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1、小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共30 讲立体图形（二）本讲主要讲长方体和立方体的展开图，各个面的相对位置，提高同学们的看图能力和空间想象能力。例 1 在下面的三个图中，有一个不是右面正四面体的展开图，请将它找出来。分析与解：观察四面体容易看出，每个顶点都是三个面的交点，即四面体的每个顶点只与三个面相连，而在图 2 中，“中心点”与四个面相连，所以图 2 不是正四面体的展开图。例 2 在下面的四个展开图中，哪一个是右图所示立方体的展开图？分析与解：观察立方体图形，A，B，C三个面两两相邻，即三个面有一个公共顶点。再看四个展开图，图 1 中 A与 C不相邻，是相对的两个面，不合题意；图 3
2、中 C与 B是相对的两个面，也不合题意；图2、图 4 中 A，B，C三个面都相邻，还需进步判别。我们看下面的两个立方体图形：这两个图虽然相似，但是A，B，C三个面的相对位置不同。我们可以借助一个现成工具右手，帮助判断三个面的相对位置。伸出右手，让除大姆指外的四指从A向 B弯曲，此时，左上图中 C位于大姆指指向的方向，右上图中 C位于大姆指指向的相反方向。所以两个图 A，B，C三个面的相对位置不同。用这种方法判断三个面相对位置的方法称为右手方法。（这也是建立空间坐标系的方法）。用右手方法很容易判断出，图4 是所求的展开图。例 3 右图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，1 点与哪些点重合？
3、分析与解：直接想象将展开图折叠成纸盒时的情景，也可以得到答案。现在我们从另一个角度来分析。在左下图所示的立方体上观察8 个顶点，其中与 A 点不在一个表面上的只有 B点，也就是说，沿着表面走，这两个点的路程最远。在展开图上，这两个点恰好是相邻两个小正方形所构成的长方形的对角线上的两个端点。在上页右下图中，1，2，6 点都距 9 点最远，也就是说，1，2，6 点都与 9 点不在一个表面上。而与9 点不在一个表面上的只有一个点，所以 1，2，6 点是同一个点，即折叠成纸盒时，1，2，6 点重合。例 4 有两块六个面上分别写着16 的相同的数字积木，摆放如下图。在这两块积木中，相对两个面上的数字的乘
4、积最小是多少？分析与解：由两图看出，5 与 1，3，4，6 都相邻，所以 5 的对面只能是 2；对右上图使用右手方法，四指由5 向 4 弯曲，大姆指指向6，将5，4，6 的这个关系移到左上图，立刻得到1 的对面是 4，3 的对面是 6。5210，144，3618，相对两个面上的数字的乘积最小是4。例 5 有五颗相同的骰子放成一排（如下图），五颗骰子底面的点数之和是多少？分析与解：五颗骰子有三颗露出了5，并且 5 和 1，2，3，6 相邻，所以 5 的对面是 4；2 与 1，3，5 相邻，因为 5 与 4 相对，故 2 也与 4 相邻，所以 2 的对面是 6；剩下的 1 与 3 必相对。五颗骰子
5、底面的点数从左至右依次是4，6，3，1，4，其和为 4631418。例 6 用一平面去截一个立方体，把立方体截成两个部分，截口是一个矩形的。问：这两个部分各是几个面围成的？分析与解：截的方法有多种，所以一定要分情况讨论。截口通过1条棱是 1 种情况，截口通过 2 条棱是 1 种情况，截口不通过任何棱有2种情况。所以共有下图所示的四种可能。练习 141.在下列各图中，哪些是正方体的展开图？2.将左下图沿虚线折成一个立方体，它的相交于一个顶点处的三个面上的数字之和的最大值是多少？最小值是多少？3.有四枚相同的骰子，展开图如右上图（1）。问：在右上图（2）中，从上往下数第二、三、四枚骰子的上顶面的点
6、数之和是多少？4.将一个立方体纸盒沿棱剪开，使之展开成右图所示的图形，一共要剪开几条棱？5.左下图是图（1）（2）（3）中哪个正方体的展开图？6.在一个立方体的六个面上分别写有A，B，C，D，E五个字母，其中两个面写有相同的字母。下图是它的三个视图。问：哪个字母被写了两遍？7.右图中第 1 格内放着一个立方体木块，木块六个面上分别写着A，B，C，D，E，F 六个字母，其中 A与 D，B与 E，C与 F 相对。如果将木块沿着图中方格滚动，那么当木块滚动到第21 个格时，木块向上的面写的是哪个字母？答案与提示练习 141.（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20
7、）共 11 个。2.13；8。提示：最大是 6+4+3=13；最小是 1+2+5=8。3.12。提示：用右手方法可得，第二、三、四枚骰子上顶面的点数依次为3，6 和 1。4.7 条。提示：每剪开一条棱，展开图的周长就会增加2 条棱长。展开图的周长是 14 条棱长，所以剪开了142=7（条）棱。注：沿棱剪，无论剪成哪种连通的展开图，都要剪开7 条棱。也就是说，无论哪种展开图，周长都等于14 条棱长。5.图（1）。提示：图（2）正面有两个相连的阴影的正方形，展开图中找不到，所以不是图（2）；图（3）正面与右侧面各有两个阴影正方形，这四个阴影正方形没有相邻的边，而展开图中有两个阴影正方形的面，折叠后有两个阴影正方形相邻，所以不是图（3）。6.C。解：假设 C只写了一遍。因为C与 A，B，D，E都相邻，所以被写了两遍的字母在 C的对面。与 C相邻的四个字母的相互位置是确定的。图（2）（3）都有 D，C，用右手方法判断，图（2）与图（3）不符。这个矛盾的出现，是因为假设C只写了一遍，所以C写了两遍。7.A。提示：木块沿直线滚动4 格，与原来的状态相同，所以木块到第5，9，13，17，21 格时，与在第 1 格的状态相同。