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1、小学六年级奥数第 1 页 共 11 页第二讲 比和比例教学目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：一、比和比例的性质性质 1：若 a:b=c：d，则(a+c)：(b+d)=a：b=c：d；性质 2：若 a:b=c：d，则(a-c)：(b-d)=a：b=c：d；性质 3：若 a:b=c：d，则(a+x c)：(b+x d)=a：b=c
2、：d；(x 为常数)性质 4：若 a:b=c：d，则 a d=b c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a b=k(k 为常数)，则称 a、b 成正比；反比例：如果a b=k(k 为常数)，则称 a、b 成反比二、主要比例转化实例xaybybxa；xyab；abxy；xaybmxam yb；xm aym b(其中0m)；xaybxaxyab；xyabxa；xyabxyab；xayb，yczdxa czb d；:xyza cb cbd；x的ca等于y的db，则x是y的a db c，y是x的bcad三、按比例分配与和差关系按比例分配例如：将x个物体按照:ab的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、
3、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为:aab和:bab，所以甲分配到axab个，乙分配到b xab个.已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A、B，元素的数量比为:ab(这里ab)，数量差为x，那么A的元素数量为a xab，B的元素数量为bxab，所以解题的关键是求出ab与a或b的比值四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：1.题中有几种数量相比较时，要选择与各
4、个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。2.若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。3.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。4.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。5.赋值解比例问题例题精讲：模块一、比例转化【例1】已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的13，乙等于甲、丙两数和的12，丙等于甲、乙两小学六年级奥数第 2 页 共 11 页数和的57，求:甲乙丙.【解析】由甲等于乙、丙两数和的13，得到甲等于三个数
5、和的113+14，同样的乙等于甲、丙两数和的112+13，同样的丙等于甲、乙两个数和的55751 2，所以115:3:4:54312甲乙丙【例2】已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的23，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为多少？【解析】甲 的 一 半、乙 的2倍、丙 的23这 三 个 数 的 比 为1:1:1，所 以 甲、乙、丙 这 三 个 数 的 比 为121:12:123即132:22，化简为4:1:3，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为214:12:332即83:2:32，化简为16:12:9.【例3】如下图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的
6、45，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的16，圆B的阴影部分面积占圆B面积的15，圆C的阴影部分面积占圆C面积的13求圆A、圆B、圆C的面积之比CBA【解析】设A与B的 共 同 部 分 的 面 积 为x，A与C的 共 同 部 分 的 面 积 为y，则 根 据 题 意 有564ABCxy，5Bx，3Cy，于是得到56453BCBC，这条式子可化简为15BC，所以5204ABCC.最后得到:20:15:1ABC.【例4】某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3求丙组中男、
7、女会员人数之比【解析】以 总人数为1，则甲组男会员人数为1 03310873110，女会员为3111 0310，乙组男会员为8511 087535，女 会 员 为133552 5；丙 组 男 会 员 为33113+21051 0，女 会 员 为21393+21 02 55 0；所以，丙组中男、女会员人数之比为19:5:91 05 0【巩固】一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3:1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.【解析】(法一)甲工程队以3倍乙工程
8、队建设速度，仅完成了40%的承包任务，而乙工程队完成了60%，所以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%3180%，所以甲工程队的承包的任务是 乙 工 程 队 承 包 任 务 的1 8 0%4 0%4 5 0%，所 以 两 个 工 程 队 承 包 的 修 建 公 路 长 度 之 比 为4 5 0%:19:2(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于3:1，而他们分别完成了各自任务的40%和60%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为34 0%:16 0%9:2【例5】某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、
9、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？【解析】会员总人数100人，男女比例为14:11，则可知男、女会员人数分别为56人、44人；又已知甲组人小学六年级奥数第 3 页 共 11 页数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为50人，乙、丙人数之和为50人，可设丙组人数为x人，则乙组人数为5 0 x人，又已知甲组男、女会员比为12:13，则甲组男、女会员人数分别为24人、26人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：522 4(5 0)5 683xx，解得18x 即丙组会员人数为18人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为218
10、123人【例6】(2007 年华杯赛总决赛)A、B、C三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三队分别承担 三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【解析】根据题意，如果把A工程的工作量看作1，则B工程的工作量就是2，C工程的工作量就是3设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x、y、z.经过k天，则：22133213kxk ykyk zk zk x将代入，得243kxky，将代入，得2223kxkx，47xk，将47xk代入，得67yk代入
11、，得37zk甲、乙、丙三队的工作效率的连比是463:4:6:3777kkk【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖已知：甲、乙两校获一等奖的人数相等；甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？【解析】由、可知甲、乙两校获奖总人数的比为6:5，不妨设甲校有60 人获奖，则乙校有50 人获奖 由知两校获二等奖的共有(6 050)2 0%2 2人；由知甲校获二等奖的有22(
12、4.51)4.518人；由知甲校获一等奖的有606050%1812人，那么乙校获一等奖的也有12 人，从而所求百分数为1250100%24%【例7】某校毕业生共有9 个班，每班人数相等已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多 1；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？【解析】如下表所示，由知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1；由知，四至九班的男生总数比四、五、六班总人数少1一班男生比二、三班女生多 1 人加上二、三班男生二、三班男生一、二、三班男生比二、三班总人数多 1 人七、八、九班男生比四、五、六班女生少 1 人
13、加上四、五、六班男生四、五、六班男生四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班总人数少 1 人因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均相等，则女生总数等于四个班的人数之和所以，男、女生人数之比是5:4模块二、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例8】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，求一共有多少个苹果？【解析】一共有161 31 11 31 119 2个苹果.【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量.小学六年级奥数第 4 页 共 11
14、页【解析】根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的3346、4346、6346，所以小新拥有的藏书数量为35 21 2346本，小志拥有的藏书数量为45216346本，小刚拥有的藏书数量为65 224346本.【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80 元已知甲比丙多捐18 元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐元，乙捐元，丙捐元【解析】由于甲比丙多捐18 元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18 元，那么甲、乙所捐资的和为：1 8(1 07)1060(元)，乙、丙所捐资的和为601842元所以，甲捐了804238(元)，乙捐了6038
15、22(元)，丙捐了381820(元)【巩固】有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的13与二班分到的12相等，求两个班各分到多少皮球？【解析】根据题意可知一班与二班分到的球数比11:3:223，所以一班分到皮球312 07232个，二班分到皮球1207248个【例9】一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5求原来两班的人数【解析】原来一班的人数为两班总人数的88871 5，调班后一班的人数是两班人数的44459，调班前后一班人数的比值为84:6:51 59，所以一班原来的人数为86564 8人，二班原来的人数为488742人.【例10】幼儿
16、园大班和中班共有32 名男生，18 名女生 已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？【解析】由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法假设18 名女生全部是大班，则大班男生数：女生数5:330:18，即男生应有30 人，实际上男生有32 人，相差 2 个人；又中班男生数：女生数2:16:3，以 3 个中班女生换3 个大班女生，每换一组可增加1 个男生，所以需要换2 组；所以，大班女生有183212(名)【巩固】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多
17、少人?【解析】假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有72080800人，四、五、六三个年级的人数比为3:2:3，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的人数六年级：38 003 00323人；五年级：280 02 00323人；四年级：30080220人【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20 支圆珠笔和21 支铅笔共用715 元问圆珠笔的单价是每支多少元?【解析】设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则 20 支圆珠笔和21 支铅笔的价格为204+213=143，则单位“1”的价格为71.5 143=0.5 元所以圆珠笔的单价是O.5 4=2(元
18、)【例11】甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬去，结果在距B点2厘米的C点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍，求这个长方形的周长【解析】两 只蚂蚁在距B点2厘米的C点相遇，说明乙比甲一共多走了224(厘米)又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的1.2倍，相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：16：5，所以甲爬的路程是46552 0(厘米)，乙爬的路程是20424(厘米)，长方形的周长为202444(厘米)【例12】甲乙两车分别从A，B 两地出发，相向而行出发时，甲、乙的速度比是54，相遇后，甲的速度减少 20，乙的速度增加20，这样，当甲到达B 地时，乙离A 地还有 10 千米
19、问：A，B 两地相距多少千米？【解析】甲、乙原来的速度比是54，相遇后的速度比是：5（120）4（120）448甲乙CBA小学六年级奥数第 5 页 共 11 页56相遇时，甲、乙分别走了全程的95和94。设全程x 千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的4/9，所以乙行驶了全长的1586594，所以乙一共行了全长454415894，还剩 1-4544451，没有走所以A、B 全长为 450 千米.【例13】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9 分钟，徒弟加工一个零件用15 分钟 完成任务时，师傅比徒弟多加工100 个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零
20、件？【解析】师傅与徒弟的工作效率之比是11:5:3915，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的553和353，师傅和徒弟一共加工了5310 0()4 005353个零件【巩固】师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【解析】师傅与徒弟的工作效率之比是11:5:3915，而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的553和353，师傅比徒弟多加工零件534 0010 05353个【例14】A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的
21、；若将A桶水的全部和B桶水的15，或将B桶水的全部和A桶水的13倒入C桶，C桶都恰好装满求A、B、C三个水桶容积各是多少公升？【解析】根据题意可知，A桶水的全部加上B桶水的15等于B桶水的全部加上A桶水的13，所以A桶水的23等于B桶水的45，那么A桶水的全部等于B桶水的426535，C桶水为B桶水的617555所以A、B、C三个水桶的容积之比是67:1:6:5:755又A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，所以A桶 的 容 积 是61 4 4 04 8 0657公 升，B桶 的 容 积 是54 8040 06公 升，C桶 的 容 积 是74 8 05 6 06公升【巩固】学而思学校四五六
22、年级共有615 名学生，已知六年级学生的12，等于五年级学生的25，等于四年级学生的37。这三个年级各有多少名学生学生？【解析】将六年级学生的12，等于五年级学生的25，等于四年级学生的37，看作一个单位，那么六年级学生人数等于2 个单位，五年级学生等于2.5 个单位，四年级学生等于73学生，所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为5721 2 1 5 1423：，所以六年级学生人数为1261 5121514=180 人，五年级学生人数为156 152 2 5121514人，四年级学生人数为146 152 10121514人【例15】一块长方形铁板，宽是长的45从宽边截去21厘米，长边截去35
23、%以后，得到一块正方形铁板问原来长方形铁板的长是多少厘米?【解析】如 果 只 将 长 边 截 去35%，宽、长 之 比 为4:513 5%1 6:1 3，所 以 宽 边 的 长 度 为2 1(1 61 3)1 61厘米，所以原来铁板的长为41 1214 05厘米【巩固】一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形面积相等原正方形的边长是多少米?小学六年级奥数第 6 页 共 11 页【解析】要保证面积不变，一边减少20%，即是原来的45，另一边要变成原来的54，即增加51144，所以原正方形的边长为1284(米).【例16】一把小刀售价3元如果小明买了这
24、把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2:5；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8:13小明原来有多少钱？【解析】由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的55257，小明的钱相当于小明、小强买刀后钱数和的888+1321，所以小明、小强的钱数的比值为85:8:15217，而小明买刀后小明、小强的钱数之比为2:56:15，所以小明买刀前后的钱数之比为8:64:3，所以小刀的售价等于小明原来钱数的43144，所以小明的钱数为13124元。也可这样看，小明买刀与未买刀的钱数比为28:3:472 1，小明的钱数为434312（元）【巩固】甲、乙两人原有的钱数之比为6:5，后来甲
25、又得到180 元，乙又得到30 元，这时甲、乙钱数之比为18:11，求原来两人的钱数之和为多少？【解析】两人原有钱数之比为6:5，如果甲得到180 元，乙得到150 元，那么两人的钱数之比仍为6:5，现在甲得到180 元，乙只得到30 元，相当于少得到了120 元，现在两人钱数之比为18:11，可以理解为：两人的钱数分别增加180 元和 150 元之后，钱数之比为18:15，然后乙的钱数减少120 元，两人的钱数之比变为18:11，所以120 元相当于4 份，1 份为30 元，后来两人的钱数之和为3 0(1815)9 9 0元，所以原来两人的总钱数之和为990180150660元【例17】一项
26、机械加工作业，用 4 台A型机床，5 天可以完成；用 4 台A型机床和 2 台B型机床 3 天可以完成；用 3 台B型机床和9 台C型机床，2天可以完成，若 3 种机床各取一台工作5 天后，剩下A、C型机床继续工作，还需要_ 天可以完成作业【解析】由于用 4 台A型机床 5 天可以完成；用4 台A型机床和2 台B型机床 3 天可以完成，所以2台B型机床3 天完成的量等于4 台A型机床2 天完成的量，则A、B两种机床每天完成的量的比为23:423:4，即A型机床每天完成的量为3，B型机床每天完成的量为4，该项作业总量为34560，那么C型机床每天完成的量为6 024392，3 种机床各取一台工作
27、5 天后，剩下的工作量为6 0342515，A、C型机床还需继续工作1 5323天【例18】动物园门票大人20元，小孩10元六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天相比，大人增加了60%，儿童增加了90%，共增加了2100人，但门票收入与前一天相同六一儿童节这天共有多少人入园？【解析】前 一天大人与小孩的人数比为1:(6 0%2)5:6，六一那天增加的大人与增加的小孩人数比为56 0%:69 0%5:9，大 人 增 加 的 人 数 为521 007 5014人，小 孩 增 加 的 人 数 为21007501350人，大 人 的 总 数 为7 506 0%75 0人，小 孩 的 总 人 数 为1
28、35 090%13 5人，总人数为200028504850人【例19】某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1:2，第一天售出苹果的20%，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是1:3；第二天售出苹果18吨，桃子12吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的41 5，问原有苹果和桃子各有多少吨？【解析】法一：设原来苹果有x吨，则原来桃子有2x吨，得：(120%)18431521213xx，解得37x所以原有苹果 37 吨，原有桃子37274(吨)法二：原来苹果和桃子的吨数的比是1:2，把原来的苹果的吨数看作1，则原来桃子的吨数为2，第一天后剩下的苹果是41(12 0%)5，剩下的桃子是33
29、2132，所以此时剩下的苹果和桃子的重量比是43:8:1552现在再售出苹果18 吨，桃子 12 吨，所剩的苹果与桃子的重量比是4:15这就小学六年级奥数第 7 页 共 11 页相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比是8:15，先售出桃子12 吨，苹果8321 21 55吨，此时剩下的苹果和桃子的重量比还是8:15，再售出325 81 855吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为4:15，所以这585相当于844份，最后剩下的桃子有58158 7542吨，那么第一天后剩下的桃子有871 111222吨，原有桃子11137 4213吨，原有苹果74237吨（二）利用不变量统一份数【例20】有一个长
30、方体，长和宽的比是2:1，宽与高的比是3:2表面积为27 2c m，求这个长方体的体积.【解析】由 条件长方体的长、宽、高的比6:3:2，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为63:62:3218:1 2:63:2:1，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为2137218cm2321，前面的面积为2127212 cm2321，左面的面积为21172 06 cm2321，而218126129636，所以36即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为33 6 cm【巩固】有一个长方体，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2已知这个长方体的全部棱长之和是22
31、0厘米，求这个长方体的体积【解析】由条件宽与高的比为23:21:3，所以这个长方体的长、宽、高的比为22:1:3即6:3:2，由于长方体的 所 有 棱 中，长、宽、高 各 有4条，所 以 长 方 体 的 长 为162 20304632厘 米，宽 为132 2 0154632厘 米，高 为1222 0104632厘 米，所 以 这 个 长 方 形 的 体 积 为3 01 51 04 5立方厘米.【例21】（2009 年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车30元，中型车15元，小型车10元一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是5:6，中型车与小型车之比是
32、4:11，小型车的通行费总数比大型车多270元（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？【解析】大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将5:6中的6与4:11中的4统一成4,612，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比由5:610:12和4:1112:33，得到1 0:12:33大 型 车:中 型 车:小 型 车以10辆大型车、12辆中型车、33辆小型车为一组因为每组中 收 取 小 型 车 的 通 行 费 比 大 型 车 多1033301030(元)，所 以 这 天 通 过 的 车 辆 共 有270309(组)所以这天通过大型车有1099
33、0(辆)，中型车有129108(辆)，小型车有339297(辆)（2）这天收取的总费用为：309015108297107290元【例22】6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞在一起一样高用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？【解析】由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为6:5，壹分硬币和伍分硬币的数量比为4:36:4.5，所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为6:5:4.5，即12:1 0:9，因此壹分硬币的数量为121244 81 21 09枚，贰 分 硬 币 的
34、数 量 为101 244 012109枚，伍 分 硬 币 的 数 量 为91243 61 21 09枚，这些硬币一共有481402365308分，即币值为3.08元【例23】某工地用3种型号的卡车运送土方已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比为6:8:9，运送土方的路程之比为15:14:14，三种车的辆数之比为10:5:7工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？【解析】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为151414，速度之比为689，所以它们运送
35、1次所需的时间之比为151 41 45714689249，相同时间内它们运送的次数比为：2495714在前10天，小学六年级奥数第 8 页 共 11 页甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为557 由于三种卡车载重量之比为1076，所 以 三 种 卡 车 的 总 载 重量 之 比 为5 0354 2 那 么 三 种 卡车 在 前10天 内 的 工 作 量 之比 为：24950354 22 02 02 7571 4在后15天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里的工 作 量 之 比 为402027 所 以 在 这25天 内，甲 的 工 作 量 与 总 工 作 量 之 比 为：2010
36、4 01532202 02 7104 020271 579()()【例24】将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5:4:3实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果那么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为块【解析】方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的51 2，412，312；实际甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的718，618，51 8，只有丙占总数的比例是增加的，所以这位小朋友是丙.糖果总数为53155 4 01 812(块)，丙实际所得的糖果数为554 015
37、01 8(块)方法二：化通比为：甲乙丙总数为原计分配为 5 ：4 :3 12份实际分配为 7 ：6 ：5 18份化通比为 15 ：12 ：9 36份 14 ：12 ：10 36份对比分析甲15 14，乙 12 12，丙 9 10，发现多得糖果的是丙所以 15（10 9）10150（块）【巩固】今年儿子的年龄是父亲年龄的14，15年后，儿子的年龄是父亲年龄的511今年儿子多少岁？【解析】方 法一：今年儿子的年龄相当于父子年龄差的11413，15年后儿子的年龄相当于父子年龄差的551156，所以15年相当于父子年龄差的511632，年龄差为11 53 02岁.今年儿子30310岁.方法二：今年儿子
38、的年龄是父亲年龄的14，所以儿子：父亲1：4；15年后，儿子的年龄是父亲年龄的511，所以儿子：父亲5：11。因为在年龄问题中年龄差不变所以列表分析为：儿子父亲年龄差1 ：4 3 5 ：11 6 根据不变量化通比为 2 ：8 6 5 ：11 6 对比分析为：15（52）210（岁）【例25】一个周长是56厘米的大长方形，按图与图所示意那样，划分为四个小长方形在图中小长方形面积的比是:1:2AB，:1:2BC而在图中相应的比例是:1:3AB，:1:3BC.又知长方形D的宽减去D的宽所得到的差与D的长减去D的长所得到差之比为1:3求大长方形的面积（1）DCBADCBA【详解】因为:1:2AB，:1
39、:2BC，所以:1:4AC；因为:1:3AB，:1:3BC，所以:1:9AC，小学六年级奥数第 9 页 共 11 页设长方形的宽为a,长为b,得：321439431 05aabb得:2:5ab又56228ab，所以8a，20b所以长方形面积2 081 60【例26】北京中学生运动会男女运动员比例为19:12，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为20:13；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为30:19,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多15人，则总运动员人数为多少？【解析】将运动会最初的运动员人数设为“1”，那么男运动员人数为191 919123 1，女运动员人
40、数为1 23 1，而增加女子艺术体操项目，男运动员人数不变，仍然是1931，所以这时女运动员人数为192 472013316 20，增 加 男 子 象 棋 项 目，女 运 动 员 人 数 保 持 不 变，仍 然 是24 762 0，所 以 男 运 动 员 人 数 增 加 为24 7391 93 062 062女子艺术体操项目人数为2 471276 203 1620，男子象棋项目的人数为3 91 916 23162，男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多1736 262 062 0，原来总运动员人数为31 53 10 06 2 0人，男子象棋项目运动员有13 10 05 062人，女子艺术体操
41、运动员有73 10 03562 0人，所以现在的总运动员人数为310050353185人【巩固】袋子里红球与白球的数量之比是19:13放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5:3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13:11已知放入的红球比白球少80只那么原来袋子里共有只球【解析】根据第一次操作白球的数量不变，把19:13改写成57:39，5:3改写成65:39第二次操作相对于第一次操作红球数量不变，把13:11改写成65:55，这时我们可以看出，经过两次操作后，红球共增加了65578份，白 球 增 加 了553916份 原 来 红 球 有80168575 70个，白 球 有8016
42、83 93 90个两种球共570390960个【例27】有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的71 8，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的81 7，问开始共有多少支突击队参加会战？【解析】由于每个队的女队员的人数是该队的男队员的71 8，所以原来全体女队员的人数是全体男队员的718，即原来女队员的人数占所有队员人数的72 5，调走第一突击队的一半队员后，女队员的人数占剩下的队员总数的82 5，由于调走的全是男队员，女队员的人数没有变化，所以调走后的队员总数与调走前的队
43、员总数之比为2525:7:887，即调走的队员人数占原来队员总人数的18，而调走的队员为第一突击队的一半，且每个突击队人数相同，11428，故开始共有4 支突击队参加会战（三）利用等量关系列方程解比例【例28】某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4:3 结果录取91 人，其中男生与女生人数之比是8:5未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3:4 问报考的共有多少人？【解析】(法 1)录取的学生中男生有89 15658人，女生有915635(人)，先将未录取的人数之比3:4变成44:43，又有35 64 24(人)，所以每份人数是442354333(人)，那么未录取的男生 有431 2(人
44、)，未 录 取 的 女 生 有4431 63(人)所 以 报 考 总 人 数 是小学六年级奥数第 10 页 共 11 页561 23 51611 9(人)(法 2)设未被录取的男生人数为3x人，那么未被录取的女生人数为4x人，由于录取的学生中男生有89 15658人，女生有915635(人)，则563:3544:3xx，解得4x所以未被录取的男生有12 人，女生有16 人报考总人数是561 235161 19(人)【例29】有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与
45、甲块的剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为_【解析】设切下的部分重量为x千克，则甲切下的x千克与乙剩下的(4)x千克混合 由于得到的两块新合金的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原来的两块新合金的含铜率相同，而这一大块合金是由6千克甲块合金与4千克乙块合金混合而成的，所以x千克甲块合金与(4)x千克乙块合金混合后的含铜率与6千克甲块合金与4千克乙块合金混合后的含铜率相同，而甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即644xx，所以：464xx（），解得2.4x课后练习：练习 1.右图是一个园林的规划图，其中
46、，正方形的34是草地；圆的67是竹林；竹林比草地多占地450 平方米问：水池占多少平方米?【解析】正方形的34是草地，那如果水池占1 份，草地的面积便是3 份；圆的67是竹林，水池占1 份，竹林的面积是6 份。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3 份。3 份的面积是450 平方米，可见1 份面积是 4503=150（平方米），即水池面积是150 平方米。练习 2.乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的14等于乙班种的棵数的15，且乙班比甲班多种树24棵，甲、乙两个班各种树多少棵?【解析】甲、乙两班种树棵数之比为：11:4:554，甲班种树棵数为：2 45449 6(棵)，乙班种树棵数为：
47、2454512 0(棵)练习 3.甲本月收入的钱数是乙收入的58，甲本月支出的钱数是乙支出的34，甲节余 240 元，乙节余 480 元 甲本月收入多少元？【解析】甲、乙本月收入的比是5:8，分别节余240 元和 480 元，支出的钱数之比是3:4如果乙节余480元，甲节余48085300元，那么两人支出的钱数之比也是5:8，现在甲只节余240 元，多支出了 60 元，结果支出的钱数之比从5:8变成了6:8(即3:4)，所以这60 元就对应651份，那么甲支出了606360元，所以甲本月收入为360240600元练习 4.甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车速度是50千米小时，乙车速度
48、是40千米小时，当甲车驶过A、B距离的13多50千米时与乙车相遇，A、B两地相距千米【解析】在相同的时间内，两车行驶的路程比等于两车的速度之比，由于两车的速度之比等于50:405:4，那么A、B距离的13多50千米即是A、B距离的55459，所以50千米的距离相当于全程的512939，全程的距离为25 02 2 59(千米)月测备选【备选 1】甲、乙、丙三个数，已知:4:3甲乙丙，:2:7乙丙，求:甲乙丙。小学六年级奥数第 11 页 共 11 页【解析】由:2:7乙丙可得到:2:9乙乙丙，:7:9丙乙丙，而:4:3甲乙丙，所以：427:12:2:7399甲乙丙【备选 2】有一堆糖果，其中奶糖占
49、45，再放人16 块水果糖后，奶糖就只占25那么，这堆糖果中有奶糖多少块?【解析】方法一：原来奶糖占4 5910 020，后来占2 511 004，因此后来的糖果数是奶糖的4 倍，也比原来糖果多 16 粒，从而原来的糖果是16+(942 0 1)=20块.其中奶糖有2092 0=9 块方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是 45：(1-45)=9：11,设奶糖有9 份，其他糖(包含水果糖)有 11 份现在奶糖与其他糖之比是25：(1-25)=1：3=9：27,奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了27-11=16 份，而其他糖也恰好增加了16 块，所以，l份即 1 块奶糖占9 份，就是 9
50、块奶糖【备选 3】甲、乙两个工人上班，甲比乙多走15的路程，而乙比甲的时间少11 1，甲、乙的速度比是【解析】甲 走的路程是乙走的路程的65，甲用的时间是乙用的时间的1 11 0，所以甲的速度是乙的速度的61 11 251 01 1，即甲、乙的速度比是12:11【备选 4】一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走 15 枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走 45 枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？【解析】第二次拿走45 枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:110:5变为1:5，而其中白棋的数目是不变的，所以黑棋由原来的10 份变成现在的1 份，减少了 9