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1、 你的首选资源互助社区2010 高中数学竞赛标准讲义：第十三章：排列组合与概率一、基础知识1加法原理：做一件事有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1种不同的方法，在第 2 类办法中有m2种不同的方法，,，在第 n类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+,+mn种不同的方法。2乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第 1 步有 m1种不同的方法，第2 步有 m2种不同的方法，,，第n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2,mn种不同的方法。3排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(m n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中
2、取出m个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出 m个(mn)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用mnA表示，mnA=n(n-1),(n-m+1)=)!(!mnn,其中 m,nN,m n,注：一般地0nA=1，0！=1，nnA=n!。4N个不同元素的圆周排列数为nAnn=(n-1)!。5组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的组合数
3、，用mnC表示：.)!(!)1()1(mnmnmmnnnCmn6组合数的基本性质：（1）mnnmnCC；（2）11nnmnmnCCC；（3）knknCCkn11；（4）nnkknnnnnCCCC2010；（5）111kmkkmkkkkkCCCC；（6）knmnmkknCCC。7定理 1：不定方程 x1+x2+,+xn=r 的正整数解的个数为11nrC。证明 将 r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程 x1+x2+,+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之 B中每一个解(x1,x2,x
4、n),将 xi作为第 i 个盒子中球的个数，i=1,2,n，便得到 A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1 个空格中选 n-1 个，将球分 n 份，共有11nrC种。故定理得证。 你的首选资源互助社区推论 1 不定方程 x1+x2+,+xn=r 的非负整数解的个数为.1rrnC推论 2 从 n 个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n 个不同元素的 m可重组合，其组合数为.1mmnC8二项式定理：若nN+,则(a+b)n=nnnrrnrnnnnnnnbCbaCbaCbaCaC222110.其中第 r+1 项 Tr+1=rnrrnr
5、nCbaC,叫二项式系数。9随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件 A发生的频率nm总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作 p(A),0 p(A)1.10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n 种等可能出现的结果，其中事件 A包含的结果有 m种，那么事件 A的概率为 p(A)=.nm11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，,，An彼此互斥，那么 A1，A2，,，An中至少有一个发生的概率为p(A1+A2+,+An)=p(A1)+p(A2)+,+p(An).12
6、对立事件：事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记 A的对立事件为A。由定义知 p(A)+p(A)=1.13相互独立事件：事件A（或 B）是否发生对事件B（或 A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。14相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即 p(A?B)=p(A)?p(B).若事件 A1，A2，,，An相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率为 p(A1?A2?,?An)=p(A1)?p(A2)?,?p(An).15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则
7、称这 n 次试验是独立的.16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在 n 次独立重复试验中,这个事件恰好发生k 次的概率为 pn(k)=knC?pk(1-p)n-k.17离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数就是一个随机变量，可以取的值有 0,1,2,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。一般地，设离散型随机变量可能取的值为 x1,x2,xi,取每一个值 xi(i=1,2,)的概率 p(=xi)=pi，则称表x1x2x3,xi,pp1p2p3,pi,为随机
8、变量 的概率分布，简称 的分布列，称 E=x1p1+x2p2+,+xnpn+,为 的数学期望或平均值、均值、简称期望，称D=(x1-E)2?p1+(x2-E)2?p2+,+(xn-E)2pn+,为 的均方差，简称方差。D叫随机变量 的标准差。 你的首选资源互助社区18二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在 n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生 k 次的概率为 p(=k)=knkknqpC,的分布列为01,xi,NpnnqpC00111nnqpC,knkknqpC,nnnpC此时称 服从二项分布，记作 B(n,p).若B(n,p)，则 E=np,D=npq,以上 q=1-p.1
9、9.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p，则 p(=k)=qk-1p(k=1,2,)，的分布服从几何分布，E=p1，D=2pq(q=1-p).二、方法与例题1乘法原理。例 1 有 2n 个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？解 将整个结对过程分n 步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1 种选则；这一对结好后，再从余下的2n-2 人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3 种选择，,这样一直进行下去，经n 步恰好结 n 对，由乘法原理，不同的结对方式有(2n-1)(2
10、n-3),31=.)!(2)!2(nnn2加法原理。例 2 图 13-1 所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？解 断路共分 4 类：1）一个电阻断路，有 1 种可能，只能是 R4；2）有 2 个电阻断路，有24C-1=5种可能；3）3 个电阻断路，有34C=4 种；4）有 4 个电阻断路，有 1 种。从而一共有 1+5+4+1=11种可能。3插空法。例 3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？解 先将 6 个演唱节目任意排成一列有66A种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出 4
11、 个安排舞蹈有47A种方法，故共有4766AA=604800种方式。4映射法。例 4 如果从 1，2，,，14 中，按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足：a2-a13,a3-a23，那么所有符合要求的不同取法有多少种？解 设 S=1,2,14，S=1，2，,，10；T=(a1,a2,a3)|a1,a2,a3S,a2-a13,a3-a23,T=(321,aaa)321321,|aaaSaaaS,若),(321Taaa，令4,2,332211aaaaaa，则(a1,a2,a3)T,这样就建立了从T到 T的映射，它显然是单 你的首选资源互助社区射，其次若(a1,a2,a3)T,令4,2,3
12、32211aaaaaa，则),(321Taaa，从而此映射也是满射，因此是一一映射，所以|T|=310|CT=120，所以不同取法有120种。5贡献法。例 5 已知集合 A=1，2，3，,，10，求 A的所有非空子集的元素个数之和。解 设所求的和为 x，因为 A的每个元素 a，含 a 的 A的子集有 29个，所以 a 对 x 的贡献为29，又|A|=10。所以 x=1029.另解 A的 k 元子集共有kC10个，k=1,2,10，因此，A的子集的元素个数之和为)(101029919091010210110CCCCCC1029。6容斥原理。例 6 由数字 1，2，3 组成 n 位数(n3)，且在
13、 n 位数中，1，2，3 每一个至少出现1 次，问：这样的 n 位数有多少个？解 用 I 表示由 1，2，3 组成的 n 位数集合，则|I|=3n，用 A1，A2，A3分别表示不含 1，不含 2，不含 3 的由 1，2，3 组成的 n 位数的集合，则|A1|=|A2|=|A3|=2n，|A1A2|=|A2A3|=|A1A3|=1。|A1A2A3|=0。所以由容斥原理|A1A2A3|=|32131AAAAAAjijiii=32n-3.所以满足条件的 n 位数有|I|-|A1A2A3|=3n-3 2n+3个。7递推方法。例 7 用 1，2，3 三个数字来构造 n 位数，但不允许有两个紧挨着的1 出
14、现在 n 位数中，问：能构造出多少个这样的n 位数？解 设能构造 an个符合要求的 n 位数，则 a1=3，由乘法原理知 a2=33-1=8.当 n3 时：1）如果 n 位数的第一个数字是2 或 3，那么这样的 n 位数有 2an-1；2）如果 n 位数的第一个数字是 1，那么第二位只能是2 或 3，这样的 n 位数有 2an-2，所以 an=2(an-1+an-2)(n 3).这里数列an 的特征方程为 x2=2x+2，它的两根为 x1=1+3,x2=1-3,故 an=c1(1+3)n+c2(1+3)n,由a1=3,a2=8得3223,323221cc，所以.)31()31(34122nnn
15、a8算两次。例 8 m,n,rN+，证明：.022110mrnrmnrmnrmnrCCCCCCCCCmn 证明 从 n 位太太与 m位先生中选出 r 位的方法有rmnC种；另一方面，从这n+m人中选出k 位太太与 r-k 位先生的方法有krmknCC种，k=0,1,r。所以从这 n+m人中选出 r 位的方法有0110mrnrmnrmnCCCCCC种。综合两个方面，即得式。 你的首选资源互助社区9母函数。例 9 一副三色牌共有 32 张，红、黄、蓝各10 张，编号为 1，2，,，10，另有大、小王各一张，编号均为 0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：每张编号为k 的牌计为 2k分，若
16、它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。解 对于 n1,2,2004,用 an表示分值之和为 n 的牌组的数目，则an等于函数f(x)=(1+02x)2?(1+12x)3?,?(1+102x)3的展开式中 xn的系数（约定|x|1），由于f(x)=x11(1+02x)(1+12x)?,?(1+102x)3=)1()1)(1(11123xxx3=)1()1)(1(111222xxx3。而02004211，所以 an等于22)1)(1(1xx的展开式中 xn的系数，又由于22)1)(1(1xx=211x?2)1(1x=(1+x2+x3+,+x2k+,)1+2x+3x2
17、+,+(2k+1)x2k+,所以 x2k在展开式中的系数为a2k=1+3+5+(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,从而，所求的“好牌”组的个数为a2004=10032=1006009.10组合数knC的性质。例 10 证明：kmC12是奇数(k 1).证明 kmC12=kkkkmmmmmm222211221)112()22)(12(令 i=it2?pi(1ik)，pi为奇数，则iitmititmppppmiiiii22222，它的分子、分母均为奇数，因kmC12是整数，所以它只能是若干奇数的积，即为奇数。例 11 对 n2,证明：.422nnnnC 证明 1）当 n=2时，2224C=64
18、2；2）假设 n=k时，有 2kkkC24k,当 n=k+1时，因为.1)12(2!)!1()!12(2)!1()!1()!1(221)1(2kkkkCkkkkkkkkC又1)12(22kk4，所以 2k+1121)1(22442kkkkkkkCCC.所以结论对一切 n2 成立。11二项式定理的应用。 你的首选资源互助社区例 12 若 nN,n 2，求证：.3112nn 证明 首先,2111112210nnnnnnnnCnCnCCn其次因为)2(111)1(1!1!)1()1(1kkkkkkknknnnnCkkkn，所以nn112+.3131113121211121122nnnnCnCnnnn
19、得证。例 13 证明：).(110nmhCCCmnhknkhmkn 证明 首先，对于每个确定的k，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中hmknC是(1+x)n-k的展开式中 xm-h的系数。hkC是(1+y)k的展开式中 yk的系数。从而hmknC?hkC就是(1+x)n-k?(1+y)k的展开式中 xm-hyh的系数。于是，hknkhmknCC0就是nkkknyx0)1()1(展开式中 xm-hyh的系数。另一方面，nkkknyx0)1()1(=yxyCxCyxyxnkkknnkkknnn10110111)1()1()1()1(=101nkkknxC?yxyxkk=101nkknC(x
20、k-1+xk-2y+,+yk-1)，上式中，xm-hyh项的系数恰为11mnC。所以.110mnnkhkhmknCCC12概率问题的解法。例 14 如果某批产品中有a 件次品和 b 件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品，问：恰好有 k 件是次品的概率是多少？解 把 k 件产品进行编号，有放回抽n 次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为(a+b)n（即所有的可能结果）。设事件 A 表示取出的 n 件产品中恰好有 k 件是次品，则事件 A 所包含的基本事件总数为knC?akbn-k，故所求的概率为p(A)=.)(nknkknbabaC例 15 将一枚硬币掷 5 次，正面朝上恰好一次的概率
21、不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。 你的首选资源互助社区解 设每次抛硬币正面朝上的概率为p，则掷 5 次恰好有 k 次正面朝上的概率为kkpC5(1-p)5-k(k=0,1,2,5)，由题设4153225)1()1(ppCppC，且 0p1，化简得31p，所以恰好有 3 次正面朝上的概率为.3434032312335C例 16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为 0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？解（1）如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：A12：0（甲净
22、胜二局），A22：1（前二局甲一胜一负，第三局甲胜）.p(A1)=0.60.6=0.36,p(A2)=12C0.6 0.4 0.6=0.288.因为 A1与 A2互斥，所以甲胜概率为p(A1+A2)=0.648.(2)如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：B13：0（甲净胜 3 局），B23：1（前 3 局甲 2 胜 1 负，第四局甲胜），B33：2（前四局各胜 2 局，第五局甲胜）。因为B1，B2，B2互斥，所以甲胜概率为p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+23C0.620.4 0.6+24C0.620.420.6=0.68256.由（1），（2）可
23、知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大。例 17 有 A，B两个口袋，A袋中有 6 张卡片，其中 1 张写有 0，2 张写有 1，3 张写有 2；B袋中有 7 张卡片，其中 4 张写有 0，1 张写有 1，2 张写有 2。从 A袋中取出 1 张卡片，B袋中取 2 张卡片，共 3 张卡片。求：（1）取出 3 张卡片都写 0 的概率；（2）取出的 3 张卡片数字之积是 4 的概率；（3）取出的 3 张卡片数字之积的数学期望。解（1）21127162411CCCCp；（2）63427161211132212CCCCCCCp；（3）记为取出的 3 张卡片的数字之积，则 的分布为0248p423763263
24、4421所以.633242186344632242370E三、基础训练题1三边长均为整数且最大边长为11 的三角形有 _个。2在正 2006边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_。3用 1，2，3，,，9 这九个数字可组成 _个数字不重复且 8 和 9 不相邻的七位数。410 个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_种分组方法。5以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_。6今天是星期二，再过101000天是星期 _。7由1003)23(x展开式所得的 x 的多项式中，系数为有理数的共有_项。 你的首选资源互助社区8如果凸 n 边形(n4)的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n 边形内共
25、有_个交点。9袋中有 a 个黑球与 b个白球，随机地每次从中取出一球（不放回），第k(1 ka+b)次取到黑球的概率为 _。10一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，,，9，从中任取 2 张，其中至少有一个为奇数的概率是 _。11某人拿着 5 把钥匙去开门，有2 把能打开。他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_。12马路上有编号为1，2，3，,，10 的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_。13a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b 不相邻有 _种安排方式。14已知 i,m,n 是正整数，且 1(1+
26、n)m.15.一项“过关游戏”规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这 n 次抛掷所得到的点数之和大于 2n，则算过关。问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6 点数的均匀正方体）四、高考水平训练题1若 n1,2,100 且 n 是其各位数字和的倍数，则这种n 有_ 个。2从-3,-2,-1,0,1,2,3,4中任取 3 个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c 的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有_ 条。3四面体的顶点和各棱的中点共10 个点，在其中任取 4 个不共面的点，有_种取法。
27、4三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经 5 次传球后，球仍回到甲手中的传法有 _种。5一条铁路原有m个车站（含起点，终点），新增加n 个车站（n1），客运车票相应地增加了 58种，原有车站有 _个。6将二项式nxx421的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项有 _个。7从 1 到 9 这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_种不同的对数值。8 二项式(x-2)5的展开式中系数最大的项为第_项，系数最小的项为第 _项。9有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5 节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以
28、有 _ 种颜色不同的圆棒？（颠倒后相同的算同一种）10在 1，2，,，2006中随机选取 3 个数，能构成递增等差数列的概率是_。11投掷一次骰子，出现点数1，2，3，,，6 的概率均为61，连续掷 6 次，出现的点数之和为 35 的概率为 _。12某列火车有 n 节旅客车厢，进站后站台上有m(m n)名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_。 你的首选资源互助社区13某地现有耕地10000公顷，规划 10 年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高 10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产=耕地
29、面积总产量）五、联赛一试水平训练题1若 0abcd500，有_个有序的四元数组（a,b,c,d）满足 a+d=b+c且 bc-ad=93.2.已知直线 ax+by+c=0中的 a,b,c 是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的 3 个不同的元素，并且该直线倾斜角为锐角，这样的直线条数是_。3已知 A=0，1，2，3，4，5，6，7，映射 f:A A满足：（1）若 i j，则 f(i)f(j)；（2）若 i+j=7，则 f(i)+f(j)=7，这样的映射的个数为 _。41，2，3，4，5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5具有性质：对于 1i 4,a1,a2,ai不构成 1，2，,，i
30、 的某个排列，这种排列的个数是_。5骰子的六个面标有1，2，,，6 这六个数字，相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差，变差的总和叫全变差V，则全变差 V的最大值为 _，最小值为 _。6某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有 3 名选手各比赛 2 场之后就退出了，这样，全部比赛只进行50 场，上述三名选手之间比赛场数为_。7如果 a,b,c,d都属于1,2,3,4且 ab,b c,c d,d a；且 a 是 a,b,c,d中的最小值，则不同的四位数abcd的个数为 _。8如果自然数 a 各位数字之和等于7，那么称 a 为“吉祥数”，将所有的吉祥数从小到大排成一列 a1,a2,a3
31、,若 an=2005，则 an=_。9求值：knnkkCkn21211)1(=_。10投掷一次骰子，出现点数1，2，,，6 的概率均为61，连续掷 10次，出现的点数之和是30 的概率为 _。11将编号为 1，2，,，9 这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球，设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为S，求 S达到最小值的放法的概率（注：如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合，则认为是相同的放法）。12甲、乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，以后轮流射击，甲每次击中的概率为p(0p1)，乙每次击中的概率为q(0q1)，求甲、乙首先击中的概率各是多少？1
32、3设 m,nN,0mn，求证：2111011222nnmnmnmmmnmmmnCCCCC,+.11mnC六、联赛二试水平训练题1100 张卡片上分别写有数字1 到 100，一位魔术师把这100 张卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里，每个盒子里至少放入一张卡片。一位观众从三个盒子中挑出两个，并从中各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的两个数的和数，魔术师知道这个和数之后，便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问：共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术师总能够成功？（如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子，两种方法被认为是不同的） 你的首选资源互助社区2设 S=1,2,10，A1，
33、A2，,，Ak是 S的 k 个子集合，满足：（1）|Ai|=5,i=1,2,k;（2）|AiAj|2,1 ij k，求 k 的最大值。3 求从集合 1,2,n 中任取满足下列条件的k 个数j1,j2,jk 的组合数；（1）1j1j2,1为固定的正整数；（3）存在 h0,1 h0k-1，使得001hhjjm+1.4.设mSSSn22221,其中 S1，S2，,，Sm都是正整数且 S1S2,Sm，求证组合数nnnnCCC,11中奇数的个数等于2m。52)1(nn个不同的数随机排成图13-2 所示的三角形阵，设 Mk是从上往下第 k 行中的最大数，求 M1M2,Mn的概率。6证明：.11111rnrnkrknCkC