，都不可能乘出百位是2的三位数。所以被乘数十位是2，相应得乘
4、数是8。被乘数大于25，通过尝试得到符合条件的答案：288224。【例 3】在下面的乘法算式中，“数”、“字”、“谜”各代表一个互不相同的数字，求这个算式。数字谜数字谜谜谜谜谜谜235235117570547055225【分析】这是集数字谜和填空格于一体的数字问题，从题面上看，提供的信息较少，“谜”所在的位置较多，紧紧抓住“谜”所在的位置特点，逐一突破。可以判断“谜”1，由“数字谜谜谜”可知，因此“谜”=5 或 6。若“谜”5，“数字谜数”的乘数的百位数字必须大于3且小于等于5，所以“数”2，由于“数字谜字谜”，可知“255字字”，字是单数且小于5，故“字”1或 3，当“字”=1时，21521
5、546225，不符合条件，当“字”=3时，23523555225，符合题意。人的天职在勇于探索真理。哥白尼学而思教育五升六竞赛 123 班第十讲教师版Page 99若“谜”6，同理，“数字谜数”的乘积的百位数字必须大于4且小于等于6，所以“数”=2，由 266字字，可知“字”=1，但 21621646656，不符合条件。所以满足条件的算式是：【拓展】在算式：2的六个方框中，分别填入2，3，4，5，6，7 这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被13 整除，那么这个乘积是_。【分析】先从个位数考虑，有224，236，2612，2714，再考虑乘数的百位只能是2或3，因此只有三种可能的填法：227
6、3546，2327654，2267534，其中只有546能被 13 整除，所以这个积是546。【例 4】在下图中的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么被除数 DEFGF 是多少？【分析】显然的1D，由ABAIF可知，A不会超过 3，否则得到的乘积应该是3位数，如果3A，那么B也不能超过3，所以B只能是2，这样的32396ABB与AAH矛盾，所以3A，所以2A，根据ABBAAH，可以尝试出8B时，等式成立，得到这些条件既可依次求得：5I，6F，0E，9G，所以被除数DEFGF 是10696。【例 5】（2008 年迎春杯初赛）在右图的每个方框中填入一个数字，使得除
7、法算式成立。则被除数应是 _。【分析】如下图，我们将空格标上字母，以便分析。由88B,得6B。因为88XYAE,所以，我们可以得知1Y或者 6，我们现来看看1可以不可以。8 0 8 8 8 8 WG D G D 8 0 A B D A E F C H X Y V C H 8 8 8 8 人的天职在勇于探索真理。哥白尼学而思教育五升六竞赛 123 班第十讲教师版Page 100假设1Y，则 8Y 没有进位，8X所得个位E必是偶数，B必是 6,因为8816B,所以，必进位。所以，F必是奇数。因为8WXF，所以，W 可能是2,3,4,6,7,9。通过试值，逐个排除。这里应用到倒除法，例：128XF说
8、明：9X,再结合算式中其它部分，例如继续计算：918728,在算式中，F出现矛盾。所以，2W不成立。假设6Y，分别将1至 9 代入X进行计算，我们会发现，A）若1X、2、3、6、7、8，会发现第一次除法后的余数都大于除数XY，所以可以排除；B）若4X，得6E，3A，进而得到1F，4W，4H，因为46V的结果是一个两位数，所以1V或者2，当2V的时候，92GD，而4C没有借位，所以结果最大为 5，产生矛盾，故1V，进而推出4G，8C，6D，符合题目要求，被除数为38686；C）若5X，由第一次除法可以推出3F，6W或者 7，但是无论6W还是7W，都无法满足88F CF H 的结果为1位数，所以排
9、除；D）若9X，则7A，1F，因为 9618WC，W 找不到满足这个等式的整数，所以9X可以排除；综上所述，4X，6Y的时候满足题目中的式子，被除数为38686。【例 6】（2008 年迎春杯决赛）将数字1至 9 分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是。12 0 0 8【分析】三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之和可能是9，19，20；百位数字之和可能是 8，9，10，其中只有 1819845。要使加数中的四位数最小，尝试百位填1，十位填2，此时另两个加数的百位只能填3，4；四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个位可填6
10、，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125。人的天职在勇于探索真理。哥白尼学而思教育五升六竞赛 123 班第十讲教师版Page 101【例 7】将 1 9 填入下图的中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7 的倍数.848926731【分析】1的两边只能是3与 7，2的两边只能是6 与 9.因为在剩下的4，5，8三个数中，4与 5，8都不能相邻，所以有下面四种可能：926731926731926731926731因为处是4，所以只有第2图可得符合题意的一种填法。【例 8】如图大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8 四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、
11、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形四个顶点上：能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等?能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由248668862244【分析】不能如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S。考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次。即 42468360S。60415S,但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这 8个三角形数阵图、数表人的天职在勇于探索真理。哥白尼
12、学而思教育五升六竞赛 123 班第十讲教师版Page 102顶点上数字之和不可能相等能，右图是一种填法。8个三角形顶点数字之和分别是：8、10、12、14、16、18、20、22。【拓展】将3，5，7，11，13，17，19，23，29这 9 个数分别填人右图的9 个中，使 3条边上的中的数之和都相等。请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和。【分析】设三个顶点内所填的数为a,b,c，每条边上的和为K，三个顶点上的数在求和时各用了2次，所以条边上的三数之和相加得3571113171923291273abcabcK；由于所得的和必须能被3整除，而 1273421，所以abc 的和应被3除余2，
13、abc 的 最 小 值 是 571123，最 大 值 是 29231971，所 以K的 最 小 值 是12723350，最大值是12771366。【例 9】一列自然数0，1，2，3，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024，现在将这列自然数排成以下数表：0 3 8 15,1 2 7 14,4 5 6 13,9 10 11 12,规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第_行和第 _列。【分析】第n行的第1个数是21n。224419362005202545。第 45行的第1个数是 1936，第 45列的第1个数是202512024。20242005
14、120。2005 在第 20行第 45 列。【附加】如图的数阵是由于77个偶数排成的，其中20，22，24，36，38，40 这六个由一个平等四边形围住，它们的和是180。把这个平行四边形沿上下,左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660。那么它们当中位于平行四边形左上角的那个数是_。【分析】六个和一共增加：660180480。每个增加480680,第一个数就变为2080100。2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 142 144 146 148 150 152 154 人的天职在勇于探索
15、真理。哥白尼学而思教育五升六竞赛 123 班第十讲教师版Page 103【例 10】在右边表格的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行出现的次数，那么第二行的五个数字依次是_。0 1 2 3 4【分析】每一空格填一个数，共有5 个空格，各个数出现的次数综合应该为5，即第二行所填的五数之和为 5，即第二行所填无数之和是5，将 5 拆分有以下几种方法：541000；532000531 100522100；521110；511111；将这几种拆分方法，按各个数字出现频数填入表格，可以发现，只有522100 不会出现矛盾，填法如下：0 1 2 3 4 2 1 2 0 0【例 1
16、1】将最小的 10 个合数填到图中所示表格的10 个空格中，要求满足以下条件：1)填入的数能被它所在列的第一个数整除；2)最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大；那么，最后一行中5 个数的和最小可能是_。2 3 4 5 6【分析】最小的10 个合数分别是4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。这10 个合数当中 10和 15 一定是在 5 的下面，4、8、14、16 一定是在2和4下面，剩下的6、9、12、18在 3或 6 下面，其中 9 一定在 3的下面，对2和4所在的列和3和 6 所在的列分别讨论。4、8、14、16，这四个数中最大的数16一定在最后一行，最小的数4一定在第二
17、行，所以2和4所在的列中最后一行的数的和最小是16824，当14、16在2下面，4和 8在4下面时成立。6、9、12、18，这四个数中最大的数18 一定在最后一行，最小的数 6 一定在第二行，所以 3和 6 所在的列中最后一行的数的和最小是18927，当 6 和 18 在 6下面，6 和 9 在 3下面时成立。所以最后一行的5 个数的和是24152766。人的天职在勇于探索真理。哥白尼学而思教育五升六竞赛 123 班第十讲教师版Page 104【例 12】下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好,其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第行上的数的积，如A格应填的数是10
18、13130,求表中除第一行和第一列外其他各个格上的数之和。0 9 11 13 15 3 19 8 12 14 10 A 16【分析】第二行上除去第一列的数的和为12111315319，第三行上除去第一列的数的和为12111315319，最后一行除去第一列后所有数的和为16111315319。根据乘法分配率，将这些式子相加可得到所有要求的格子上的数和为121410161113153193172。【例 1】将自然数1到11分别填在右图的圆圈内，使得途中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等。31052794861115498371021116【分析】121166。从左下角引出的5 条直线，设左下角的数
19、为a，每条直线上的三个数的和为 S,则 5664Sa，又由三条横线及左下角引出的一条斜线得4S66A,从而结合上面的式 子 得18S,6a，由 于 18117 只 有 3 种 方 式 拆 分 成 两 个 数 的 和（即7615243），1810，188，184，183，182，181均没有4种方式拆成两个数的和，所以在对角线上，小正方形的顶点处只能填9 或 7，经试验不难得出两个如图的解。附加题目人的天职在勇于探索真理。哥白尼学而思教育五升六竞赛 123 班第十讲教师版Page 105【例 2】在下面的残缺算式中，只写出五个3，那么这个算式的商数是_。)333330)33 33 330a e
20、fdbcc【分析】为了便于说明，用英文来表示几个关键的数。从除式的第一层看，商的百位数字是a，只能是1，3，7，9。第三层被除数的百位数字c明显是 9，因此第二层中的b 大于 3。这样可以断定1a，3a。如果9a，那么一层中也是9。但 933不是 9的倍数。所以9a。我们现在来看7a的情形。由于33d能被 7整出，由倒除法可以断定除数是119，8d。1 1 97)3 36 377770d7 2811 9)8 663 28 3333 323895 295 20第三层，因为9c，只有 1198952 满足要求，即8f。从而1358b，2c。所以这个算式的商数是728。被除数是 1197288663
21、2。完整的除式如图。1.下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。已知BAD不是 3的倍数，GOOD 不是 8的倍数，那么ABGD 代表的四位数是多少？B A DB A DG O O D【分析】首先可以确定D的值一定是0，G 的值一定是1，所以 GOOBABA,所注意 GOO 为偶数，只能是122、144、166、188，通过检验其他几个条件，可以找到符合条件的只有166所以 ABGD的值为 3860。2.请在算式 1111中填入不同的四个数码，使等号成立。【分析】在10 19这 10 个数中，剔除质数后只剩下6数，通过尝试可得到10181215。巩固精
22、练人的天职在勇于探索真理。哥白尼学而思教育五升六竞赛 123 班第十讲教师版Page 1063.将 1 6 分别填在图中,使每条边上的三个内的数的和相等。243651【分析】设三个顶点内所填的数为a,b,c，每条边上的和为k，三个顶点上的数在求和时各用了2次，所以条边上的三数之和相加得213abck，由于 abc 的最小值是 1236，最大值是 45615，所以 3k 的最小值是21627，最大值是 211536，k 的最小值为 9，k的最大值为 15。当9k时，6abc，即三个顶点数为1，2，3。再根据9k填上其它的数。4.（2008年华杯赛初赛）华杯赛网址是.www huabeisai c
23、n，将其中的字母组成如下算式：2008wwwhuabeisaicn如果每个字母分别代表0 9 这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且8w、6h、9a、7c，则三位数bei 的最小值是。【分析】20087996888nisbeiu，有35100nisbeiu，此时nsiebu,只能取 0，1，2，3，4，5，b的最小值为1，0e，i最小取2，此时s最大只能取2，矛盾；b 的最小值为1，0e，3i，此时2s，4u，5n，符合条件，所以三位数bei的最小值是 103。人的天职在勇于探索真理。哥白尼学而思教育五升六竞赛 123 班第十讲教师版Page 107乒乓球
24、运动属于隔网对抗的技能类体育项目，起源于世纪末的英国，目前是世界上参与人数最多的三个体育项目之一。年的汉城奥运会上，乒乓球首次被列为正式项目，到年北京主办第届奥运会时，它将是连续第六次出现在夏季奥运会正式比赛项目的名单上。作为世界公认的中国的“国球”，乒乓球在奥运会上是中国体育代表团的优势项目，中国乒乓球队几乎垄断了奥运会这一项目的金牌。过去的届奥运会共计产生枚乒乓球金牌，其中枚都为中国运动员所摘取，旁落的枚金牌中包括枚最受重视的男子单打金牌，分别在年的汉城奥运会、年的巴塞罗那奥运会和年的雅典奥运会上被韩国的刘南奎、瑞典的瓦尔德内尔和韩国的柳承敏夺得，另外一枚女子双打金牌在年为东道主韩国队所获
25、。奥运会乒乓球赛原本设有男子单打、女子单打、男子双打和女子双打个比赛项目，而国际乒乓球联合会出于增加比赛精彩程度的考虑，在雅典奥运会期间与国际奥委会及相关各方商议后，宣布在不增加参赛总人数的情况下，在年奥运会上以团体比赛取代双打比赛。该项提议已经在年月的国际奥委会新加坡会议上获得批准。第届奥运会乒乓球将于年月日至日在北京大学校园内的北京大学体育馆举行，比赛项目为男子团体、女子团体、男子单打、女子单打。第一位向珠穆朗玛峰发起挑战的是英国人马洛瑞，他从l921 年开始的3 次攀登珠峰都以失败告终，而他本人也在第三次攀登中失踪。他的队员激奋地在媒体面前说：“珠穆朗玛峰!你可以打败我们一次、二次、三次，但是你不要忘记!我们总有一天会征服你，因为我们会不断地成长、进步，至于你，就只有这么高而已!”他们接下来的四次攀登仍未成功。第八次，那是1953 年 5 月 29 日，希拉里(新西兰人)和藤森诺盖伊(尼泊尔人)终于成功地等上了珠穆朗玛峰顶。他们是第一次登上珠穆朗玛峰顶的人。历经 32 年，人类终于征服了这座地球上最高的山峰。不论被打败多少次，仍要迎难而上。这种越挫越勇的精神正是从失败走向成功所必需的。成功无非就是许多次失败后的一次例外。失败的次数越多，一次的例外就越有价值，比如征服珠峰。坚持不懈，勇往直前，不惧怕失败，把不可能变为可能。